无穷大量和无穷小量
无穷大量
我们先来看一个例子：
已知函数
，当x→0时，可知
，我们把这种情况称为
趋向无穷大。为此我们可定义如下：设有函数y=
，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当
时，
成立，则称函数当
时为无穷大量。
记为：
（
表
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示为无穷大量，实际它是没有极限的）
同样我们可以给出当x→∞时，
无限趋大的定义：设有函数y=
，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当
时，
成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：
。
无穷小量
以零为极限的变量称为无穷小量。
定义：设有函数
，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式
(或
)的一切x，所对应的函数值满足不等式
，则称函数
当
(或x→∞)时为无穷小量.
记作：
(或
)
注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.。
关于无穷小量的两个定理
定理一：如果函数
在
(或x→∞)时有极限A，则差
是当
(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理
a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.
无穷小量的比较
通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义：设α，β都是
时的无穷小量，且β在x0的去心领域内不为零，
a)：如果
，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；
b)：如果
，则称α和β是同阶无穷小；
c)：如果
，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)
例：因为
，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；
因为
，所以当x→0时，x2是3x的高阶无穷小；
因为
，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。
等价无穷小的性质
设
，且
存在，则
.
注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。
例题：1.求
解答：当x→0时，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：
例题：2.求
解答：
注：
注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子。
函数的一重要性质——连续性
在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性
在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为：△x即：△x=x2-x1增量△x可正可负.
我们再来看一个例子：函数
在点x0的邻域内有定义，当自变量x在领域内从x0变到x0+△x时，函数y相应地从
变到
，其对应的增量为：
这个关系式的几何解释如下图：
现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当△x趋向于零时，函数y对应的增量△y也趋向于零，即：
，那末就称函数
在点x0处连续。
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