分式方程与新的教学观

分式方程与新的教学观 济南雨露 杨继明 本文通过师生在分式方程解法研究过程中的启示来为教师们在新课程改革中提供 一种有意义的思路，帮助数学教师形成正确的数学观和教学观。明确数学教育的目的和任务， 推进新课程改革的顺利进行。 数学观、数学教学观、数学教育的目的和任务、分式方程的解法、 数学教师天天在教数学，而数学教师在数学教学中的所作所为，则取决于数学教师的基 本观念，取决于数学教师对数学与数学教学的基本看法，信念与态度。因此，数学教师必须 逐步形成正确的数学观和数学教学观，才能不断提高实施素质教育的能力，有目的、有计划、 自觉地进行数学教学实践。 通常的一些数学课程使人产生一种幻觉，它们给出一个系统的逻辑叙述，使人们有这种 印象：数学家们几乎理所当然地从定理到定理，数学家能克服任何困难，并且这些课程完全 经过锤炼，已成定局。历史却告诉我们，数学并不是一成不变的定论，它一直处于变化发展 和优化组合之中。而且对同一数学现象也不一定只有一种唯一的解释，多种解释并存是合理 的，而且这些不同的解释极有可能殊途同归。当然，在初等数学阶段，定论式的知识占据了 大部分篇章，但是定论式的知识不见得以定论的方式出现，在教材内容编排时以开放式方式 出现更能激发学生的学习热情。而对于有多种数学解释的数学现象，更是培养学生创造精神．．．． 和实践能力的良好素材。 ．．．． 笔者与自己的学生在研究分式方程的解法时，就经历了一次生动的数学产生过程的洗 礼，并极大地改变了师生对数学的最初认识。 在分式方程的解法理论中，我们一直采用了在分式方程两边同乘以最简公分母从而转 化为整式方程的解法。这种方法充分体现了转化思想的理论精髓，而转化思想恰好是整个方 程解法理论的核心思想，使各种方程（组）最终转化为一元一次方程和一元二次方程，让人 们看到一个和谐统一的体系，生动的数学展现于眼前。不过这种变形不属于方程的同解变形 原理，它的恶果之一是产生增根的现象。增根并不是方程的根，它跟随非同解变形进来之后， 还要用检验的方式把它清除出去，这是一种迂回的，有点费力的处理方法。是一个容易引发 讨论和思考的知识点。 可是另人担忧是：我们的教师从来就没有对课本产生过质疑，从来没有对被认为是精确 的科学的数学产生过疑问。认为这种变形，这种转化是天经地义的，别的解法是不可能存在 的，而且把这种思想强烈地灌输给学生，对教材和专家的敬若神明、思维的惰性一代代继承， 偶尔有创造性的学生超越常规，也会被一棍子打死。这样的数学观和数学教学观，根本无法 培养出具有创造性的一代新人。 在一次分式方程的初三复习课中，在解 x3=2+这个分式方程时，有两位同学x,3x,3 x3可能忘记了分式方程的基本解法，首先把方程移了项，得到：-=2 ，然后得到x,3x,3 x,3=2。做到这一步时，他们遇到了困难，举手问了我。此时我已经知道了这个题的正常x,3 解答是：增根为3，此方程无解。我看了一眼他们的解答，并正常地告诉他们应该转化为整 式方程，他们恍然大悟地去作了，而我又正常地去准备指导别的学生。 1 x,3幸运的是：最后那个式子 “=2”，到底还是刺激了我还算敏感的神经。因为，x,3 x,3那里有一个另人愉快的约分：“=2” 左边约分，得1=2。这是什么意思？是一个矛盾；x,3 矛盾是怎样产生的？约分后得到的；约分有没有问题？因为 x - 3?0 , 约分应该没有问题； x,3x那么 1=2 怎么解释？说明没有任何一个x的取值能够满足方程 =2 或 = 2 + x,3x,33 ，这说明原方程无解。 x,3 x3解方程： = 2 + x,3x,3 x3解： 移项，得 - =2 x,3x,3 x,3整理，得 =2 x,3 约分，得 1= 2 矛盾方程，所以原方程无解。 然后我找到了那两位同学，告诉了他们我的想法。他们基本能够接受我的观点，但对 1 = 2 矛盾方程的提法以及推导出原方程无解的做法 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示理解上有困难。于是，我经过一些 沉思之后提出了如下的解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ： x3解方程： = 2 + x,3x,3 x3解： 移项，得 - - 2 = 0 x,3x,3 x,3,2(x,3)通分，得 = 0 x,3 ,x，3整理，得 = 0 x,3 x,3即 = 0 x,3 因为分子为0 分母不为0时，分式值为0 x,3所以 ?0 ， 所以原方程无解。 x,3 至此，分式方程的一种新的解法，已经逐渐明朗起来。这两位同学也对这种不见增根，．．．．不用检验的新方法产生了兴趣。他们勇敢地冒初三学习时间紧张之大不韪，决意要对这种解．．．． 法进行检查验证，他们在一天之内就解决了初二、初三数学课本中的所有35道分式方程的题目，确定了这种解法的合理性和正确性。 然后我们乘胜追击，组成了三人研究小组，对分式方程的解法理论从两个方面进行了 深入的研究： 2 步骤 1 ： 把方程所有的项都移到方程的左边，让方程的右边为零 理论依据：等式的基本性质1，或移项法则。 步骤 2 ： 方程的左边进行分式的加减混合运算，化成最简分式。 理论依据：分式的基本性质、加减混合运算、最简分式的概念。 步骤 3 ： 利用分式值为零的条件“分子为零分母不为零时，分式值为零”把分式方 程转化为整式方程。 理论依据：分式值为零的条件。 57例 1、解方程： = xx,2 57 解：移项，得 - = 0 xx,2 5(x,2),7x 通分，得 = 0 x(x,2) 2(x，5)整理，得 = 0 ? x(x,2) 分子取0，得 x + 5 = 0 ? 即 x = -5 从?式到?式是此解法的关键。?式中，如分子与分母没有含未知数的公因式， 那就能够做到分子取0时保证分母不得0；然后根据分式值为0的条件，把分式等于0的式．．子改写为分子等于0的式子，即完成了分式方程向整式方程的转化，而且符合方程的同解变．． 形原理的精神，不会有增根或丢根的现象发生。 x,216例2、解方程： - = 1 2x，2x,4 x,216 解：移项，得 - - 1 = 0 x，2(x，2)(x,2) 4(x,2) 整理，得 = 0 ? (x，2)(x,2) 4 化简，得 = 0 ? x，2 4 因为 , 0 x，2 所以 原方程无解。 ：?式中，分子分母有含未知数的公因式x-2，而由于x –2是分母的因式，所以 x-2 ?0，这样由?式到?式的约分就成为可能，而不会引起增根或丢根，符合方程同解变形原 理的精神。对于?式，显然不满足分式值为0的条件，即满足?式的未知数不存在，从而能 3 轻松判定此方程无解，即原方程无解。 63例3、 解方程 - = 1 (x，1)(x,1)x,1 63 解： - - 1 = 0 (x，1)(x,1)x,1 2x，3x,4 = 0 (x，1)(x,1) (x，4)(x,1) = 0 (x，1)(x,1) x，4 = 0 x，1 所以 x+4 = 0 即 x = -4 41例4、 解方程 - = 1 xx,1 4(x,1),x,x(x,1) 解： = 0 x(x,1) 2(x,2) = 0 x(x,1) 2 所以 (x – 2) = 0 即 x = x =2 12 2．1如前所述，分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解 法充分体现了转化思想的理论精髓，使整个方程解法理论具有了内在和谐性，是 一种经得起考验的解法。当然，这种解法也有它的诸多弊端，现列举如下： 2．1．1这种变形不属于方程的同解变形原理，它的恶果之一是产生增根的现象。 因为有增根的产生，使对解的检验成为解分式方程的必然步骤。“检验”从整式方程的 辅助手段变成分式方程的必然步骤，应该不是一种进步而是一种倒退，是一种不得已的选择。 学生们在解分式方程时总是忘记了检验是有其必然性的。 分式方程的增根还会产生另外一种隐忧。由于分式方程和无理方程都有增根而且都要转 化为整式方程，从而学生会把分式方程和无理方程对等而与整式方程对立起来。使整式和分 式这两个概念之间产生鸿沟和割裂，不利于这两个概念的统一。实际上，分式与整式就像分 数与整数一样有更多的相同而与无理式有本质的不同。解分式方程，完全可以避免增根的产 生，而解无理方程就绝对无法避免增根的产生。分式方程增根的产生，与其说是分式方程和 无理方程与整式方程的不同，还不如说是数与式的不同造成的。 分式理论可以包括以下几个基点： 4 1） 分式的概念； （分式理论的出发点 ） 2） 分式有意义的条件； （分式理论的大前提 ） 3） 分式值为零的条件； （一个定理式论断 ） 4） 分式的基本性质； （分式四则运算的基础） 5） 分式的约分、通分、四则运算；（分式理论的重点知识） 6） 分式方程及其解法。 （重要的数学模型 ） 我们发现，分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法，在实践中经 x，yx,y常对分式的四则运算产生强烈的负迁移，如化简 ．．．+时经常有学生这2222x，yx，y x，yx,y样运算：+= x+y+x-y=2x。 这肯定是受分式方程解法的影响所致，而2222x，yx，y 且有时这种影响极其顽固，很难改正。分式的四则运算不能支持分式方程的解决，分式方程 的解决又影响分式的四则运算，这种内耗和对抗大大削弱了分式理论的和谐性。 再者，“分式值为零的条件”在分式理论中几乎是一个孤立的论断，它显然不具备“分 式有意义的条件”那种贯穿始终的理论价值。他在分式理论的开端昙花一现，然后就销声匿 迹了。这样看来，分式理论就像一堆前言不搭后语的堆砌物，是一篇蹩脚的文章。 2．2新方法的书写看起来有些笨拙，但也有一些比较有利的特点。 2．2．1可以有效避免增根的出现。 也就是说，在这种解法理论中可以根本不出现增根的概念，从而检验也就不是分式方 程的必然步骤。解起来显得简单明了，轻松自然。 2．2．2可以有效整合分式理论，使之成为一个有机的整体。 这种解法以“分式有意义的条件”为前提；以“分式的加减运算”为基础；以“分式 值为零的条件”为转化手段，使分式的各组成部分相辅相成，互为正迁移，使整个分式理论 简单流畅，互为进退，不产生内耗或对抗，是一种具有内在协调性的解法。 2．2．3也隐含转化和化归的数学思想。 只不过这种转化不是发生在第一步而是发生在最后一步，这是另一种形式的转化，淡 化了一开始就转化为整式方程的思想，或者辨证地说，摆脱了即成思想的束缚。 ．．．． 两种方法相对比，计算难度和计算量是完全一样的。只不过新方法的书写量大了一点， 要求时时带分母；还有，新方法最后一步的判断信息量较大，会形成教学难点，或对诸如 2(x,1) 此类的式子产生疑问；而且还无法估计新方法对后续理论和其他知识的不良影响。x(x,1) 即使这样，我们仍然相信新方法能够茁壮成长并能够得到发展。 ：新方法是合理的，有效的，有其存在的理由和价值；老方法也 是成熟的，有效的，没有被新方法取代的必要。在编写教材时，可以把分式方程的解法作为 “研究性学习”的内容，让两种方法并存，学生们可以进行对比研究并作出自己的个性化选 择。教材的呈现方式应考虑教师与学生的需要和创造，应改变那种将所有的事实和原理全部 直接呈现的方法；在教学内容的安排上要给教/学留有余地；教材不是教师与学生的“圣经”， 而是教师与学生要去加工和创造的东西。这是让学生形成正确的数学观、教师形成正确的数 学观和数学教学观的最佳选择。 通过这次研究，学生们对数学产生了新的认识，他们不在迷信和盲从权威，开始试探着 5 用自己的眼光去看世界。课本的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折、以及在建立一 个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路，学生一旦认识到这一点，他将不仅获 得真知灼见，还将获得顽强地追究他所进攻的问题的勇气，并且不会因为他自己并非完美无 缺而感到颓丧。而且此时我相信，学生得到了比满分的数学成绩更重要的东西。数学教育的 目的和任务，并不光是让学生学会技术性的解题，更要让学生学会正确地看待数学、数学地 去思考、以及获得独立追求问题根源的勇气和意志。这是我们的数学教育的终极目标。 研究即将以获得成功而结束时，一个学生满怀深意地问我：“老师，在考试中使用这种 方法给分吗？”我向同行们征求了意见，得到的回答很一致：“老实一点，别惹事！”这使我 再次陷入了痛苦的沉思。 我们传统的数学学业评价存在许多弊端，已经成为制约实施数学素质教育的瓶颈。传统 的学业成就评价，以数学测试量化成绩的解释为依据，对学习水平作出等第划分。这种以分 量能的评估观，引发了对分数的狂热追求，误入了应试教育的歧途。它对我们教师与学生的 思想形成强大的束缚，使教师与学生的眼光受制于大纲、教材所提供的思维方式，而不敢越 雷池一步。久而久之，学生们就会形成胆小怕事、循规蹈矩、毫无创新的性格，这是我们基 础教育的最大失误。 数学教育的目的和任务是多方面多层次的，要想完成如此重要的教育任务，数学 教师首先要具有正确的数学观和数学教学观。数学教师所持有的数学观，与他在数学教学中 的设计思想、与他在课堂讲授中的叙述方法以及他对学生的评价要求都有密切联系，通过数 学教师传递给学生的任何一些关于数学及其性质的细微信息，都会对学生今后去认识数学以 及数学在他们的生活阅历中的作用产生深刻的影响。换句话说，数学教师的数学观往往会影 响学生的数学观的形成。另一方面，数学教师的数学观和数学教学观在教育实践中受教材编 制思想和教学评价理念的反作用。即教师实际操作中的教学观被教材内容呈现方式和评价方 式所异化。课程和评价是制约教师和学生个性发展的重要因素，新课程改革要想取得成功， 这两方面必须取得突破性的进展；但是，在新课程改革的过程中，教师是最能动的因素，应 该积极、自觉地促使自己的观念得以改变，并努力以自己的方式去促进课程、评价的理念与 实践的质的发展。 （1）唐瑞芬主编，《数学教学理论选讲》， 华东师范大学出版社，2001年1月第一版 （2）M?克莱因 著，张理京、张锦炎 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社，1979年10月第一版。 （3）吕世虎、杜健，《素质教育观下的学生数学学业成就评价》、《数学教育学报》1999 年11月第8卷第4期第11—15页。 （4)《新课程理论与实验》济南市教育科学研究所编印材料。 6