高考压轴题训练(数学)

备战2013高考数学――压轴题跟踪演练系列一 1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 ，它们在 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. （Ⅰ）求这三条曲线的方程； （Ⅱ）已知动直线 过点 ，交抛物线于 两点，是否存在垂直于 轴的直线 被以 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）设抛物线方程为 ，将 代入方程得 ………………………………………………（1分） 由题意知椭圆、双曲线的焦点为 …………………（2分） 对于椭圆， ………………………………（4分） 对于双曲线， ………………………………（6分） （Ⅱ）设 的中点为 ， 的方程为： ，以 为直径的圆交 于 两点， 中点为 令 ………………………………………………（7分） …………（12分） 2．（14分）已知正项数列 中， ，点 在抛物线 上；数列 中，点 在过点 ，以方向向量为 的直线上. （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若 ，问是否存在 ，使 成立，若存在，求出 值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数 ，不等式 成立，求正数 的取值范围. 解：（Ⅰ）将点 代入 中得 …………………………………………（4分） （Ⅱ） ………………………………（5分） ……………………（8分） （Ⅲ）由 ………………………………（14分） 3.（本小题满分12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C的方程; (2) 设O为坐标原点, 过点 的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点, 延长线段ON交C于点E. 求证: 的充要条件是 . 解: (1)设点 , 点M的坐标为 ,由题意可知 ………………(2分) 又 ∴ . 所以, 点M的轨迹C的方程为 .………………(4分) (2)设点 , , 点N的坐标为 , ㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: 由 消去x, 得 ………………① ∴ ………………(6分) ∴ , ∴点N的坐标为 .………………(8分) ①若 EMBED Equation.3 , 坐标为, 则点E的为 , 由点E在曲线C上, 得 , 即 ∴ 舍去). 由方程①得 又 ∴ .………………(10分) ②若 , 由①得 ∴ ∴点N的坐标为 , 射线ON方程为: , 由 解得 ∴点E的坐标为 ∴ EMBED Equation.3 . 综上, EMBED Equation.3 的充要条件是 .………………(12分) 4.（本小题满分14分）已知函数 EMBED Equation.3 . (1) 试证函数 的图象关于点 对称; (2) 若数列 的通项公式为 , 求数列 的前m项和 (3) 设数列 满足: , . 设 . 若(2)中的 满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值. 解: (1)设点 是函数 的图象上任意一点, 其关于点 的对称点为 . 由 得 所以, 点P的坐标为P .………………(2分) 由点 在函数 的图象上, 得 . ∵ EMBED Equation.3 ∴点P 在函数 的图象上. ∴函数 的图象关于点 对称. ………………(4分) (2)由(1)可知, , 所以 , 即 ………………(6分) 由 , ……………… ① 得 ………………② 由①＋②, 得 ∴ ………………(8分) (3) ∵ EMBED Equation.3 , ………………③ ∴对任意的 . ………………④ 由③、④, 得 即 . ∴ .……………(10分) ∵ ∴数列 是单调递增数列. ∴ 关于n递增. 当 , 且 时, . ∵ ∴ ………………(12分) ∴ 即 ∴ ∴m的最大值为6. ……………(14分) 5．（12分） 、 是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆的右准线，点 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点. 当 时，求 的面积； 当 时，求 的大小； 求 的最大值. 解：（1） （2）因 ， 则 设 ， 当 时， 6．（14分）已知数列 中， ，当 时，其前 项和 满足 ， 求 的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式及 的值； 求数列 的通项公式； 设 ，求证：当 且 时， . 解：（1） 所以 是等差数列.则 . . （2）当 时， ， 综上， . （3）令 ，当 时，有 （1） 法1：等价于求证 . 当 时， 令 ， 则 在 递增. 又 ， 所以 即 . 法（2） （2） （3） 因 ，所以 由（1）（3）（4）知 . 法3：令 ，则 所以 因 则 ， 所以 （5） 由（1）（2）（5）知 7． (本小题满分14分) 第21题 设双曲线 =1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点. (1) 证明：无论P点在什么位置，总有| |2 = | · | ( O为坐标原点)； (2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围； 解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x – a ), 解得： = ( , ), 同理可得 = ( , ), ∴| · | =| EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 | = . 4分 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得: m2 = , n2 = , ∴ | |2 = :m2 + n2 = + = , ∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 . ∴无论P点在什么位置，总有| |2 = | · | . 4分 （2）由条件得： = 4ab, 2分 即k2 = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 2分 � EMBED PBrush \* MERGEFORMAT ��� _1234567953.unknown _1234568017.unknown _1234568049.unknown _1234568081.unknown _1234568097.unknown _1234568113.unknown _1234568121.unknown _1234568129.unknown _1234568133.unknown _1234568135.unknown _1234568137.unknown _1234568139.unknown _1234568140.unknown _1234568138.unknown _1234568136.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568132.unknown _1234568130.unknown _1234568125.unknown _1234568127.unknown _1234568128.unknown _1234568126.unknown _1234568123.unknown _1234568124.unknown _1234568122.unknown _1234568117.unknown _1234568119.unknown 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