分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用

　　【收稿日期】2005 - 11 - 02 　　【作者简介】林瑾瑜 (1963 - ) , 男 , 广东揭阳人 , 广东省揭阳市广播电视大学讲师。 分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用 林瑾瑜 (广东省揭阳市广播电视大学 , 广东揭阳 , 522000) 【摘要】从行列式的性质出发 , 推导出分块矩阵的若干性质 , 并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的 应用。 【关键词】分块矩阵 ; 性质 ; 行列式计算 【中图分类号】O151121 　【文献标识码】A 　【文章编号】1008 - 9764 (2006) 02 - 0109 - 03 　　大家知道 ,在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质 : (1)若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面 ; (2)把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变 ; (3)把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号。 利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广。 性质 1 　设矩阵 A 是由如下分块矩阵组成 A = A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 其中 A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , C1 , C2 , C3 都是 s ×t 矩阵 ,又 M 是任一 s 阶方阵。对于矩阵 D = A1 A2 A3 B1 + MC B2 + MC B3 + MC C1 C2 C3 则 | A | = | D | 证明 由 Es 0 0 0 Es 0 0 0 Es · A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 = A1 A2 A3 B1 + MC B2 + MC B3 + MC C1 C2 C3 其中 Es 是 s 阶单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得 : | A | = | D | 性质 2 　设方阵 A 是由如下分块矩阵组成 A = A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 　第 15 卷　总第 58 期 广 东 广 播 电 视 大 学 学 报 2006 年第 2 期　 　Vol. 15 　Sum No. 58 J OURNAL OF GUANGDONG RADIO & TV UNIVERSITY No. 2. 2006 　 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 其中 A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , C1 , C2 , C3 都是 s ×t 矩阵 ,又 M 是任一 s 阶方阵。对于矩阵 B = A1 A2 A3 MB1 MB2 MB3 C1 C2 C3 则 | B | = | M | ·| A | 证明 设 Es 为 s 阶单位矩阵 ,则 B = Es 0 0 0 M 0 0 0 Es · A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 = Es 0 0 0 M 0 0 0 Es ·A 于是 | B | = Es 0 0 0 M 0 0 0 Es ·| A | = | Es | ·| M | ·| Es | ·| A | = | M | ·| A | 性质 3 　设方阵 A 和 A′写成如下形式 A = A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 , 　　A′= B1 B2 B3 A1 A2 A3 C1 C2 C3 其中 A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , C1 , C2 , C3 都是 s ×t 矩阵。 则 | A′| = | A | ,当 s 为偶数时 - | A | ,当 s 为奇数时 证明 　A 可由 A′中的 B1 , B2 , B3 与 A1 , A2 , A3 相应的两行对换而得到 ,而对换行列式的两行 ,行列式反 号 ,故当 s 为偶数时 , | A′| = | A | ;当 s 为奇数时 , | A′| = - | A | 。 可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质。同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立。 下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用。 推论 1 　设 A , B 都是 n 阶方阵 ,则有 | AB | = | A | ·| B | 证明 　作 2 n 阶行列式 | C | = AB A 0 E 由拉普拉斯展开定理得 : | C | = | AB | ·| E | = | AB | 又由性质 1 并应用于列的情况 ,有 : AB A 0 E = AB - AB A 0 - EB E = 0 A - B E = ( - 1) 1 +2 + ⋯+ n+ ( n +1) + ⋯+2 n ·| A | ·| - B | = ( - 1) 1 2 (1 +2 n) ·2 n ·| A | ·( - 1) n | B | = | A | ·| B | 推论 2 　设 A , B 都是 n 阶方阵 ,则有 A B B A = | A + B | ·| A - B | 011　　　　　　　　　　　　　　　　广东广播电视大学学报 　(第 15 卷 　总 58 期) 　　　　　　　　　　　2006 年 6 月 20 日 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 证明 　根据定性质 1 并应用于列的情况 ,有 : A B B A = A + B B B + A A = A + B B 0 A + B = | A + B | ·| A - B | 例 1 　计算行列式 D = 0 x y z x 0 z y y z 0 x z y x 0 解 　这个行列式看似简单 ,但如果方法选择不当 ,做起来并不轻松。 设 A = 0 x x 0 , 　B = y z z y 由推论 2 知 : D = A B B A = | A + B | ·| A - B | = y x + z x + z y - y x - z x - z - y = [ y2 - ( x + z) 2 ][ y2 - ( x - z) 2 ] = ( x + y + z) ( - x + y - z) ( x + y - z) ( - x + y + z) 例 2 　计算 2 n 阶行列式 | D | = a 0 0 ⋯ 0 0 b 0 a 0 ⋯ 0 b 0 0 0 a ⋯ b 0 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 b ⋯ a 0 0 0 b 0 ⋯ 0 a 0 b 0 0 ⋯ 0 0 a 解 令 A = a 0 0 ⋯ 0 0 a 0 ⋯ 0 0 0 a ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 a 　　　B = 0 0 0 ⋯ b 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 b 0 ⋯ 0 b 0 0 ⋯ 0 则 | D | = A B B A = | A + B | ·| A - B | = a 0 ⋯ 0 b 0 a ⋯ b 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 b ⋯ a 0 b 0 ⋯ 0 a · a 0 ⋯ 0 - b 0 a ⋯ - b 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 - b ⋯ a 0 - b 0 ⋯ 0 a = ( a + b) n ( a - b) n = ( a2 - b2) n 111　2006 年第 2 期 林瑾瑜 :分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 推论 3 　设 A , B , C , D 都是 n 阶方阵 ,其中 | A | ≠0 ,并且 AC = CA ,则有 A B C D = | AD - CB | 证明 　根据性质 1 ,因为 A - 1 存在 ,并注意到 AC = CA ,用 ( - CA - 1 乘矩阵 A B C D 的第一行后加到第二行中去得 : A - CA - 1 B 0 D - CA - 1 B 从而 A B C D = A - CA - 1 B 0 D - CA - 1 B = | A | ·| D - CA - 1 B | = | AD - ACA - 1 B | ·| AD - CAA - 1 B | = | AD - CB | 例 　计算行列式 | p | = 3 1 1 2 2 4 3 4 1 0 2 3 0 1 1 4 解 　设 | P | = A B C D ,其中 , A = 3 1 2 4 , B = 1 2 3 4 , C = 1 0 0 1 , D = 2 3 1 4 由计算知 | A | = 10 ≠0 ,且 AC = CA 所以 | P | = | AD - CB | = 3 1 2 4 · 2 3 1 4 - 1 0 0 1 · 1 2 3 4 = 6 11 5 18 = 53 【参考文献】 [1 ]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代 数[M] . 北京 :高等教育出版社. 2001. [2 ]胡景明. 分块矩阵在求高阶行列式中的应用 [J ] . 河北 工程技术高等专科学校学报 ,2004 , (4) :50 - 53. Qualities of Block Matrix and Its Applications on Determinant Computation LIN Jin-yu (Jieyang Radio and TV University ,Jieyang ,Guangdong ,522000 ,China) Abstract :Several qualities of block matrix are deduced from determinant computation ,followed by their appli2 cations and testified with examples. Key words :block matrix ;quality ;determinant computation 211　　　　　　　　　　　　　　　　广东广播电视大学学报 　(第 15 卷 　总 58 期) 　　　　　　　　　　　2006 年 6 月 20 日 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net