关于非齐次马氏链的强极限定理_刘杰

文章编号: 1671-1742( 2009) 01-0087-04 关于非齐次马氏链的强极限定理 刘 杰, 纪灵军, 梁佩佩 (江苏大学理学院,江苏 镇江 212013) 摘要: 主要研究了非齐次马氏链的强极限定理. 首先应用鞅差序列收敛定理给出了关于非齐次马氏链的任意 k 元函数一类平均值的极限定理. 最后得到一系列相关状态序偶出现频率的推论. 关 键 词: 鞅差序列;非齐次马氏链; 强极限定理 中图分类号: O211. 6 文献标识码: A 收稿日期: 2008-07-10 1 引言 马尔可夫过程是一种十分重要的随机过程,为信息科学、管理科学以及金融决策提供了有利的数学工具. 马 尔可夫的极限理论是马尔可夫过程研究的最基本领域之一. 有关齐次马氏链的极限定理已取得了相当完备的研 究结果[ 1]。近几十年来,人们对非齐次马氏链的极限定理和遍历性展开了大量的研究, 如: 刘文, 杨卫国等人对 强大数定律进行了深入的研究[ 2] ; Isaacson和Huang 等对遍历性的研究[ 3] . 多重马尔可夫链概念是一般马尔可夫 链概念的自然推广. 随着马尔可夫链理论的不断发展和应用, 人们对多重马尔可夫链的理论研究和应用越来越 感兴趣. 信息论中的多重马氏信源是一种很重要的信源, 如实际生活中的语声、图像、电视信号等等都是二重及 多重马氏信源; 再如文献[ 4]利用二重马氏链的数学模型来研究地震的迁移规律. 利用鞅论中有关结果进一步研 究非齐次马氏链, 希望这些结果能够为进一步研究非齐次马氏链的有关性质提供一些相关的理论背景. 文中涉及到的问题都在固定的完备概率空间( 8 , F , P )上进行讨论. { Fn , n E 1}是 F 的自然 R域流, 即 Fn = R( X 0, X 1, ,, X n ) , 其中{X n , n E 0}为一随机变量序列,约定 F 0= { 5, 8} . 定义 1[ 5] 设{ X n , n E 0}是在状态空间 S = { 1, 2, ,, N }中取值的随机变量序列,如果对任意整数 n E 1及 Px i I S , 0F i Fn ,当 P ( X 0= x 0, X 1= x 1, ,, X n- 1= x n- 1) > 0时, 总有 P ( X n= x n | X 0= x 0, X 1= x 1, ,, X n- 1= x n- 1)= P (X n= x n| X n- 1= x n- 1) ( 1) 成立, 则称{ X n, n E 0}为马氏链. 若条件( 1)与 n 无关, 则称{ X n, n E 0}为齐次马氏链; 反之称{ X n , n E 0}为非 齐次马氏链. 记 q ( i 0)= P (X 0= i 0) , p n ( j | i ) = P ( X n= j | X n- 1= i ) , 称 q( i 0)为初始分布, p n ( j | i )为转移概率; 称 P n= ( p n ( j | i ) ) ( 2) 为转移矩阵. 这时易知其联合分布 P ( X 0= x 0, X 1= x 1, ,, X n= x n )= q ( x 0) 7 n k= 1 p k( x k | x k- 1) . ( 3) 记 X nm = { X m , X m+ 1, ,, X n } , X n= { X 0, X 1, ,, X n } , i k= ( i 1, ,, ik) . 2 主要结果 定理 1 设{ X n, n E 0}是具有分布( 3)的非齐次马氏链, f n( x 1, ,, x k) ( n E 1)是定义在 Sk 上的 k 元函数列, { an , n E 1}是一列单调递增趋于无穷大的数列. 如果 E ] n= 1 a - 2 n E [ f n( X n+ k- 2 n- 1 ) ] 2< ] , ( 4) 则有 第 24卷第 1期 2009年 2月 成 都 信 息 工 程 学 院 学 报 JOURNAL OF CHENGDU UNIVERSITY OF INFORMAT ION TECHNOLOGY Vol. 24 No. 1 Feb. 2009 lim n a - 1 n E n t= 1 { f t ( X t+ k- 2 t- 1 )- E [ f t ( X t+ k- 2 t- 1 ) | X t- 1] }= 0 ( 5) 证 令 Y t= f t ( X t+ k- 2t- 1 ) - E [ f t ( X t+ k- 2t- 1 ) | X t- 1] , t E 1, ( 6) 易知{ Y t , t E 1}是一鞅差序列. 由条件期望的 Jensen不等式有 E {E [ f t ( X t+ k- 2t- 1 ) | X t- 1] } 2 FE { E [ f 2t ( X t+ k- 2t- 1 ) | X t- 1] } = E [ f t ( X t+ k- 2 t- 1 ) ] 2 ( 7) 由( 4)式和( 7)式知 E ] n= 1 a - 2 n E { E[ f n( X n+ k- 2 n- 1 ) | X n- 1] } 2 F E ] n= 1 a - 2 n E [ f n ( X n+ k- 2 n - 1 ) ] 2< ] . ( 8) 于是由( 4)式, ( 6)式和( 8)式有 E ] n= 1 a - 2 n EY 2 n< ] . ( 9) 由( 9)式及鞅差序列收敛定理[ 6] , 有 lim n 1 an E n t= 1 Yt = 0, a. e. . ( 10) 由( 6)式和( 10)式可得( 5)式成立, 从而命题得证. 定义 Di ( x )为 S 上的 kroneck函数, 即 Di ( x )= 1, i= x ; 0, i X x . ( 11) 令 Sn ( i )表示状态 i 在序列X 0, X 1, ,, X n- 1中出现的次数, 即 Sn ( i ) = E n- 1 t= 0 Di ( X t ) ( 12) 同理令 Sn ( i 1, i 2, ,, i k)表示状态序偶( i 1, i 2, ,, i k )在序列 X k- 1, X k1, ,, X n- 1n- k中出现的次数, 即 Sn ( i 1, i 2, ,, i k)= E n t = k Di 1 ( X t- k) Di 2 ( X t- k+ 1) ,Di k ( X t- 1) . ( 13) 推论 1 设{ X n , n E 0}是一具有分布( 3)的非齐次马氏链, Sn ( i 1, ,, ik) = S n( ik )如( 13)式定义, 则当 k> 1 时有 lim n S n( i k ) n - 1 n E n t= 1 Di 1 ( X t- 1) P ( X t= i 2, ,, X t+ k- 2= i k | i 1) = 0, a. e. . ( 14) 证 令 f t ( x 1, ,, x k) = Di 1 ( x 1) ,Di k ( x k) ( t E 1)及 an= n,则有 1 n E n t= 1 { f t ( X t+ k- 2 t- 1 ) - E [ f t ( X t+ k- 2 t- 1 ) | X t- 1] } = 1 n E n t= 1 { f t ( X t+ k- 2 t- 1 )- E j 1 , ,, j k- 1 I S f t ( X t- 1, j 1, ,, j k- 1)#P (X t= j 1, ,, X t+ k- 2= j k- 1| X t- 1) } = 1 n E n t= 1 Di 1 ( X t- 1 ,Di k ( X t+ k- 2)- 1 n E n t= 1 E j 1 , ,, j k- 1 I S Di 1 ( X t- 1) Di 2 ( j 1) ,Di k ( j k- 1) P (X t = j 1, ,, X t+ k- 2= j k- 1| X t- 1) = 1 n E n- k + 1 t= 1 Di 1 ( X t- 1) ,Di k ( X t+ k- 2)+ 1 n E n t= n- k + 2 Di 1 ( X t- 1) ,Di k ( X t+ k- 2) - 1 n E n t= 1 Di 1 ( X t- 1)#P( X t= i 2, ,, X t+ k- 2= i k | i 1) = Sn ( i k ) n + 1 n E n t= n- k+ 2 Di 1 ( X t- 1) ,Di k ( X t+ k- 2) - 1 n E n t= 1 Di 1 ( X t- 1) P ( X t= i 2, ,, X t+ k- 2= i k | i 1) ( 15) 容易验证 f t ( x 1, ,, x k) , an 满足条件( 4)式,则由定理 1与( 15)式知( 14)式成立. 引理 1[ 5] 设{ X n , n E 0}是具有分布( 3)式的非齐次马氏链, S n( i )如前定义.设 P= ( p ( j | i ) ) ( 16) 为另一转移矩阵,且假设 P 是不可约的. 如果对 Pj I S , i I S 有 lim n 1 n E n t= 1 | p t ( j | i )- p ( j | i ) | = 0, ( 17) 88 成 都 信 息 工 程 学 院 学 报 第 24卷 则有 lim n Sn ( i ) n = P( i ) , a. e. , ( 18) 其中{ P( i ) , i I S }是 P 所确定的平稳分布. 引理 2 设{ X n , n E 0}是具有分布( 3)的非齐次马氏链, ( i 1, i 2, ,, ik )是一定义在 Sk 上的 k 元状态序列.设 ( 16)式为另一转移矩阵. 如果对P j I S , i I S 有( 17)式成立, 则当 k> 1时,有 lim n 1 n E n t= 1 | 7 k- 1 l= 1 ( p t+ l- 1( il+ 1| i l )- p ( i l+ 1| il ) ) | | = 0. ( 19) 证 由于 1 n E n t= 1 | p t ( i 2| i 1) p t+ 1( i 3| i 2) ,p t+ k- 2( i k | i k- 1) - p ( i 2| i 1) ,p ( i k | i k- 1) | = 1 n E n t= 1 | p t ( i 2| i 1) p t+ 1( i 3| i 2) ,p t+ k- 3( ik- 1| i k- 2) p t+ k- 2( ik | i k- 1) - p t ( i 2| i 1) p t+ 1( i 3| i 2) ,p t+ k- 3( ik- 1| i k- 2) p ( i k | i k- 1) + p t ( i 2| i 1) p t+ 1( i 3| i 2) ,p t+ k- 3( ik- 1| i k- 2) p ( i k | i k- 1) - p t ( i 2| i 1) p t+ 1( i 3| i 2) ,p t+ k- 4( ik- 2| i k- 3) p ( i k- 1| i k- 2) p ( ik | i k- 1) + ,+ p t ( i 2| i 1) p ( i 3| i 2) ,p ( i k | i k- 1) - p ( i 2| i 1) p ( i 3| i 2) ,p ( ik | ik- 1) | F 1 n E n t= 1 | p t+ k- 2( ik | i k- 1)- p ( i k | ik- 1) | + 1 n E n t= 1 | p t+ k- 3( ik- 1| ik- 2)- p ( ik- 1| ik- 2) | + ,+ 1 n E n t= 1 | p t ( i 2| i 1)- p ( i 2| i 1) | . ( 20) 由( 17)式和( 20)式可知( 19)式成立. 证毕. 定理 2 设{ X n , n E 0}是具有分布( 3)的非齐次马氏链, S n( i 1, ,, i k)= Sn ( ik)如前定义.设 P= ( p ( j | i ) ) ( 21) 为另一转移矩阵, 假设 P 是不可约的. 如果对 P i I S , j I S 有 lim n 1 n E n t= 1 | p t ( j | i )- p ( j | i ) | = 0, ( 22) 则当 k> 1时, 有 lim n Sn ( i k ) n = P( i ) 7 k- 1 l= 1 p ( i l+ 1| i l ) , a. e. , ( 23) 其中{P( i ) , i I S }是 P 所确定的平稳分布. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :由于 1 n E n t= 1 Di 1 ( X t- 1) P( X t= i 2, ,, X t+ k- 2= i k | i 1) - 1 n E n t= 1 Di 1 ( X t- 1) p ( i 2| i 1) ,p ( i k | i k- 1) = 1 n E n t= 1 Di 1 ( X t- 1) p t ( i 2| i 1) p t+ 1( i 3| i 2) ,p t+ k- 2( ik | ik- 1)- 1 n E n t= 1 Di 1 ( X t- 1) p ( i 2| i 1) ,p ( ik | ik- 1) F 1 n E n t= 1 | p t ( i 2| i 1) p t+ 1( i 3| i 2) ,p t+ k- 2( i k | i k- 1) - p ( i 2| i 1) ,p ( i k | i k- 1) . ( 24) 由( 14)式, ( 19)式和( 24)式并注意到( 12)式有 lim n S n( i k ) n - S n( i ) n p ( i 2| i 1) ,p ( i k | ik- 1) = lim n 1 n E n t = 1 Di 1 ( X t- 1) P( X t= i 2| i 1)- 1 n E n t= 1 Di 1 ( X t- 1) p ( i 2| i 1) ,p ( ik | ik- 1) = 0, a. e. . ( 25) 由( 18)式和( 25)式知( 23)式显然成立. 证毕. 参考文献: [ 1] 施仁杰. 马尔可夫链基础及其应用[ M ] . 西安:西安电子科技大学出版社, 1992. [ 2] 刘文, 杨卫国. 一类对可列非齐次马氏链普遍成立的强大数定律[ J] . 科学通报, 1992, 37( 16) : 1448- 1451. 89第 1期 刘杰等:关于非齐次马氏链的强极限定理 [ 3] Huang C C, Isaacson D L. Ergodicity using Mean Visit T imes[ J] . J London M ath Soc, 1976, 14( 2) : 570- 576. [ 4] 王梓坤. 概率统计预报[ M] .北京: 科学出版社, 1978. [ 5] 刘文,杨卫国. 关于非齐次马氏信源的渐进均分割性[ J] .应用概率统计, 1997, 13( 4) : 359- 366. [ 6] 汪嘉冈.现代概率论基础[ M] .上海:复旦大学出版社, 2005. Strong limit theorems for nonhomogeneous Markov chains LIU Jie, JI L ing- jun, LIANG Pe-i pei ( F acult y of Science, Jiangsu University , Zhenjiang 212013, China) Abstract: The st rong limit theorems for the nonhomogeneous Markov chains are studied. F irst ly a limit theorem for the average of the function of arbitrary k variables of the nonhomogeneous Markov chains is established by the con- verg ence theorem for the mart ingale dif ference sequence. Finally as corollaries a series of strong limit theorems for the frequency of the occurrence of state are obtained. Key words: mart ingale difference; nonhomogeneous M arkov chains; st rong limit theorem 90 成 都 信 息 工 程 学 院 学 报 第 24卷