高考数学压轴题1

2010高考数学总复习压轴题( 1 ) Bh-Au整理 1．（本小题满分14分） 某国采用养老储备金 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 。公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n－2，……，以Tn 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示到第n年末所累计的储备金总额。 （Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式； （Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列。 1．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）我们有 （Ⅱ） ① 在①式两端同乘 ，得 ② ②-①，得 ＝ 即 如果记 则 其中 是以 为首项，以 为公比的等比数列； 是以 为首项， 为公差的等差数列． 2．（本小题满分14分） 已知函数 ， 是方程 的两个根（ ）， 是 的导数。设 ， 。 （1）求 的值； （2）证明：对任意的正整数 ，都有 ； （3）记 ，求数列 的前 项和 。 2．（本题满分14分） 解析：(1) 由 得 (2)(数学归纳法)①当 时, 命题成立; ②假设当 时命题成立,即 ,又等号成立时 时, EMBED Equation.DSMT4 时命题成立;由①②知对任意 均有 . (3) EMBED Equation.DSMT4 同理 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 又 数列 是一个首项为 ,公比为2的等比数列; . 3．（本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数f（x）= x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a>0。设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同。 （Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值； （Ⅱ）求证：f（x） ≥g（x）（x>0）。 3．解： （Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x>0）在公共点（x0,y0）处的切线相同, . 即 则有 令 于是 当 当 故 为减函数, 于是h（t）在 （Ⅱ）设 则 故F（x）在（0，a）为减函数，在（a,+ ）为增函数， 于是函数 故当x>0时，有 4．（本小题满分14分） 已知m，n为正整数。 （Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，（1+x）m≥1+mx； （Ⅱ）对于n≥6，已知 ，求证 ，m=1,2…，n； （Ⅲ）求出满足等式3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n。 4．解法1： （Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （i）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x,因为x2≥0, 所以左边≥右边，原不等式成立； （ii）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，则当m=k+1时， 两边同乘以1+x得 ， 所以 时，不等式也成立。 综合（i）（ii）知，对一切正整数m，不等式都成立. （Ⅱ）证：当n≥6,m≤n时，由（Ⅰ）得 于是 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n≥6时， ， 故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形； 当n=1时，3≠4，等式不成立； 当n=2时，32+42＝52，等式成立； 当n=3时，33+43+53＝63，等式成立； 当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立； 当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立. 综上，所求的n只有n=2,3 解法2： （Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当x>-1且x≠0时，m≥2,（1+x）m>1+mx. eq \o\ac(○,1) （i）当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立； （ii）假设当m=k（k≥2）时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0. 于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得 （1+x）k·（1+x）>（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2>1+（k+1）x, 所以（1+x）k+1>1+（k+1）x,即当m＝k+1时，不等式①也成立 综上所述，所证不等式成立 （Ⅱ）证：当 而由（Ⅰ）， （Ⅲ）解：假设存在正整数 成立， 即有 + ＝1 ② 又由（Ⅱ）可得 + + 与②式矛盾， 故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n。 故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形； 当n=1时，3≠4，等式不成立； 当n=2时，32+42＝52，等式成立； 当n=3时，33+43+53＝63，等式成立； 当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立； 当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立 综上，所求的n只有n=2,3 5．（本小题满分16分） 已知｛an｝是等差数列，｛bn｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列｛bn｝的前n项和。 （1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m－1）a1；（4分） （2）若b3=ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛bn｝中的每一项都是数列｛an｝中的项；（8分） （3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛bn｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分） 5．解：设 的公差为 ，由 ，知 ， （ ） （1）因为 ，所以 ， ， 所以 （2） ，由 ， 所以 解得， 或 ，但 ，所以 ，因为 是正整数，所以 是整数，即 是整数，设数列 中任意一项为 ， 设数列 中的某一项 EMBED Equation.DSMT4 = 现在只要证明存在正整数 ，使得 ，即在方程 中 有正整数解即可， ， 所以： ，若 ，则 ，那么 ，当 时，因为 ，只要考虑 的情况，因为 ，所以 ，因此 是正整数，所以 是正整数，因此数列 中任意一项为 与数列 的第 项相等，从而结论成立。 （3）设数列 中有三项 成等差数列，则有 2 设 ，所以2 ，令 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，因为 ，所以 ，所以 ，即存在 使得 中有三项 成等差数列。 6．（本小题满分16分） 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数 ， 。方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。 （1）求 的值；（3分） （2）若a=0，求 的取值范围；（6分） （3）若a=1，f（1）=0，求 的取值范围。（7分） 6．解（1）设 是 的根，那么 ，则 是 的根，则 即 ，所以 。 （2）因为 ，所以 ，则 = =0的根也是 的根。 （a）若 ，则 ，此时 的根为0，而 的根也是0，所以 ， （b）若 ，当 时， 的根为0，而 的根也是0，当 时， 的根为0和 ，而 的根不可能为0和 ，所以 必无实数根，所以 所以 ，从而 所以当 时， ；当 时， 。 （3） ，所以 ，即 的根为0和1， 所以 =0必无实数根， （a）当 时， = = ，即函数 在 ， 恒成立，又 ，所以 ，即 所以 ； （b）当 时， = = ，即函数 在 ， 恒成立，又 ，所以 ， EMBED Equation.DSMT4 ，而 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 不可能小于0， （c） 则 这时 的根为一切实数，而 ，所以 符合要求。 所以 7．（本小题满分14分） 设正整数数列{an}满足：a2＝4，且对于任何n∈N*，有 。 （1）求a1，a3； （2）求数列{ an }的通项an 。 7．解：（1）据条件得 ① 当 时，由 ，即有 ， 解得 因为 为正整数，故 当 时，由 ， 解得 ，所以 （2）方法一：由 ， ， ，猜想： 下面用数学归纳法证明 1 当n=1， 时，由（1）知 均成立； 2 假设 成立，即 ，则 时 由①得 因为 时， ，所以 k-1≥1，所以 又 ，所以 故 ，即 时， 成立 由1 ，2 知，对任意 ， （2）方法二： 由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：an=n2 下面用数学归纳法证明 1 当n=1， 时，由（1）知 均成立； 2 假设n=k（k≥2）成立，则 ，则n=k+1时 由①得 即 ② 由②左式，得 ，即 ，因为两端为整数， 则 于是 ③ 又由②右式， 则 因为两端为正整数，则 ， 所以 又因 时， 为正整数，则 ④ 据③④ ，即 时， 成立 由1，2知，对任意 ， 8．（本小题满分12分） 已知数列{an}中a1＝2，an＋1＝（ ）（an＋2），n＝1，2，3…。 （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}中b1＝2，bn＋1= ，n＝1，2，3，…，证明： ， 8．解： （Ⅰ）由题设： ， 。 所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ， 即an的通项公式为 ，n=1，2，3……。 （Ⅱ）用数学归纳法证明。 （ⅰ）当n=1时，因 ，b1=a1=2，所以 ，结论成立。 （ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即 ， 也即 。 当n=k+1时， ， 又 ， 所以　　 。 也就是说，当 时，结论成立。 根据（ⅰ）和（ⅱ）知 ， 9．（本小题满分14分） 设函数 ,其中b≠0。 （Ⅰ）当b> 时，判断函数 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数 的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式 都成立。 9． （I） 由题意知， 的定义域为 ， 设 ，其图象的对称轴为 ， ∴ 当 时， ， 即 在 上恒成立. ∴当 时， ∴当 时,函数 在定义域 上单调递增。 （II）（1）由（I）得：当 时，函数 无极值点. （2）当 时， =0有两个相同的解 ， ∵ 时， 时， 时，函数 在 上无极值点。 （3）当 时， 得两个不同解， ， . ∵ 时， ， ， ∴ 时， 随x的变化情况如下表： - 0 + ↘ 极小值 ↗ 由此表可知 时， 有唯一极小值点 当 时， EMBED Equation.3 ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， 此时， 随x的变化情况如下表： + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由此表可知： 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ； 综上所述， 时， 有唯一极小值点 ； 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ； 时， 在 无极值点。 （Ⅲ） 当 时， 令 则 ∴当 EMBED Equation.DSMT4 时， 所以函数 在 上单调递增， 又 ∴ 时，恒有 即 恒成立， 故 时，有 ， 对任意正整数 ，取 EMBED Equation.3 ， 则有 所以结论成立。 10．（本小题满分12分） 已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk，且Sk＝ N*），其中a1=1。 （Ⅰ）求数列{ak}的通项公式； （Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{bk}满足 （k=1，2，…，n-1），b1=1。求b1+b2+…+bn。 10．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当 ，由 及 ，得 。 当 时，由 ，得 。 因为 ，所以 。从而 。 ，故 。 （Ⅱ）因为 ，所以 。 所以 故 EMBED Equation.DSMT4 。 PAGE 2 _1328276212.unknown _1328276341.unknown _1328276405.unknown _1328276437.unknown _1328276469.unknown _1328276485.unknown _1328276501.unknown _1328276509.unknown _1328276513.unknown _1328276517.unknown _1328276519.unknown _1328276521.unknown _1328276523.unknown _1328276524.unknown _1328276522.unknown _1328276520.unknown _1328276518.unknown _1328276515.unknown _1328276516.unknown _1328276514.unknown _1328276511.unknown _1328276512.unknown _1328276510.unknown _1328276505.unknown _1328276507.unknown _1328276508.unknown _1328276506.unknown _1328276503.unknown _1328276504.unknown _1328276502.unknown _1328276493.unknown _1328276497.unknown _1328276499.unknown _1328276500.unknown _1328276498.unknown _1328276495.unknown _1328276496.unknown _1328276494.unknown _1328276489.unknown _1328276491.unknown _1328276492.unknown _1328276490.unknown _1328276487.unknown _1328276488.unknown _1328276486.unknown _1328276477.unknown _1328276481.unknown _1328276483.unknown _1328276484.unknown _1328276482.unknown _1328276479.unknown _1328276480.unknown _1328276478.unknown _1328276473.unknown _1328276475.unknown _1328276476.unknown _1328276474.unknown _1328276471.unknown _1328276472.unknown _1328276470.unknown _1328276453.unknown _1328276461.unknown _1328276465.unknown _1328276467.unknown _1328276468.unknown _1328276466.unknown _1328276463.unknown _1328276464.unknown _1328276462.unknown _1328276457.unknown _1328276459.unknown _1328276460.unknown _1328276458.unknown _1328276455.unknown _1328276456.unknown _1328276454.unknown _1328276445.unknown _1328276449.unknown _1328276451.unknown _1328276452.unknown _1328276450.unknown _1328276447.unknown _1328276448.unknown _1328276446.unknown _1328276441.unknown _1328276443.unknown _1328276444.unknown _1328276442.unknown _1328276439.unknown _1328276440.unknown _1328276438.unknown _1328276421.unknown _1328276429.unknown _1328276433.unknown _1328276435.unknown _1328276436.unknown _1328276434.unknown _1328276431.unknown _1328276432.unknown _1328276430.unknown _1328276425.unknown _1328276427.unknown _1328276428.unknown _1328276426.unknown _1328276423.unknown _1328276424.unknown _1328276422.unknown _1328276413.unknown _1328276417.unknown _1328276419.unknown _1328276420.unknown _1328276418.unknown _1328276415.unknown _1328276416.unknown _1328276414.unknown _1328276409.unknown _1328276411.unknown _1328276412.unknown _1328276410.unknown _1328276407.unknown _1328276408.unknown _1328276406.unknown _1328276373.unknown _1328276389.unknown _1328276397.unknown _1328276401.unknown _1328276403.unknown _1328276404.unknown _1328276402.unknown _1328276399.unknown _1328276400.unknown _1328276398.unknown _1328276393.unknown _1328276395.unknown _1328276396.unknown _1328276394.unknown _1328276391.unknown _1328276392.unknown _1328276390.unknown _1328276381.unknown _1328276385.unknown _1328276387.unknown _1328276388.unknown _1328276386.unknown _1328276383.unknown _1328276384.unknown _1328276382.unknown _1328276377.unknown _1328276379.unknown _1328276380.unknown _1328276378.unknown _1328276375.unknown _1328276376.unknown _1328276374.unknown _1328276357.unknown _1328276365.unknown _1328276369.unknown _1328276371.unknown _1328276372.unknown _1328276370.unknown _1328276367.unknown _1328276368.unknown _1328276366.unknown _1328276361.unknown _1328276363.unknown _1328276364.unknown _1328276362.unknown _1328276359.unknown _1328276360.unknown _1328276358.unknown _1328276349.unknown _1328276353.unknown _1328276355.unknown _1328276356.unknown _1328276354.unknown _1328276351.unknown _1328276352.unknown _1328276350.unknown _1328276345.unknown _1328276347.unknown _1328276348.unknown _1328276346.unknown _1328276343.unknown _1328276344.unknown _1328276342.unknown _1328276276.unknown _1328276308.unknown _1328276325.unknown _1328276333.unknown _1328276337.unknown _1328276339.unknown _1328276340.unknown _1328276338.unknown _1328276335.unknown _1328276336.unknown _1328276334.unknown _1328276329.unknown _1328276331.unknown _1328276332.unknown _1328276330.unknown _1328276327.unknown _1328276328.unknown _1328276326.unknown _1328276317.unknown _1328276321.unknown _1328276323.unknown _1328276324.unknown _1328276322.unknown _1328276319.unknown _1328276320.unknown _1328276318.unknown _1328276313.unknown _1328276315.unknown _1328276316.unknown _1328276314.unknown _1328276311.unknown _1328276312.unknown _1328276309.unknown _1328276292.unknown _1328276300.unknown _1328276304.unknown _1328276306.unknown _1328276307.unknown _1328276305.unknown _1328276302.unknown _1328276303.unknown _1328276301.unknown _1328276296.unknown _1328276298.unknown _1328276299.unknown _1328276297.unknown _1328276294.unknown _1328276295.unknown _1328276293.unknown _1328276284.unknown _1328276288.unknown _1328276290.unknown _1328276291.unknown 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