傅里叶级数分析

傅里叶级数分析 一、用完备正交函数集表示信号     把信号分解成正交分量之和的研究 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 在信号系统理论中占有重要的地位。信号的正交分解类比于矢量的正交分解。祥见第六章。 1.正交函数集     假设有n个函数 INCLUDEPICTURE "http://zlgc.usx.edu.cn/jsjy/kc/xhyjs/chap3/chap3_1/images/g1.gif" \* MERGEFORMATINET ,,...构成一个函数集，这些函数在区间内满足如下正交特性： 则此函数集称为正交函数集。即如果两个信号g(t)和f(t)的标量积为零，也就是互能量为零，则称两个信号是互相交的。可以形象地说，正交信号彼此极端的“不相似”。任意信号都可以用完备正交函数来表示。 2.完备     所谓完备函数系是指:在系外不存在与系内的函数互为正交的函数。可以这样来理解：如果不存在x(t)，使得它满足,那么在区间内互相正交的函数就称为完备正交系。相反,如果能找到一个函数x(t)，使得上面的积分为零，那就说明x(t)与函数系中的每一个函数都是正交的，因此它本身就属于此函数系，显然不包含x(t)，此函数系就不完备。 3.完备函数系表示任意函数      如果此函数系是完备正交的,那么任何函数都可以表示为: 其中:。 4.矢量的正交与正交分解     行矢量x和列矢量y正交的定义就是它们的内积（即点积）为零。。这里的T表示矢量的转置运算。一个n维矢量，可用一个n维的正交矢量集中各矢量的线性组合表示。比如在三维空间中，以矢量[2，0，0]，[0，2，0]，[0，0，2]所组成的集合，就是一个正交矢量集。如三维矢量s=[3,4,5]可以写成：，这就是矢量的正交分解。一般情况下，n维矢量需要分解成n个正交分量，如果只把它表示成不足n个正交分量的线性组合，就会产生误差，比如三维矢量s=[3,4,5]，如果只用两个正交矢量[2，0，0]及[0，2，0]的线性组合表示，设表达式为：，就会产生一个如下的误差： 为使误差最小,须使。如下图所示:     由误差表达式可以看出：这是一个三维矢量的距离误差，它与投影平面正交(即与投影平面的两基底矢量都正交。于是具有最小误差的近似矢量为s=[3,4,0]，正好是原矢量s=[3,4,5]在由[2,0,0]和[[0,2,0]所张成的二维基底平面上的正交投影。 5.三角函数的正交性     根据正交函数的正交性，对于三角函数有如下关系： 所以，三角函数是正交函数。 6.指数函数的正交性:  二.傅里叶级数 周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：     三角函数式的傅立里叶级数。     复指数函数式的傅里叶级数。 1.傅立叶级数的定义 利用三角函数的和差化积公式可得到如下的表示式: 三角形式 指数形式 直流系数 直流系数 余弦分量 系数 正频率系数 正弦分量 系数 负频率系数 2.几点说明     a)三角函数傅立叶级数和指数的傅立叶级数不是两种不同类型的级数，而是同一级数的两种不同表示方法。     b)指数级数中，n为同值的正整数负整数的项都为正交函数集。而三角级数中，n为同值的正整数和负整数构成的一对函数并不相互正交。     c)任意信号都可以表示为不同频率和不同幅度正弦信号的迭加。     观察正弦信号的合成与其频谱之间的对应关系 三.傅里叶级数的收敛     1.傅里叶级数       由于傅里叶级数的计算涉及到无限项求和，因此，要用连续傅里叶级数表示周期函数，这个周期函数需要满足一定的条件，即狄里赫利条件。     条件1.在任何一个周期内周期信号必须模可积，即。这意味着f(t)在一个周期内的能量是有限的，这一条件保证了分析公式计算的每一个傅立叶系数都是有限的。     条件2.在的任何一个周期内只有有限个数的极大值和极小值。这一条件意味着，在一个周期内只允许有限次起伏。     条件3.在f(t)的任何一个周期内，只允许有限个阶跃型间断点，且在这些间断点上，只出现有限跃变值。     注意：若t连续，，此式收敛于f(t)；若是间断点，傅立叶级数表达式则收敛于函数左极限和右极限的算数平均值：。第一个条件是充分条件，但不一定必要；后两个条件是必要条件，但不充分。      不满足狄里赫利条件的周期信号，在自然界中都属于一类比较反常的周期信号，即所谓病态的函数。它们在信号与系统的研究中没有什么特别的重要性。对于极为广泛的周期信号，包括具有间断点的周期信号，一般说来可放心的用它的傅里叶级数表示。      a.对于处处连续的周期信号，用分析公式可求出傅立叶系数，用合成公式合成出来的信号，在所有的t都收敛于原信号。      b.对于一个具有阶跃间断点的周期信号，除那些孤立的间断点外，在其余所有点上，连续傅里叶级数都收敛于原周期信号的值；在孤立的间断点上，则收敛于间断点左，右极限的平均值。如果规定连续时间信号在其间断点阶跃型无定义。按这种规定，只要周期信号中不包含冲激及其导数(即所有不连续点仅为阶跃间断点)，则与其连续傅里叶级数之间不会有任何能量上的差别。从信号与系统的意义上看，可以认为是同一个周期信号。 四.傅立叶级数的三角表示和指数表示 例题：求解下图所示周期信号的傅立叶级数（三角形式与指数形式） 解： 这个周期矩形信号的双边和单边频谱图如下： 我们可以观看周期方波信号的频谱演示。     三角形式的频谱图上每一条谱线代表一个谐波分量。而指数形式的频谱图中，正负相对应的两条谱线合并起来，表示一个谐波分量。因此，指数频谱图上的高度等于三角频谱图上谱线高度的一半。 五.周期信号的频谱的特点 1.用三角傅立叶级数的系数所绘制周期函数的单边频谱图 特点： 离散性：这种谱由不连续的线条组成，每一条代表一个正弦分量，这样的谱称为不连续谱或者离散谱。 谐波性：这种频谱的每一条谱线都只能出现在基波频率w1的整数倍的频率上，频率中不可能存在任何频率为基波频率的非整数的倍频率分量 收敛性：各条谱线的高度，也即各次谐波的振幅的总趋势是随着谐波次数的增加而逐渐减小。当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅也就趋于零。 2. 用指数傅立叶级数的系数所绘制的周期信号的双边频谱图 特点： 引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导； Cn是实函数，Fn一般是复函数，当Fn是实函数时，可用Fn的正负表示0和π相位，幅度谱和相位谱合一。 六.奇偶虚实的对应关系 1.如果f(t)是t的实函数，幅度频谱中的是的偶函数，相位谱中的相角是的奇函数。 2.如果f(t)是t的偶实函数，则是的偶函数。 3.如果f(t)是t的奇实函数，则是的虚奇函数。 4.将时间函数的原点平移，只改变各谐波分量的相对相位,而幅度谱没有改变。 七.函数的对称性与傅立叶系数的关系 1.偶函数     若信号是纵轴对称的，即，则称之为偶函数。周期偶函数只含直流项和余弦项： 其中a是实数，。 是实数，则。    例如，下图所示周期三角函数是偶函数： 则这个函数的傅立叶级数为： 2.奇函数     若信号是相对于坐标轴反对称，即满足，则称之为奇函数。周期奇函数只含正弦项： 例如，下图所示的周期锯齿波是奇函数： 这个函数的傅立叶级数如下： 3.奇谐函数     若波形沿时间轴平移并相对该轴反转，此时波形并不发生变化，即满足，这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。奇谐函数的波形如下： 奇谐函数的傅立叶级数中，只含有基波和奇次谐波项，而不会包含偶次谐波项。 4.傅立叶级数的对称性与谐波系数的关系一览表   5.利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量的示例 周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量,这个波形全波对称条件和半波对称条件都满足,可以证明,计算傅立叶系数时,只要对四分之一周期积分就可以了. 周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量 不满足任何对称条件,仅含有直流分量正弦分量.(想一想为什么?) 只含有正弦分量.(奇对称) 含有直流分量和余弦分量(偶对称 八.周期信号的频谱     傅立叶系数Fk表示组成周期信号f(t)的各个复指数分量之复数幅度。如果我们在w轴上绘制傅立叶系数Fk的图形，这种图形称为周期信号的频谱。     一般，周期信号的系数是一个复数，难以用一个实数频谱图形表示出来.通常，我们用它的模和幅角： 并分别在频率轴上画出和的线状图。表示各个谐波复指数的幅度大小,故把或在频率轴上的线状图称为周期信号的幅度频谱,简称幅度谱。代表谐波复指数的相位，故把它们在频率轴上的线状图称为周期信号的相位频谱，简称相位图。     周期信号频谱的主要特点为:     (1) 周期信号的频谱都是离散频谱，即只在该周期信号重复频率(w=2π/T)的整数倍频率点上，才出现谱线。     (2) 连续时间周期信号一般包含有无穷多条谱线，换言之，它们由无穷多个成谐波关系的复指数分量组成。     (3) 在周期信号的离散频谱中，每条谱线之间的间隔等于重复频率w，它分别与周期T成反比。换言之，如果周期愈短，谱线之间的间隔愈大，频谱愈稀疏；相反，若周期愈长，谱线之间的间隔愈小，频谱愈紧密。     (4)  实际周期信号一般都为实周期信号,实周期信号的傅里叶级数系数是共轭偶对称的。因此，我们求傅里叶级数时，只需求取其中的一半。     (5) 如果把周期信号幅度谱的谱线顶点用曲线连起来，这样连成的曲线称为周期信号的频谱包络。连续时间周期信号频谱的包络是非周期的。另外，在一个周期内具有有限宽度脉冲的周期信号，它们的频谱包络线都等间隔的通过零点。一般的，对于这样的实周期脉冲信号，从0到第一个包络线零点的频率范围内，谐波分量的功率占去了该周期信号功率的绝大部分。通常，这个频率范围作为衡量这种周期脉冲信号的频谱宽度的一种度量，称为周期信号的频谱宽度。     周期信号f(t)既可以用傅立叶级数的时域表示式描写，也可以用离散譜来描写，那么傅立叶级数和离散譜是不是一回事呢？结论是它们表示同一信号，但是彼此是不同的。傅立叶级数是时间t为自变量的函数，是时间波形，它由不同的谐波分量所组成，知道频谱还必须按频谱所规定的的频率，初相，振幅产生出各次谐波，再求和才能得到f(t),它们之间只要知道了一个，就可以推出另一个，但它们彼此是有区别的，不要混淆。 九.周期矩形脉冲信号的分析      假设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E,重复周期为T，如下图所示 这种信号的表示为 1.求f(t)的复数振幅和展开成傅里叶级数  此等式是三角傅里叶级数展开式，由此作出单边谱。  上式为指数傅里叶展开式，由此画出双边谱。 2.画频谱图     由复振幅的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所构成的包络是抽样函数。 1)找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点） 包络线方程为,与横轴的交点由下式决定：     若这些频率恰好基波频率恰好是基波频率的整数倍，则相应的谐波为零。所以，包络线与横轴的交点应满足两个条件：一是谐波条件；二是谐波为零的条件。 2)粗略求出各次谐波的振幅值     由的表达式可知,当时，最大值为，即当时，第一个零点内含有二条谱线，依次类推，就大致画出了振幅频谱图。 3）相位的确定     将代入可知，，当角度在第一、二象限时为正实数，即相位为零；当角度在第三、四象限时为负实数，即相位为π。 3.频谱特点分析     1)频谱是离散的,两谱线间的距离为基波频率,脉冲周期越大，谱线越密。     2)由知：各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。当E变大时,τ变大，则各次谐波的幅度愈大；T变大,则谐波幅度愈小。     3)各谱线的幅度按包络线变化,当时，谱线的包络经过零值。     4)主要能量在第一过零点内。主带宽度为： 十.频带问题 1.信号的带宽     对于单调衰减的信号，把零频率到谐波幅度降到最大值十分之一的那个频率间频带，称为信号的带宽 ，如下图所示。 2.对于周期过零的信号常认为包络线第一个零点以上的谐波可以忽略不计。 十一.脉冲周期与脉冲宽度的比值改变时，对频谱结构的影响。 1.T不变，τ变化     a)∵T不变，（），则ω1不变，∴频谱的谱线之间的间隔不改变。     b)∵τ变小，∴的收敛速度变慢。 2.τ不变，T变化     a)T变大，ω1变小，所以频谱的谱线变密。     b)τ不变，不变，所以包络线的零点的位置不变 如下图所示: 观察周期矩形脉冲脉宽和周期变化时，对频谱结构的影响。 十二.傅里叶有限级数     如果用有限傅立叶级数代替无穷傅立叶级数表示信号，必然引进一个误差，经过分析，我们选用最小均方误差的标准来衡量这个误差。傅立叶级数的系数方误差最小的原则也是在均方误差最小的原则上求得的。若完全逼近，则 n=∞；实际中，n=N，N是有限整数。如果N愈接近∞，则其均方误差愈小，若用2N＋1项逼近，则 误差函数和均方误差分别为 误差函数： 均方误差： 例如: 对称方波, 是偶函数且奇谐函数，只有奇次谐波的余弦项。  对称方波有限项的傅里叶级数： 有限项的N越大，误差越小例如: N=11时，     由上可见：     1.N越大，越接近方波     2.快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；     3.慢变信号，低频分量，主要影响顶部；     4.任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真     5.有吉伯斯现象发生     数学上已证明，从能量意义上说，傅里叶级数是对原信号的最佳逼近。如果我们将原信号展开成傅里叶级数，并将其截断，即用有限项级数来近似，则这种近似是一种最佳近似。这一性质叫做有效性。随着所取项数的增加这种近似所导致的一个周期内的误差能量不断减小。事实上，当连续傅里叶级数所取项数趋向于无穷时，一个周期内的误差能量的极限就是零。      傅里叶级数的有效性表明，可用有限项低次谐波分量近似的表示一个周期信号，且这样近似的均方差可以做到任意小。数学上已证明，从能量意义上说，傅里叶级数是对原信号的最佳逼近。如果我们将原信号展开成傅里叶级数，并将其截断，即用有限项级数来近似，则这种近似是一种最佳近似。这一性质叫做有效性。随着所取项数的增加这种近似所导致的一个周期内的误差能量不断减小。事实上，当连续傅里叶级数所取项数趋向于无穷时，一个周期内的误差能量的极限就是零。     观察傅立叶有限级数与最小均方误差的关系     观察傅立叶级数在间断点不收敛引起的吉布斯现象     观察三角波的频谱和系数的收敛性 通过以上的演示，你可以得出哪些结论？