4-3 网格混合曲面细分

第 19 卷 第 7 期 2007 年 7 月 计算机辅助设计与图形学学报 JOURNAL OF COMPU TER2AIDED DESIGN & COMPU TER GRAPHICS Vol119 , No17J uly , 2007 　 收稿日期 :2007 - 05 - 091 基金项目 :国家自然科学基金 (60673005 ,60573019) ;广东省自然科学基金 (05006540)1戴 　专 ,男 ,1979 年生 ,硕 士研究生 ,主要研究方向为三维几何造型1彭　莉 ,女 ,1984 年生 ,硕士研究生 ,主要研究方向为三维几何造型、三维动画1 李桂清 ,男 ,1966 年 生 ,博士 ,副教授 ,硕士生导师 ,主要研究方向为 CAGD、数字几何处理、逆向工程、复杂物体的几何造型1 423 网格混合曲面细分 戴 　专 　彭 　莉 　李桂清 (华南理工大学计算机科学与工程学院　广州　510640) (surestar @x2631net) 摘 要 　在已有曲面细分模式的基础上 ,利用“回推”技术构造出一类新的细分模式 ,对同时存在三角形和四边形的 423 网格进行混合曲面细分 ;采用分析细分矩阵特征结构的方法 ,讨论了该模式的连续性1 分析表明 ,所构造的混合 细分全局 C1 连续 ,且在 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 情形下具有有界曲率1 最后给出了一种基于体积保持的混合细分策略1 关键词 　曲面细分 ;423 网格 ;混合细分 ;回推 ;体积保持 中图法分类号 　TP391141 Blending Surface Subdivision on 423 Meshes Dai Zhuan 　Peng Li 　Li Guiqing ( School of Com puter Science & Engineering , South China U niversity of Technology , Guangz hou 　510640) Abstract 　　Based on some existing surface subdivision schemes and the push2back technique , this paper constructs a new blending surface subdivision scheme to subdivide the 423 meshes which contains both trian2 gles and quadrilaterals1 In addition , this paper discusses the continuity of the scheme using subdivision ma2 t rix eigenstructure analysis1 The analysis suggests that the constructed blending subdivision is C1 every2 where and has bounded curvature in regular conditions1 Finally , we also propose a volume2preserving blend2 ing subdivision strategy1 Key word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 s 　surface subdivision ; 423 meshes ; blending subdivision ; push2back ; volume2preserving 　　曲面细分作为一种建模方法 ,在计算机图形学 的许多领域都已经获得了广泛的应用1 其基本思想 是通过不断细分将一个粗糙的初始控制网格模型转 换成一个表面光滑的网格模型1 与其他一些常见的 曲面建模方法相比 ,如样条、隐式曲面等 ,曲面细分 方法的最大优点在于其适应性强 ,能够简捷地处理 任意拓扑的情形1 随着对各种细分模式研究的持续 深入 ,曲面细分适用的范围将更趋广阔1 曲面细分的研究始于 20 世纪 70 年代[122 ] ,目前 有多种分类方法对已有细分模式进行分类 ,插值细 分和逼近细分是其中最常用的分类方法1 插值细分 要求细分前的网格点在细分后保持不变 ;逼近细分 没有这样的要求 ,因而其更灵活 ,是目前研究的主流 1 但在一些特殊应用 ,如多分辨率显示中 ,插值细分 往往扮演着重要角色[3 ]1 除此之外 ,还可以通过一步 “回推”操作来实现 2 种细分方法的混合[425 ] ,这样会 得到介于插值和逼近模式之间的细分 ,即混合细分1 为了解决逼近细分而导致的模型收缩问题 , Maillot 等 [4 ]首次提出了“回推”技术 ,不过在该文中 只考虑了前几次细分 ,未建立新的静态细分模式1 Li 等[5 ]则提出了一种新颖的逼近细分到插值细分 的转换技术 ,并且给出了体积保持的动态细分 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 , 但没有讨论 423 网格 (同时含三角形和四边形的控 制网格)的情形1 本文利用文献[ 4 ]中的回推操作对逼近细分后 的 423 网格模型进行防收缩处理 ,进而依据文献 [ 5 ] 的思路构造一类 423 混合细分模式 ,并讨论其连续 性1 此外 ,本文也把文献 [ 5 ]的体积保持技术推广到 了 423 混合细分1 1 　相关工作 Loop 细分模式[6 ]是三角网格细分的典型代表 , 而在四边形网格细分中 ,最有影响的则是 Catmull2 Clark 模式[1 ] ,两者都是逼近细分1 在几何造型中 , 一个复杂模型的某些部分可能适于用三角形面片来 描绘 ,而另一些部分则适于用四边形面片来表示 ,这 样就需要 423 网格模型1 尽管可以把 423 网格三角 网格化 ,从而利用三角形模式进行细分或把 423 网 格当作多边形网格直接用四边形模式细分 ,但得到 的极限曲面往往起伏不平、光顺性较差 ,无法满足实 际应用的需要[7 ]1 为了解决这个问题 ,研究人员进 而考虑对 423 网格模型的不同部分采用不同的细分 模式同时进行细分1 Stam 等 [7 ]提出了一种新的 423 网格逼近细分 模式 :四边形面片和三角形面片分别采用各自的 12 4 分裂方式1 四边形区域的几何规则与 Catmull2 Clark 模式相同 ,三角形网格区域的几何规则则采用 Loop 模式 ,在四边形与三角形混合的区域则构造一 种新的 模板 个人简介word模板免费下载关于员工迟到处罚通告模板康奈尔office模板下载康奈尔 笔记本 模板 下载软件方案模板免费下载 1 Stam2Loop 细分全局上是 C1 连续的1 为了提升 423 细分模式在规则分界区域曲面的连续 性 ,Levin 等首次引入了新的一步 ———“拉链”[8 ] ,并 采用联合谱半径的分析方法证明该模式在规则情形 下为 C2 连续1 为了消除 423 对角顶点对齐的问题 , Peters 等[9 ]提出了一种新的 423 细分模式 ,尽管这种模式 实现简单 ,但我们在实验中发现用来做基于回推操 作的混合细分效果却并不理想1 Schaefer 等[10 ]对已 提出的 423 细分模式进行了分析总结 ,提出了一种 统一处理的编码方案 ,在后续的文献里 ,通过增加一 次拉链操作 ,将此前统一性方案的连续性提升到 C2 ,并利用特征值分析和联合谱半径的方法作出了 证明[11 ]1 比较文献[ 7 ,10 ]中的 2 种细分模式 ,虽然 二者对 423 网格采用的细分模板本质上是一致的 , 但 Schaefer2Warren 模式在编码上更为简单 ,也便于 进行连续性的分析 ,所以本文选择该模式作为 423 网格的逼近细分规则1 混合细分的开创性工作是 Maillot 等[4 ]的回推 技术1 设逼近细分前的顶点为 v ,细分后的顶点为 v a ,定义Δv =ρ( v - v a) ,其中ρ为体积参数 (其值 一般设定为 0～1 之间)1 回推后的顶点设为 v p ,则 v p = v a +Δv (1) 　　显然 ,当ρ= 0 时 , 等于没做回推 ;而当ρ= 1 时 ,则导致插值细分1 在对 V 2顶点做了回推之后 , 为了保持网格模型的一致 ,还需要对 E2顶点 (边细 分后产生的新顶点) 和 F2顶点 (面细分后产生的新 顶点) 作相应的回推1 设对边 e = ( v0 , v1) 逼近细分 产生的 E2顶点为 v ae ,对面 f = ( v0 , v1 , v2 , ⋯, v n) 逼 近细分所产生的 F2顶点为 v af ,则定义 Δve = ρ2 (Δv0 +Δv1) ,Δv f = ρ n + 1 ∑ n i = 0 Δv i1 　　相应地 ,回推后的 E2顶点和 F2顶点分别为 v p e = v a e +Δve (2) v p f = v a f +Δv f (3) 　　Li 等[5 ]在分析细分矩阵的基础上 ,提出一种由 逼近细分构造对应插值细分的方法1 通过反求控制 顶点与细分顶点的关系构造回推算子1 但与文献 [4 ]不同 ,该方法不区分顶点类型 ,所有的点都采用 统一的模板1 在此基础上 ,Li 等进一步提出了混合 细分的概念 ,通过调整混合因子 (0～1 之间) ,可以 得到逼近细分和插值细分之间的细分1 为了更好地 控制细分后的形状 ,他们还对三角形网格给出了体 积保持的混合方案1 我们发现 ,在使用该方法时 ,由 于 423 网格的特殊性 ,无法求解出细分矩阵对应的 逆矩阵1 所以 ,本文在借鉴混合细分思想的基础上 , 仍然沿用原始回推技术[4 ]来实现 423 网格的混合1 曲面细分模式的连续性分析中具有奠基性意义 的是 Reif 的工作[12 ] ,该文献不仅第一次分析了非规 则点细分后的连续性质 ,还提出了 C1 连续的充分 条件1 此后 ,有众多研究者致力于解决各类细分模 式的连续性问题[13214 ]1 目前最常使用的连续性分析 理论还是关于细分矩阵的特征结构分析、特征映射 图等[12 ,15 ]1 2 　423 混合曲面细分 按照算法的具体处理流程 ,本文提出的 423 网 格混合曲面细分模式可分解为 2 步 : 423 网格逼近 细分和回推操作1 211 　423 网格逼近细分模式 实现混合细分之前 ,首先要对网格进行一次逼 近细分1 由于文献[ 10 ]的模式更适合于后续的混合 细分 ,所以本文主要按照该模式来实现逼近细分1 考虑到其算法中仍然存在特殊情况 ,在程序设计中 , 本文没有采用统一模式 ,仍然按分类的方法对不同 419 计算机辅助设计与图形学学报 2007 年 类型网格进行处理1 在 423 网格中 ,首先实施逼近细 分的第一步 ———线性细分 ,然后对划分后生成的网 格基于每个顶点的邻接面分布情况进行分类 : 1) 邻 接面均为三角形的顶点 ; 2)邻接面均为四边形的顶 点 ; 3)邻接面既有三角形又有四边形的顶点1 对于 第 1 类顶点 ,采用 Loop 的细分模式 ,其平均化模板 如图 1 a 所示 ;对于第 2 类顶点 ,采用 Catmull2Clark 的细分模式 ,其平均化模板如图 1 b 所示 ;对于第 3 类顶点 ,采用 Schaefer2Warren 的细分模式 ,其平均 化模板如图 1 c 所示 (其中 , a = 3 + 2cos 2π n 2Π32 - 1Π4 , b = ( 1 - a) Πn , c = ( n - 3) Πn , d = 2Πn2 , e = dΠ2 , f = 1Π4 , g = 3Π8 , h = ( 1 - 12Π( 3 nq + 2 n t ) ) + 1Π4 , i = (12Π(3 nq + 2 n t) ) 2Π8 , j = iΠ21 n 为中心顶点 的价数 , n t 为点邻接面中三角形的个数 , nq 为点邻 接面中四边形的个数1) 图 1 　逼近细分模板 　　由图 1 c 可以看到 ,将 Schaefer2Warren 细分模 式中三角形和四边形所拥有的权值π3 和 π 2 分别调整 为 16 和 1 4 ,显然这两者是等价的 ,但修改后却可以简 化计算1 我们将其解释为纯三角形和纯四边形网格 在规则情形下顶点价数的倒数1 212 　回推操作 在完成逼近细分之后 ,为了实现混合细分 ,可再 对逼近细分后的网格模型实施一步回推操作1 其基 本 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 与回推公式 (1) ～ (3) 是类似的 ,只是这里的 参数ρ被定义为混合因子1 图 2 所示为规则情形下 回推操作的模板 (其中 , a = (5 + 3ρ) Π8 , b = (1 - ρ) Π 16 , c = (9 + 7ρ) Π16 , d = 6 e , e = (1 - ρ) Π64 , f = (19 + 13ρ) Π32 , g = 5 e)1 图 2 　回推操作的模板 213 　连续性分析 为了分析细分模式的连续性 ,我们对细分矩阵 进行了详细的特征结构分析1 由于本文的混合细分 模式是基于回推技术得到的 ,而文献[9 ]中对回推后 的模型并没有做出明确的连续性分析 ,因此该连续性 分析的工作也可以看作是对回推技术的重要补充1 在所有具体的特征分析中 ,本文采用的都是 22 邻域的模板 ,根据 Zorin[14 ]的工作 ,这样的分析足以 证明该模式是否具有 C1 连续1 为了便于描述 ,可对 三角形和四边形网格中顶点的 22邻域划分扇区 ,并 按图 3 所示的方式进行编号1 图 3 　22邻域中顶点的编号方式 注意 :无论对于纯三角形的Loop 细分还是纯四 边形的 Catmull2Clark 细分 ,都有以下结论[13 ,16 ] :傅 里叶变换之后的细分矩阵 S n 与对角矩阵{ B ( n , 0) , B- ( n ,1) , ⋯, B- ( n , n - 1) }相似 , B 矩阵相对于 三角形而言是 4 ×4 矩阵 ,而对于四边形是 7 ×7 矩 阵1 B 矩阵表示的就是图 4 中点线上编号的顶点 (0 ,1 , ⋯,即细分后的顶点) 与实线上编号的顶点 (0 , 1 , ⋯,即细分前的顶点) 之间的关系矩阵1 而 B- 矩阵 实际是 B 矩阵去掉第一行、第一列所得 (与扇区中 的点去掉中心点后相对应)1 因此 ,对这 2 种类型细 分方案的细分矩阵特征值的分析 ,就可以分解为对 各个 B 矩阵 ( B- 矩阵) 的特征值的分析1 我们只需构 造出 B 矩阵就可以推导出整个细分矩阵的特征值 , 显然比直接构造细分矩阵 S 要简捷许多1 利用 Matlab 进行编程 ,可求得规则情形下纯四 边形网格、纯三角形网格和 423 网格的细分矩阵模 最大的 6 个特征值为 1 , 12 , 1 2 , 1 4 , 1 4 , 1 4 详见附录1 5197 期 戴 　专等 :423 网格混合曲面细分 根据连续性分析的理论[12 ] ,细分曲面具有 C1连续 性的必要条件是细分矩阵第二大到第四大的特征值 满足 1 > λ2 = λ3 > λ4 (4) 　　显然 ,前面求得的特征值都满足式 (4) ,且满足 极限曲面曲率有界的条件1 针对非规则情形 ,由于难于得出显式的特征值表达式 ,因此对纯三角形网格和纯四边形网格我们利用 Matlab 对ρ∈[0 , 1 ]每隔 01001 采样 ,并就顶点价数为 n = 3 ,4 , ⋯,200 进行了计算 ,发现其第二大至第四大特征值依然满足式 (1) 1 图 4 所示为当ρ= 015 ; n = 3 , 4 , ⋯, 50 时第二大特征值 (λ2 ) 与第四大特征值 (λ4) 的关系示意图1 图 4 　特征值关系示意图 图 5 　特征映射图 　　对于 423 网格的非规则情形 ,我们通过编程对 n = 3 , ⋯,20 的各种组合进行了枚举 ,发现其特征值 并不完全满足式 (4) 1 考虑 423 网格的特殊性 ,我们 在分析其细分矩阵特征值的基础上对ρ以 0101 为 步长进行计算 ,得到了相应的特征映射图1 观察得 到的特征映射图后发现 :所有这些ρ值对应的细分 模式的特征映射控制网格都有很好的形状 (如图 5 c 所示) ,可见它们都是规则的且具有单射的性质1 按 文献[7 ]的相关叙述 ,可认为该细分模式在这些特殊 点上也是 C1 连续的1 图 5 中 ,ρ= 013 , 016 (从上至 下)1 图 5 a ,5 b 中 ,价数为 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,8 , 9 , 10 (从左 至右)1 综合上述分析结果可以表明 ,该细分模式在全局处处 C1 连续 ,且在规则情形下曲率有界 (注意 :对 n = 3 的纯三角形网格混合细分所得到的特征映射图在ρ接近 1 时出现了奇异现象 ,表明在这种情形下回推操作所得到的混合细分结果并不连续)1214 　体积保持文献[5 ]提出了按照体积保持的原则来设置混合因子的方法 ,这是防止网格在细分后收缩或膨胀的一项实用而有效的技术1 三角形网格 M 的体积定义[17 ]为 V M = 16 ∑f ∈Mgf ·nf (5) 　　对于每个属于 M 的面 f , gf 表示其中心 , nf 表 示其外法线1 显然 ,混合后的体积是关于ρ的一元 三次多项式1 使之与原体积相等 ,然后通过求解方 程 ,便可以确定出ρ值的大小1 一元三次多项式的 具体推导细节见文献[5 ]1 图 6 　四边形划分图 对于 423 网格 ,我们也可以通过同样的方法在 混合细分时实现体积保持1 但由于 423 网格的四边 形 4 个顶点不一定共面 ,因此讨论体积保持之前需 619 计算机辅助设计与图形学学报 2007 年 要明确定义 423 网格所围成实体的体积定义1 具体 描述如下 :为了利用求三角形网格体积的计算公式 , 可以先对 423 网格中的每个四边形进行一次划分 , 使其分裂成 2 个三角形1 显然 ,这种划分有且仅有 2 种情形 : 1 ) Δv0 v1 v2 + Δv0 v2 v3 ; 2 ) Δv0 v1 v3 + Δv1 v2 v3 (如图 6 所示) 1 因此对这 2 种划分可再进 行一次平均化处理 ,就可以利用式 (5) 求出 4 23 网格 的体积 ,同样也得到关于ρ的一个三次多项式1 与文献[5 ]类似 ,在分析按体积保持原则所得的 混合因子后我们发现 ,其极限值随着细分次数的增 加趋近于 0151 3 　实 　　验 为了比较不同ρ值在混合细分中的影响 ,我们 对 423 网格模型分别取ρ= - 1 ,0 , - 015 ,015 ,1 (从 左至右) 进行细分 (如图 7 所示) ,可以明显地发现 , ρ值越小 ,模型收缩越严重1 图 7 　不同ρ值下 423 网格混合细分图 　　对于如图 8 所示的各类 423 网格模型 ,采用本 文的混合细分模式均能得到比较理想的效果1 为了 观察和比较 ,我们在每个示例模型的左右两边分别列出了其初始模型和使用逼近算法所得模型1 a 模型 1 b 模型 2 c 模型 3 图 8 　闭合网格模型混合细分图 　　本文算法中也加入了对非封闭模型的边界处 理 ,对这类模型使用本文算法得到的效果图如图 9 所示1 图 9 　有边界网格模型混合细分图 图 10 　基于体积保持的混合细分图 　　图 8 ,9 模型的相关信息如表 1 所示1 7197 期 戴 　专等 :423 网格混合曲面细分 表 1 　细分模型信息表 模型编号 顶点数 面数 网格类型 顶点数 ( 3 ) 面数 ( 3 ) ρ 细分次数 图 8 a 154 272 闭合纯三角形网格 139 282 278 528 012 5 图 8 b 354 354 闭合纯四边形网格 362 496 362 496 012 5 图 8 c 310 393 闭合 423 网格 315 394 402 432 012 5 图 9 a 352 671 开放纯三角形网格 86 137 171 776 012 4 图 9 b 829 809 开放纯四边形网格 207 169 207 104 012 4 图 9 c 1 652 1 660 开放 423 网格 104 426 106 240 012 3 　　　　　注 : 3 表示细分后的信息 　　基于体积保持的混合细分实例如图 10 所示1 为了便于比较 ,图 10 中从左至右分别列出了初始模 型、2 次混合细分后的模型 (ρ= 01502129 ) 、4 次混 合细分后的模型 (ρ= 01500192) 、6 次混合细分后的 模型 (ρ= 01500017) 和 6 次逼近细分后的模型1 图 11 所示为表 1 中各模型随混合细分次数增加的ρ 值变化示意图1 图 11 　细分次数与ρ关系图 4 　结论及展望 本文利用回推技术构造出一类针对 423 网格的 混合曲面细分模式 ,证明了其连续性全局为 C1 连 续、规则情形下具有有界曲率1 这种混合细分模式 能够对各种 423 网格进行有效的细分处理 ,通过控 制混合因子 ,可以针对实际应用需要和实际处理对 象来选择采用什么样的细分方式 ,以达到尽可能好 的处理效果1 此外 ,本文给出了一种基于体积保持 的混合细分策略以对形状作更精确的控制1 就 4 23 网格而言 ,因为其结构的特殊性 ,目前要 对细分连续性作严格的理论证明还存在困难 ,我们 希望以后的工作中在这方面进行完善 ;现有的 423 逼近细分已经可以达到 C2 连续 ,但它们能否应用 到混合细分中 ,还有待进一步研究 ;确定混合因子 , 除了体积保持之外 ,是否还有其他更好的控制策略 以获得质量更好的细分曲面 ,这也是我们未来工作 的一个方向1 参 　考 　文 　献 [ 1 ] Catmull E , Clark J1 Recursively generated B2spline surfaces on arbitrary topological meshes [J ]1 Computer2Aided Design , 1978 , 10 (6) : 350 - 355 [ 2 ] Doo D , Sabin M1 Behavior of recursive division surfaces near ex2 traordinary points [J ]1 Computer2Aided Design , 1978 , 10 (6) : 356 - 360 [ 3 ] Lee A , Sweldens W , SchrÊder P , et al1 MAPS : multiresolu2 tion adaptive parameterization of surfaces [ C] ΠΠComputer Graphics Proceedings , Annual Conference Series , ACM SIG2 GRAPH , Orlando , 1998 : 95 - 104 [ 4 ] Maillot J , Stam J1 A unified subdivision scheme for polygonal modeling [J ]1 Computer Graphics Forum , 2001 , 20 (3) : 471 - 479 [ 5 ] Li G , Ma W1 A method for constructing interpolatory subdivi2 sions and blending subdivisions [J ]1 Computer Graphics Forum , 2007 , 26 (2) : 185 - 201 [ 6 ] Loop C1 Smooth subdivision surfaces based on triangles [D]1 Salt Lake City , Utah : University of Utah , 1987 [ 7 ] Stam J , Loop C1 QuadΠtriangle subdivision [J ]1 Computer Graphics Forum , 2003 , 22 (1) : 79 - 85 [ 8 ] Levin A , Levin D1 Analysis of quasi uniform subdivision [J ]1 Applied and Computational Harmonic Analysis , 2003 , 15 (1) : 18 - 32 [ 9 ] Peters J , Shiue L1 Combining 42and 32direction subdivision [J ]1 ACM Transactions on Graphics , 2004 , 23 (4) : 980 - 1003 [ 10 ] Schaefer S , Warren J1 A factored approach to subdivision sur2 faces [J ]1 Computer Graphics & Applications , 2004 , 24 ( 3) : 74 - 81 [ 11 ] Schaefer S , Warren J1 On C2 triangleΠquad subdivision [J ]1 ACM Transactions on Graphics , 2005 , 24 (1) : 28 - 36 [ 12 ] Reif U1 A unified approach to subdivision algorithms near ex2 traordinary vertices [J ]1 Computer Aided Geometric Design , 1995 , 12 (2) : 153 - 174 819 计算机辅助设计与图形学学报 2007 年 [ 13 ] Zorin D1 A method for analysis of C12continuity of subdivision surfaces [J ]1 Numerical Analysis , 2000 , 37 (5) : 1677 - 1708 [ 14 ] Zorin D1 Smoothness of stationary subdivision on irregular mesh2 es [J ]1 Constructive Approximation , 2000 , 16 (3) : 1677 - 1708 [ 15 ] Umlauf G1 Analyzing the characteristic map of triangular subdi2 vision schemes [J ]1 Constructive Approximation , 2000 , 16 (1) : 145 - 155 [ 16 ] Li G , Ma W , Bao H1 A new interpolatory subdivision for quadrilateral meshes [J ]1 Computer Graphics Forum , 2005 , 24 (1) : 3 - 16 [ 17 ] Desbrun M , Meyer M , SchrÊder P , et al1 Implicit fairing of ir2 regular meshes using diffusion and curvature flow [ C]ΠΠComputer Graphics Proceedings , Annual Conference Series , ACM SIGGRAPH , Los Angeles , 1999 : 317 - 324 　　附录　规则情形下细分矩阵特征结构分析 关于特征结构的分析仅以纯三角形网格为例 ,纯四边形 网格的情形与此类似1 在分析纯三角形和纯四边形网格细分连续性时 ,首先按 照图 4 的标识及混合细分模板构造出矩阵 B1 注意 :由 B 及 B- 构成的对角矩阵与傅里叶变换之后的细分矩阵相似 ,我们 引入如下记号 : z k = e - 2 kπ n i , k = 0 ,1 , ⋯, n - 1 ; n 为扇区数1 由此可推导出纯三角形网格的 B 矩阵 (记为 B3) B3 = b11 b12 0 0 b21 b22 - ρ 32 - (1 + z - 1k )ρ 32 1 - ρ 16 b32 1 - ρ 16 (1 + z - 1k ) (1 - ρ) 16 2 - ρ 16 b42 - (1 + z k)ρ 32 b44 ; 其中 , b11 = 1 - n ( 1 - ρ)β, b12 = (1 - ρ)β∑ n- 1 j =0 z jk , b21 = 12 - ρ 32 + nρβ 2 , b22 = 6 + 3ρ 16 + 4 - ρ 32 ( z k + z - 1 k ) - ρβ2 ∑ n- 1 j = 0 z jk , b32 = 5 + 3ρ 8 + 1 - ρ 16 ( z k + z - 1 k ) , b42 = 12 + 5ρ32 (1 + z k) - ρ 32 ( z - 1 k + z 2 k) , b44 = 18 - ρ 32 (2 + z k + z - 1 k ) 1 有了 B 矩阵 ,可以很容易地求得规则情形下细分矩阵的特 征值1 具体描述如下 : 1) 当 k = 0 时 , B (6 ,0) = 5 + 3ρ 8 3 (1 - ρ) 8 0 0 12 + 5ρ 32 10 - ρ 16 - ρ 32 - ρ 16 1 - ρ 16 3 +ρ 4 1 - ρ 16 1 - ρ 8 2 - ρ 16 3 +ρ 4 - ρ 16 1 - ρ 8 ; 　　2) 当 k = 1 时 , B- (6 ,1) = 16 + 5ρ 32 - ρ 32 - (1 + z - 11 )ρ 32 11 + 5ρ 16 1 - ρ 16 (1 + z - 11 ) (1 - ρ) 16 (1 + z1) (12 + 5ρ) 32 - (1 + z1)ρ 32 4 - 3ρ 32 ; 　　3) 当 k = 2 时 , B- (6 ,2) = 8 + 7ρ 32 - ρ 32 - z - 11 ρ 32 9 + 7ρ 16 1 - ρ 16 z - 11 (1 - ρ) 16 z1 (12 + 7ρ) 32 - z1ρ 32 4 - ρ 32 ; 　　4) 当 k = 3 时 , B- (6 ,3) = 1 + 2ρ 8 - ρ 32 0 1 +ρ 2 1 - ρ 16 0 0 0 18 1 　　通过在 Matlab 中编程计算 ,可分别求出以上矩阵的特征值 : B (6 ,0) 的特征值为 1 , 14 , 1 +ρ8 , 116 ; B- (6 ,1) 的特征值为 12 , 18 , 116 ; B- (6 , 2) 的特征值为 14 , 1 +ρ8 , 116 ; B- (6 , 3) 的特征值为 18 , 18 , 1 + 3ρ16 1依据对称性原理 , B- (6 ,4) 和 B- (6 ,5) 的特征值应分别与B- (6 ,2)和 B- (6 ,1)相等1 这样 ,我们就求出了规则情形下纯三角形网格细分矩阵的所有特征值1注意 :对于规则情形下 423 网格的特征结构分析 ,不能 按照以上的方法来处理 ,而必须根据细分模板直接求取细分 矩阵1 9197 期 戴 　专等 :423 网格混合曲面细分