单墫老师教你学数学 平面几何中的小花

书书书 $!!!! 目!录 总序!0 前言!0 0 !数学花园大!0 $=$! 帕普斯定理!$ $="! 帕斯卡定理!" $=.! 无穷远点!/ $=/! 德沙格定理!- #! 几何算一家 !3 "=$! 对称!* "="! 多么奇妙的一颗星!+ "=.! 面积问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 %一&!) "=/! 面积问题%二&!$" "=,! 中心对称!$. "=-! 部分与整体相似!$/ "=*! 对角线的中点与面积!$, "=+! 处处留心皆学问!$- "=)! 圆规作图!$+ "=$#!闭折线的长!$) "=$$!正方形中的四个点!"$ "=$"!跳出框框!"/ "=$.!海外称王!"* "=$/!整齐与对称!"+ %!!!! !! 春日兴致好 !!0 .=$! 昂蒂费尔师傅的奇遇!.$ .="! 重心!.. .=.! 塞瓦定理!., .=/! 爱因斯坦认为优雅的证明!.* .=,! 三角形的五心!.+ .=-! 垂心的一个性质!.) .=*! 逐步推广!/# .=+! 垂心乎! %$&!/" .=)! 垂心乎! %"&!// .=$#!位似(欧拉线!/, .=$$!九点圆!/* .=$"!西摩松线!/+ .=$.!欧拉公式!/) .=$/!拿破伦定理!,$ .=$,!蝴蝶定理!,. .=$-!平方差与根轴!,, :! 请来看小花 !23 /=$! 完全不用三角!,* /="! 掩卷一思!,+ /=.! 意料之外!,) /=/! 平行四边形!-# /=,! 边界形状!-" /=-! 求角的值%一&!-/ /=*! 求角的值%二&!-* /=+! 求角的值%三&!-* /=)! 求角的值%四&!-) /=$#!一道习题的编制!*$ &!!!! /=$$!相切的圆串!*" /=$"!阿基米德的一个定理!*, /=$.!平分周长!*- /=$/!学校选址%一&!** /=$,!学校选址%二&!+# /=$-!黄蓉分饼%一&!+. /=$*!黄蓉分饼%二&!+/ /=$+!垂心!!+- /=$)!寻找简单的证明!+) 2! 学海无涯 !4# ,=$! 加法定理!)" ,="! 余弦!). ,=.! 角平分线与外接圆!)/ ,=/! 又是角平分线!)- ,=,! 注意几何意义!)+ ,=-! 得用三角!$#" ,=*!"###年中国数学奥林匹克试题!$#. "! 乐作舟 !0$" -=$! 吴伟朝先生的问题!$#- -="! 圆的位似中心!$#+ -=.! 马尔法蒂问题!$$# -=/! 叶中豪先生的问题!$$# -=,! 国际会议上的问题!$$" -=-! 孙斌勇的问题!$$. -=*! 寺庙里的几何题%一&!$$, -=+! 寺庙里的几何题%二&!$$+ -=)! 寺庙里的几何题%三&!$"/ -=$#!五圆定理与四圆定理!$./ ’!!!! -=$$!俄罗斯杀手!$., 3! 逍遥自在 !0:$ *=$! 一道波兰竞赛题!$/# *="! 直角三角形内一点!$/$ *=.! 平方和!$/. *=/! 六点共圆!$// *=,! 三线共点与三点共线!$/- *=-! 比!$/* *=*! 何时!">"#!!$/) *=+! 直线与圆相切!$,# *=)! 圆内接四边形对边之差!$,$ *=$#!等角共轭点!$,. *=$$!凸六边形!$,, *=$"!直线与圆相切!$,* *=$.!三个四边形的面积!$,) *=$/!俄罗斯竞赛题%一&!$-# *=$,!俄罗斯竞赛题%二&!$-" 1! 任我游 !0"" +=$! 逆平行线!$-- +="! 共轭重心%一&!$-+ +=.! 共轭重心%二&!$*# +=/! 塔克圆!$*$ +=,! 莱莫恩圆!$*" 4! 已觉此处景物好 !032 )=$! 四点间的距离!$*, )="! 笛卡儿关于圆的定理!$** )=.! 德沙格定理的证明!$*) )=/! 五点确定二次曲线!$+$ (!!!! )=,! 帕斯卡定理的证明!$+. 0$!更有好景 !013 $#=$! 格点多边形!$+* $#="! 直线的条数!$++ $#=.! 两人博弈!$+) $#=/! 同色的等腰三角形!$)# $#=,! 折纸穿针!$)$ $#=-! 先猜后证!$). $#=*! 距离为有理数!$)/ $#=+! 覆盖!$)- 00!在前头 !041 $$=$! 问题征解%一&!$)+ $$="! 问题征解%二&!$)+ 书书书 !!!!! ! 数学花园大 "" !"! """"""""""""""""""""""""""" 帕普斯定理 数学!是一门博大精深的学问!学习它的最好方法是自己去 发现它! 很多几何定理!可能就是在随便画画当中产生的! !!图!!! 如果你有直尺!随意画两条直线"!" ""#图!!!$!然后在"!"""上轮流地各取 三个点!即#!"##"#$在"!上%#""#%" #&在""上!这六个点构成一个自身相交 的六边形#闭折线$!即如图连结#!#"" #"##"###%"#%#$"#$#&"#&#!! #!#"与#%#$相交于$!我们简记作 #!#" ##%#$ %$! 同样!#"## ##$#& %&!###% ##&#! %’! $"&"’三点的位置有什么特点! 它们似乎在一条直线上!用直尺比划一下!果真如此" 这是偶然的吗! 如果你再画一个图!情况仍然如此!于是你就发现了一个 定理& "!!!! 定理!在直线"!上任取三点#!!##!#$"在直线""上任 取三点#"!#%!#&"#!#"##%#$%$"#"####$#&%&" ###% ##&#! %’"那么$!&!’三点共线! 不过这一定理早已有人发现过!它称为帕普斯定理!帕普斯 #’())*+!公元#世纪$是希腊数学家! 虽然你发现的定理早已有人发现!不必为此沮丧!我国大数 学家华罗庚在自学的过程中就常常重复别人的发现#如复变函 数中的柯西定理$!他觉得自己能独立发现这些定理!正说明自 己与历史上著名的数学家有同样的水平!因而对前途充满了 信心! 从本节至!!%节!我们将介绍三个几何定理#帕普斯定理是 第一个$!这些定理是著名的!因此学习几何的人都应当知道!这 些定理是优美的!我们应当多加欣赏!这些定理有不少应用!但 在中学阶段#包括数学竞赛$却很少用到!不过!如果能够用上! 问题多半迎刃而解#这就好像核武器!几乎派不上用场!但二战 末期偶尔一用!日本鬼子就举手投降了$!这些定理的证明往往 都不容易!但在有关书中不难查到!所以这里我们也不急于给出 证明!不过!如果你有兴趣看到本书最后几节!也会找出一种 证明! "" !"# """"""""""""""""""""""""""" 帕斯卡定理 人只不过是一根苇草!是自然界最脆弱的东西"但他是 一根能思想的苇草!我们全部的尊严就在于思想!由于思 想!人囊括了宇宙!思想形成人的伟大! ###,-帕斯卡$思想录% #!!!! 图!!" 如图!!""任作一个圆!在圆上任 取六点#!!#"!##!#%!#$!#&!设 #!#" ##%#$ %$"#"## ##$#& % &"###% ##&#! %’"则有$!&! ’三点共线! 类似的结论!对于椭圆"双曲线" 抛物线也同样成立!而在双曲线蜕化 成两条相交直线#或抛物线蜕化成两 条平行直线$时!上述结论就变成帕普 斯定理! 于是!我们有如下定理& 定理!如果一个六边形内接于一条二次曲线#椭圆!双曲 线!抛物线$"那么它的三对对边的交点在同一条直线上! 这一定理称为帕斯卡定理! 帕斯卡#,.(/+0’(+1(.!!&"#’!&&"$!是一位天才!在!&岁 左右#约!年$就发现了上述定理! 帕斯卡是概率论的奠基人之一!他!3岁时!发明并制造了 历史上第一架计算机!"$岁左右!发现了物理学中关于液压传 递的帕斯卡原理!他还是一位杰出的文学家!他的(思想录)与 (致外省人的信)是法国文学的宝藏!但从#!岁起!他的主要精 力用于神学!沉湎于宗教狂热之中! 帕斯卡定理中的六边形!可以是图!4"中自身相交的六边 形!也可以是图!!#中的常见的简单多边形! 帕斯卡定理有种种特殊的情况!例如#!与#"重合!#$与 #&重合!就得到#图!!%$& 圆内接四边形#!###%#$对边#!#$!###%的交点’"#!处 切线与#%#$的交点$"#$处切线与#!##的交点&"三点共线! $!!!! 图!!# !!!! 图!!% 如果图!!#中#!与#"重合!##与#%重合!#$与#&重 合!就得到#图!!$$& 图!!$ 圆内接三角形"每一顶点处的切线与对边的交点"这三点 共线! !256年代!国内曾有人在杂志上发表了一些*新+定理!以 为是*前贤所未曾发现的+!其实都是帕斯卡定理的特殊情况! "" !"$ """"""""""""""""""""""""""" 无穷远点 数学的统一性及简单性都是极为重要的!因为数学的 %!!!! 目的!就是用简单而基本的词汇去尽可能多地解释世界!归 根结底!数学仍然是人类的活动而不是计算机的程序!如果 我们积累起来的经验要一代一代传下去的话!我们就必须 不断地努力地把它们加以简化和统一! ###7-阿蒂亚$数学的统一性% 清晨!一束阳光照进了教室! 光线是平行的!但它们来自于同一个光源’’’太阳!也就是 它们相交于同一点#太阳$! 当然!太阳并不是几何学中的没有形状大小!只有位置的 点!光线也不是严格意义下的平行直线!但与日"地之间的距离 相比!太阳的半径显得很小!可以将太阳当作一个点!并且!可以 说平行直线相交于无穷远点! 通常!在几何中!平面上的两条直线或者相交!或者平行!引 入无穷远点!就可以将这两种说法统一起来& 平面上任意两条直线有且仅有一个交点! 如果交点是无穷远点!那么两条直线就是平行直线! 通常还约定& 一组平行线#一束光线$相交于同一个无穷远点!另一组平 行线!相交于另一个无穷远点!过两个无穷远点的直线称为无穷 远线!所有的无穷远点都在这条无穷远线上! 引进无穷远点带来许多便利!例如在帕斯卡定理中!如果边 #!#"$#%#$!那么图!!#中的$ 就是无穷远点!这时帕斯卡 定理仍然成立!其中直线&’ 过无穷远点$!也就是&’ $ #!#"!如果不用无穷远点!就需要将这些*例外+情况一一列出! 弄得支离破碎!十分乏味!而有了无穷远点!全可以统一成一种 叙述!即上节的帕斯卡定理! &!!!! "" !"% """"""""""""""""""""""""""" 德沙格定理 如果%#!#"## 与%(!("(# 的对应顶点的连线#!(!! #"("!##(#交于同一点)"那么对应边的交点必定共线"即% 设#"##与("(#交于*!"###!与(#(!交于*""#!#"与 (!("交于*#"则*!!*"!*#三点共线#图!4&$! 图!!& 这个定理称为德沙格#80+(9:*0+$ 定理! 定理中的)点称为透视中心!处于 定 理 所 说 位 置 的 %#!#"## 与 %(!("(#称为透视的! 德沙格定理在证明三点共线时很有 用处#如5!$节$!它的证明很多!本书将 在2!#节给出一个证明! 德沙格定理的逆也是正确的!即& 如果%#!#"##!%(!("(# 的对 应边的交点*!!*"!*#共线"那么这两个三角形是透视的! 德沙格定理的逆可以用同一法来证!但更简单的办法是注 意%#!(!*#与%##(#*!!它们是透视的!透视中心是*"!因 而根据德沙格定理!对应边的交点#""("及#!(!与##(#的 交点)!三点共线!换句话说!#!(!"#"(""##(# 三线共点! %#!#"##与%(!("(#是透视的! ’!!!! ! " 几何算一家 "" #"! """"""""""""""""""""""""""" 对称 几何学是优美的!对称!就是一种美! 图"4! 一圆的竖直位置的直径向右移+厘米" 水平直径向上移,厘米!这两条直线将圆分 成四份!考虑最大一份与最小一份的面积之 和及其他两部分面积的和!求这两个和的差! 显然左下的一份最大!右上的一份最小! 如图"4!! 为了计算差!最好利用对称! 从!中去掉一块等于"!从#中去掉一块等于$!如图 "4"!这样只需计算%比&大多少! 图"4" !!!! 图"4# 再从%中去掉一块等于&!如图"4#!剩下一个长方形!长 (!!!! 为"+!宽为",!面积为 "+-",%%+,! 即所求的差为%+,! "" #"# """"""""""""""""""""""""""" 多么奇妙的一颗星 你打过弹子球#台球$吗! 即使自己没有打过!多半也看过别人打台球!电视里也常有 台球比赛的实况转播! 台球的原理是反射定律!即当球击到球台的边缘时!球按照 &反射角等于入射角’ 图"4% 的规律而反弹!如图"4%所示! 图"4%中与桌面垂直的虚线称为 法线!入射线与法线的夹角!称为入 射角%反射线与法线的夹角"称为反 射角! 道理虽然简单!运用起来却不容 易!一个高手可以打出许多花样!得出意料不到的效果!球的轨 迹可以形成美妙的曲线!例如正三角形"五角星等等!台湾一位 小说家夏烈在他的短篇名著(多么奇妙的一颗星)中!通过一位 台球高手的两次击球写出了人生的况味#他还写过一个脍炙人 口的短篇(白门)!夏烈先生的母亲就是写(城南旧事)的林海音 女士$! 通常的台球桌是长方形的!现在#请设想一下$有一个正三 角形的台球桌!一位台球高手夸耀说& &我曾在这样的球桌上"将球从桌边击出"沿三个不同方向 )!!!! 通过同一点"然后回到出发点!’ 这位选手说的事情能否发生! 他有没有吹牛! 如果这件事不可能发生!多半要用反证法来证明#假定这件 事发生!如何如何!最后导出矛盾$!如果这件事可能发生!多半 用构造法!即举出一个实例! 问题是事先不知道答案!需要判断究竟是能还是不能! 判断只有依靠经验与实践! 如果你恰好知道有一个这样的图形!那么问题便迎刃而解! 否则只能反复尝试!看看能否构造出一个符合要求的图形!如果 怎么也造不出!那么或许要用反证法证明这样的图形不存在!如 果无法用反证法否定这种图形的存在!那么或许这种图形是存 在的!再尝试构造符合要求的图形!这样试来试去!经过多次失 败!最终会取得成功! 很可能一位小学生或初中生!会比年龄大的人先获得成功! 如果他或她有很好的数学感觉! 答案是这种图形是存在 !! 的!请再努力构造一下!然后再看下 面的图"4$! "" #"$ 面积问题!一 """"""""""""""""""""""""""" " 如图"4&"正方形边长为!6!一条长为2的线段#("端点在 这正方形的两条邻边上!在# 下面#处作水平线"在( 左面" 处作垂直线"得到*!$!求四边形#(*$ 的面积! 这是一道日本小学算数奥林匹克的问题!小学生可以做!但 高中生却也未必做得好! 不要把问题想得过于复杂!不要引用过多的知识#例如勾 股定理$! !*!!! 图"4$ !!! 图"4& 小学生不会犯引用过多知识的错误!他们所能利用的只是 面积割补!而这也就足够了! 如图"45!由于矩形被对角线分成两个面积相等的三角形! 所以两个!相等!两个$相等!两个""两个#也都分别相等!四 边形#(*$ 比正方形的其余部分多出一个矩形的面积!这个矩 形!其长"宽分别为#""!所以面积是 #-"%&! 从而四边形#(*$ 的面积是 图"45 !!!! 图"43 !!!#!66.&$/"%$#! 另一种解法#初中学生常会采用$是设未知数! !!!!! 如图"43!设#& %0!&( %1!则其他线段(’等可用0 或1的代数式表出!从而正方形去掉四边形#(*$ 后!所得四 个三角形的面积和是 ! " ,01.#02#$#!621$.!!!! #!#20$#321$.#1."$#!620$-! #!$ 经过化简!式中含0或1的项全部抵消!结果是一个常数 ! " #!#-3."-!62#-!6$%%5! 从而四边形#(*$ 的面积是 !662%5%$#! 图"42 有趣的是#!$实际上是与0"1无 关的常数!所以并不需要列方程!消去 未知数#未知数已经自动消去$! 如果是填空题!还有一种猜答案的 方法!即假定( 是正方形的顶点!如图 "42所示! 这时易算出去掉四边形#(*$ 后! 所得三个三角形的面积和是 ! " #!6-&.%-3."-!$%%5! 从而四边形#(*$ 的面积是 !662%5%$#! 这种解法的优点是借助于特殊情况!很快求出一个解!在答 案是唯一时!有了一个解也就有了全部解!缺点是这种解法并未 !"!!! 证明不论#(位置如何!答案都是一个!如果有两个或更多个 解!那么结论就不完整了! 应该说!第一种解法最简单!当然!简单并不意味容易想到! 本题的结果实际上与#(的长!以及#(的倾斜程度无关! "" #"% 面积问题!二 """"""""""""""""""""""""""" " 图"4!6 如图"4!6"两个边长相等的正方 形各被分成"$个大小相同的小方格! 现将这两个正方形的一部分重叠起来" 若左上角的阴影部分#点状$面积为 $4!"1;"!右下角的阴影部分#线状$面 积为54%1;""求大正方形的面积! 本题如没有正确的方法!不仅十分 棘手!而且多半得不出答案! 设点状面积为#!线状面积为(! 在这两部分之间 !! 的面积为*!则#"* 共有!%#不包括被( 围住的"右下的那一个$方格!而("*共 有!5#%!32!$个方格#同样不包括右下的那一个方格$! 因此!一个方格的面积是 #5!%2$!!"$/#!52!%$%6!5
"$! 大正方形的面积是 6!5&-$" %!2#1;"$! 本题是第六届上海*从小爱数学+邀请赛的试题!由上海钟 建国老师提供! *从小爱数学+是小学高年级学生的竞赛!但这道题却未必 !#!!! 每个高中学生都能做好!可见从小培养对数学的兴趣"感觉!是 一件非常重要的事! "" #"& """"""""""""""""""""""""""" 中心对称 图"4!! 如图"4!!"设$ 为%#(*的边(*的中 点"&!’分别在#*!#(上!证明% 3%$&’ &!"3%#(*! #!$ 本题不算很难!证法也很多!应当寻找尽 可能简单的证法! 图"4!" 我们利用中心对称#条件*$ 是(* 的 中点+启示我们这样做$! 以$ 为对称中心!设#"&"’的#关于 中心$ 的$对称点分别为#4"&4"’4#图 "4!"$!即分别延长#$"&$"’$ 到#4" &4"’4!使 $#4 < #$!$&4 <&$! $’4<’$! 因为( 的#关于$ 的$对称点是*!所 以#(关于$ 的对称图形是#4*!’在#( 上!所以’4在#4* 上#也可以用’4#4$ ’#!’4*$’(证明’4"#4"*共线$! 同理&4在#4(上! 显然四边形#4*#("&4’4&’都是平行四边形!所以 "3%$&’ %3%$&’ .3%$&4’4 %!"3’&4’4&’ !$!!! &!"3’#4*#( %3%#(*! 即#!$式成立! 当&"’分别与#"( 重合#或分别与*"# 重合$时!#!$ 式中等号成立! "" #"’ """"""""""""""""""""""""""" 部分与整体相似 一个三角形不会与它的一部分全等!但却可能与它的一部 分相似! 图"4!# 如图"4!#"设5 为%#(*内一点"如 果%5(*与原三角形相似"应当满足哪些 条件( 首先!((5*)(#!不妨设 ((5* % ((*# %".#!由于 (#(* )!!所以必 须有 (#(*%"!从而 (# %!!即(#是 %#(*最小的角! 因此!设(# 是%#(* 的最小的角!(* 是最大的角!作 (*(5 %!!(5*( % (#(*!(5"*5 相交于5!则 %(*5 * %#(*! #!$ 即每一个三角形内都可以找到一点5!使得5 与某两个顶点所 成的三角形与原三角形相似! 如果图"4!#中!$ %!!# %"!那么当#!$式成立时! %#(*的三个角#"("*分别为!""!"%!!因为 !."!.%! %!36=! !%!!! 所以%#(* 的三个角分别为!36=5 ""-!36= 5 "%-!36= 5 ! 即如 果%#(*的内心与某两个顶点所成的三角形与%#(* 相似! 那么%#(*的三个角必定是!36=5 "">!36= 5 "%>!36= 5 ! "" #"( """"""""""""""""""""""""""" 对角线的中点与面积 凸四边形#(*$ 的对角线#*!($ 相交于5!如果面 积和 3%#5( .3%*5$ %3%(5* .3%$5#! #!$ 那么5 是#*或($ 的中点! 问题不难!但入手的第一步应特别留心!不宜过于草率!否 则会做得很繁!事倍功半! 图"4!% 如果5 不是#* 的中点!设6 是#*的中点#图"4!%$!易知 !3%*5$ 23%$5# %#3%*6$ .3%$65$2 !#3%$6# 23%$65$ %"3%$65! #"$ 同理! 3%(5* 23%#5( %"3%6(5! ##$ 由#!$"#"$"##$ 3%$65 %3%6(5! 从而5 是($ 的中点! 反过来!当5 为#*或($ 的中点时!#!$显然成立!可以 !&!!! 证明满足#!$的点5 的轨迹就是过#*"($ 中点的直线!称为 牛顿线#当然!需要约定面积是所谓的*有向面积+!即当#"5" (三点成逆时针方向时!约定3%#5(为正%当#"5"( 三点成 顺时针方向时!3%#5(为负$! "" #") """"""""""""""""""""""""""" 处处留心皆学问 学习!应当不断地提出问题!*于无疑处有疑+!切勿轻易放 过那些可以动动脑筋的机会! 这里举两个简单有趣的几何作图中的问题& &过直线"外一点#作"的平行线!’ 这样的作图!初中同学人人学过!我们应该再进一步!提出 新的要求’’’*至少要画几条线!就可以完成上述作图!+ 这里的线指直线或圆#弧$!并且作图工具只有圆规与#没有 刻度的$直尺!不允许用三角板推! 答案是三条线!#请读者先想一想!试一试!然后再看下面的 解答!$ 作法如下& 图"4!$ 如图"4!$!在"上任取两点("*!分 别以#"*为圆心!(*"(# 为半径作圆! 两圆#与# 在"同侧$的交点为$!过#" $ 作直线! 易知四边形#(*$ 是平行四边形!所 以#$ 就是所求的平行线! 我们一共作了三条线&两个圆弧!一条直线!能不能减少一 条线呢! 不能" 因为最后总要作一条直线!它由# 及另一点$ !’!!! 确定%而定出$ 点必须两条线!所以至少要作三条线! 类似地!还可以考虑& &过点#作直线"的垂线"至少要作几条线#只允许用圆 规!直尺"不允许用三角板$(’ 解答分两种情况& #/$#在"外!通常的作法需要四条线!但是!只要我们多想 一想!可以知道用三条线就足够了!如图"4!&!在"上任取两点 ("*!分别以("*为圆心!(#"*#为半径画弧!相交于#异于 #的$点$!则#$ 就是"的垂线! 图"4!& !!! 图"4!5 #//$#在"上!上面的作法不再适用!必须另辟蹊径! 在"外任取一点(!以( 为圆心!(# 为半径作圆!交" 于#异于#的$点*#如果这圆与"相切于#!那么(#就是" 的垂线$!过*作+( 的直径*$!则直线$# 即为所求#图 "4!5$! 与前一个问题道理相同!三条线是最少的! 上面的两道作图题虽不困难!但也不一定很快就能想到正 确的答案!在学习的过程中应当多思!多问!处处留心皆学问! !(!!! "" #"* """"""""""""""""""""""""""" 圆规作图 单用圆规!可以作出所有尺规作图#用直尺"圆规$能作 的点! 本节介绍两个单用圆规的作图! !+已知正方形#(*$ 的顶点#!*"求作(!$! 图"4!3 设#* % !!如图 "4!3!作 +##!!$"+#*!!$相交于&"’% 作+#&!&’$分别交+##!!$" +#*!!$于7"8%作+#8!8#$ 交+##!!$于9%最后作+#7! 79$"+#8!79$相交于("$!则 ("$ 即为所求! 证明需用余弦定理!易知&’ %槡#!7"8 在连心线#* 上!对%7#9与%8#9用余弦定理!有 79" %!".!"."1?+(9#8 %"." ".!"2"" "-! %$"! 而对于正方形#(*$ 的顶点(!有 7(" % !.# $!" " .# $!" " %$"! 所以图中得到的("$ 的确是正方形#(*$ 的顶点! "+已知+)及其圆心)"将圆四等分! “奥数”课外阅读篇 《单墫老师教你学数学》7种 当读书不只是为了考试 你才会真正爱上数学 单墫老师娓娓道来 与你分享他所理解的数学之美 读者对象：初高中学生初高中学生初高中学生初高中学生，，，，数学教师数学教师数学教师数学教师，，，，数学爱好者数学爱好者数学爱好者数学爱好者 《单墫老师教你学数学》7种 ◆平面几何中的小花 ◆十个有趣的数学问题 ◆趣味数论 ◆棋盘上的数学 ◆覆盖 ◆组合数学的问题与方法 ◆解析几何的技巧 学奥数，这里总有一本适合你 自从 2000 年《奥数教程》中首次在图书中使用“奥数”一词以来，华东师 范大学出版社已陆续出版近 200 种“奥数”图书, 形成多品种、多册层次全系列。 “奥数”入门篇——《从课本到奥数》（1-9 年级）Ａ、B版 “奥数”智优篇——《优等生数学》（1-9 年级） “奥数”辅导篇——《奥数教程》、《学习手册》、《能力测试》（一至高三年级） “奥数”小学顶级篇——《高思学校竞赛数学课本》、《高思学校竞赛数学导引》 “奥数”专题篇——《数学奥林匹克小丛书》（小学、初中、高中共 30 种） “奥数” 题库 doc摄影基础题库高中语文题库及参考答案安全生产模拟考试平台题库选择大学英语b统考题库消防知识竞赛题库 篇——《多功能题典 数学竞赛》（小学、初中、高中共 3 种） “奥数”高中预赛篇——《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》 “奥数”联赛冲刺篇——《高（初）中数学联赛考前辅导》 “奥数”IMO 终极篇——《走向 IMO：数学奥林匹克试题集锦》 “奥数”域外篇——《日本小学数学奥林匹克》、《全俄中学生数学奥林匹 克》