统计学原理第六章 抽样推断及参数估计

null 第六章 抽样推断及参数估计 内容提要第一节 抽样调查的一般问题第二节 抽样误差第三节 总体指标的推断第四节 必要抽样数目的确定第五节 统计量及抽样分布内容提要内容提要 本章主要阐述了抽样调查的概念、特点、作用和几个基本概念；影响抽样误差的主要因素；抽样调查几种主要组织方式的抽样平均误差的计算；抽样估计推断；点估计和区间估计；必要抽样数目的确定。 抽样调查的一般问题 抽样调查的一般问题第一节返回2null 一、抽样调查的概念、特点与作用 (一)抽样调查的概念与特点 抽样调查又称抽样推断或抽样估计，它是从总体中按随机原则抽取一部分单位进行观测，并根据这部分单位的 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 推断总体数量特征的一种方法。null 抽样调查具有下列三个主要特点： (1)按随机原则抽取调查单位。 (2)由部分推断全体。 (3)抽样误差可以事先计算并加以控制。null (二)抽样调查的作用 (1)用于不可能进行全面调查的无限总体。 (2)用于不可能进行全面调查而又需要了解全面情况的现象。 (3)用于不必要进行全面调查的现象。 (4)用于对全面调查的资料进行 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 与修正。 (5)用于工业生产过程的质量控制。null 二、抽样调查中的几个基本概念 (一)全及总体和抽样总体 1.全及总体。全及总体简称总体或母体，它是指所要调查研究对象的全体。 2.抽样总体。抽样总体简称样本或子样，它是指在全及总体中按随机原则抽取的那部分单位所构成的集合体。null (二)总体指标和样本指标 1.总体指标。 总体指标也称为母体参数或全及指标，它是根据全及总体各单位的标志值或标志特征计算的，反映总体某种属性的综合指标。由于全及总体是唯一确定的，根据全及总体计算的全及指标也是唯一确定的。null 2.样本指标。 样本指标也称样本统计量或抽样指标，它是根据抽样总体各单位的标志值或标志特征计算的综合指标。由于可以从一个全及总体中抽取许多个不同的样本，不同的样本其分布结构也会有差异，抽样指标的数值也就不同，所以抽样指标的数值不是唯一确定的。null 三、抽样调查的组织方式 (一)简单随机抽样 简单随机抽样也叫纯随机抽样，它对总体单位不作任何分类排队，而是直接从总体中随机抽取一部分单位来组成样本的抽样组织方式。 (1)抽签法。 (2)随机数字法。null (二)类型抽样 类型抽样又称分类抽样或分层抽样，它是先将总体按某个主要标志进行分组(或分类)，再按随机原则从各组中抽取样本单位的一种抽样方式。 null (1)等数分配类型抽样法。 (2)等比例类型抽样法。 ［公式6—1］null(3)不等比例类型抽样法。 ［公式6—2］ null (三)等距抽样 等距抽样也称机械抽样或系统抽样，它是将总体各单位按某一标志顺序排列，然后按固定顺序和相等距离或间隔抽取样本单位的抽样组织方式。null抽样距离计算公式为： ［公式6—3］ null 图6—1 等距抽样示意图null (四)整群抽样 整群抽样也称集团抽样、区域抽样或分群随机抽样，它是将总体各单位按时间或空间形式划分成许多群，然后按纯随机抽样或机械抽样方式从中抽取部分群，对中选群的所有单位进行全面调查的抽样组织方式。null ［公式6—4］ ［公式6—5］ null整群抽样的优点：易于组织，节省调查费用 缺点：调查的总体单位过于集中且在少数样本群中。因此，在条件相同的情况下，整群抽样的代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 性低，通常需要扩大样本群的数目来弥补这个缺点。阶段抽样阶段抽样阶段抽样也就是多级抽样，在抽样时先抽总体中某种更大范围的单位，逐次类推，最后从更小范围总体中抽选样本的基本单位，分阶段来完成抽样的组织工作。 农产量抽样调查，第一阶段是从省抽县，第二阶段从中选县抽乡，第三阶段从中选乡抽村，再从村抽地块，最后再从地块抽具体的样本点，以样本点的实际资料来推算平均亩产和总产量。 抽样误差 抽样误差第二节一、抽样误差一、抽样误差调查误差是调查所获得的统计数据域调查总体未知真实数据之间的差别，包括登记性误差和代表性误差。 登记性误差是在调查过程中由于主观客观原因引起的登记差错造成的误差。 代表性误差是用样本指标数值去推算总体指标数值时，由于样本各单位的结构情况不足以代表总体特征所产生的误差。null 一、抽样误差的概念 调查误差又可分为：一是：没有遵循随机原则，二是：即使遵守了随机原则，也会由于被抽取的样本各种各样，导致样本内部各单位的分布比例结构与总体实际分布状况有偶然性的差异，从而使不同的随机样本得出不同的估计量，造成样本指标数值与总体指标数值之间产生差距，如抽样平均数与总体平均数的离差，抽样成数与总体成数的离差等。这类误差通常称为抽样误差或随机误差。null 二、影响抽样误差的主要因素 (一)样本单位数(样本容量n)的多少 (二)总体被研究标志变异程度(总体方差σ２)的大小 (三)抽样组织方式 (四)抽样方法null 三、抽样平均误差 (一)抽样平均误差的概念 抽样平均误差是指以全部可能样本指标为变量，以总体指标为平均数计算得到的标准差，以符号 表示，通常以 代表平均数的抽样平均误差，以 代表成数的抽样平均误差，以K代表可能组成的样本总数。null (二)计算抽样平均误差的理论公式 根据抽样平均误差的概念可得其一般计算公式： ［公式8—6］ ［公式8—7］null (三)抽样平均误差的计算方法 1.平均数的抽样平均误差 (1)重复抽样条件下： ［公式6—8］ (2)不重复抽样条件下： ［公式6—9］ 当N很大时， ［公式6—10］ null［例6-１］为叙述简便起见，假设有10,20,30和40四个数字组成一个总体，从中随机抽取两个数字作为样本，求抽样平均误差。null 2.成数的抽样平均误差 (1)重复抽样条件下： ［公式6—11］ (2)不重复抽样条件下： ［公式6—12］ 当N很大时， ［公式6—13］ null ［例6-2］ 某仪表厂生产某种型号的精密仪表，按正常生产经验，产品合格率为85%。今按简单随机抽样方式从800只仪表中抽取10%进行检验，求合格品比率的抽样平均误差。 在重复条件下，采用［公式6—11］： 在不重复条件下，采用［公式6—13］： null［例6-3］某大学有4500名学生，采用不重复简单随机抽样方式从中抽取10%的学生，调查其每月生活费用支出情况。抽样结果显示，学生平均每人每月生活费支出350元，标准差80元，生活费用支出在500元以上的学生占全部学生的20%。试求抽样平均误差。 null (四)其他抽样组织方式抽样平均误差的计算方法 1.类型比例抽样平均误差的计算。 (1)平均数的抽样平均误差 重复抽样条件下： ［公式6—14］ 不重复抽样条件下： ［公式6—15］ null (2)成数的抽样平均误差 重复抽样条件下： ［公式6—16］ 不重复抽样条件下： ［公式6—17］ null 其中： ［公式6—18］ ［公式6—19］ null ［例6-4］ 某县对本县的某种农作物的产量作了一次类型比例抽样调查。调查资料整理的结果见表6-4，试求抽样平均误差。表6-4表6-4 返回33null 2.等距抽样平均误差的计算。 3.整群抽样平均误差的计算。 (1)平均数的抽样平均误差 ［公式6—20］ (2)成数的抽样平均误差 ［公式6—21］ null 其中： ［公式6—22］ ［公式6—23］ 例6-5 某商店购进300箱（50只/箱）苹果，入库前随机抽取1%检查其质量。检验结果的整理资料见表6-5，试求抽样平均误差。例6-5 某商店购进300箱（50只/箱）苹果，入库前随机抽取1%检查其质量。检验结果的整理资料见表6-5，试求抽样平均误差。 null ［例6—5］ 首先，分别计算样本平均数和样本成数：null 然后，分别求出样本平均数群间方差和成数群间方差：null 最后，根据［公式6—20］和［公式6—21］求出μx和μp为： 总体指标的推断 总体指标的推断第三节null 一、统计比较的概念和作用 总体指标的推断是指对总体平均数 总体成数P推断估计的问题。抽样调查的直接目的，就是为了推断 ，P，然后，再结合总体单位数N去推算总体的有关标志总量。总体指标的推断有点估计和区估计两种方法。 null 一、点估计 点估计也称定值估计，它是以抽样得到的样本指标作为总体指标的估计量，并以样本指标的实际值 、p 直接作为总体未知参数 、P的估计值的一种推断方法。null比如：某电子元件厂，某天共生产电子元件20000件，耐用时间和合格率没进行全面检测，而是随机抽查5%检测，经计算，样本的平均耐用时间 小时，合格率p=98.56%。因此，推算这天生产的全部电子元件平均耐用时间 小时 ，合格率p=98.56%。null 估计量评判标准： 1.一致性。设 为未知参数θ的估计量，当n→∞时，要求 按概率收敛于θ，即 ［公式6—24］一致性 (consistency)一致性 (consistency)一致性：随着样本量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数null 2.无偏性。若要求估计量 的数学期望等于未知参数的真值θ，即 ［公式6—25］ null 3.有效性。无偏性只考虑估计量的平均结果是否等于待估计参数的真值，有效性则要求每个估计值与待估参数真值之间的偏差尽可能地小。 设 , 为θ的两个无偏估计量，若 的方差小于 的方差，即 ［公式6—28］有效性 (efficiency)有效性 (efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效 null 二、区间估计 区间估计就是以一定的概率保证估计包含总体参数的一个值域，即根据样本指标和抽样平均误差推断总体指标的可能范围。它包括两方面内容：一、这一可能范围的大小，二、总体指标落在这个可能范围内的概率。考虑表6-6样本平均数的概率分布考虑表6-6样本平均数的概率分布 由表6-6知：由表6-6知： null 将表6-6所示的变量数列绘成图形，即可得到一个钟形的平滑曲线，这条曲线叫正态分布曲线。如图6-2null图8—2 正态分布曲线图null 根据数理统计证明，总体单位的标志值如果是正态分布，其全部可能样本也一定是正态分布的；如果总体单位的标志值不是正态分布的，只要是大样本(即n≥30)，全部可能样本指标也会接近正态分布。从正态分布图中，可以总结两个特点：一是样本指标高于或低于总体指标的概率分布完全是对称的；二是样本指标接近于总体指标的概率越大(小)，出现的可能性也越大(小)。中心极限定理 (central limit theorem)中心极限定理 (central limit theorem)x 的分布趋于正态分布的过程样本指标置信度样本指标置信度根据数学证明， 在 到 的区间中，这一部分曲线下的面积，占曲线下全部面积的68.27%； 在 到 的区间内，这一部分曲线下的面积，占曲线下全部面积的95.45%； 在 到 的区间内，这一部分曲线下的面积，占曲线下全部面积的99.73% 。 如图6-3 null图8—3 样本指标置信度图null 误差范围 与概率度(t)和抽样平均误差 三者之间的关系为： ［公式6—27］ 由此得到平均数和成数的误差范围公式： ［公式6—28］ ［公式6—29］null 进而得到总体平均指标和总体成数指标的区间估计公式为： ［公式6—30］ ［公式6—31］ (95%的置信区间) (95%的置信区间)重复构造出的20个置信区间点估计值总体均值的区间估计 (大样本)总体均值的区间估计 (大样本)1. 假定条件 总体服从正态分布,且方差(２) 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n  30) 使用正态分布统计量 z总体均值  在1- 置信水平下的置信区间为例6-6例6-6某自行车厂从生产的一批10000个自行车轮胎中随机抽取1%进行质量检验。调查结果显示，轮胎的平均寿命为5000英里。试以95%的把握对该批自行车的平均寿命作出估计。（注：根据长期生产这种类型的轮胎数据可知，总体标准差为400公里）null［例6—６］ null 有了区间估计的结果，就可以对这批轮胎的使用寿命得出结论，因为区间估计最低公里数为4921.99公里，可将4900公里规定为最低可行驶公里数。这样做虽不能保证百分之百的可靠，但可以有95%的把握，还是令人可信的。null［例6—7］利用例6-3的资料，在95.45%的概率保证下估计全体学生月平均生活费用的可能范围，以及月生活费用在500元以上学生所占比重的可能范围。 例6-8 从某县农民家庭中随机抽取100户调查其年收入情况。农民家庭按年人均纯收入额分组的资料如下表6-7所示例6-8 从某县农民家庭中随机抽取100户调查其年收入情况。农民家庭按年人均纯收入额分组的资料如下表6-7所示根据表6-7的资料计算得表6-8根据表6-7的资料计算得表6-8null［例6—8］ null［例6—8］  第四节必要抽样数目的确定返回2null 一、影响抽样数目的主要因素 (一)总体被研究标志的变异程度 (二)对推断精确度的要求 (三)对推断可靠性的要求 (四)抽样调查的组织方式和方法 (五)人力、物力和财力的允许条件null 二、确定抽样数目的方法 (一)在重复抽样条件下 推断总体平均数所需要的抽样数目： ［公式6—32］ 推断总体成数所需要的抽样数目： ［公式6—33］null (二)在不重复抽样条件下 推断总体平均数所需要的抽样数目： ［公式6—34］ 推断总体成数所需要的抽样数目： ［公式6—35］例6-9例6-9假定某乡有农户18000户，在某次调查中采用重复的纯随机方式进行抽样，要求人均收入的极限误差控制在150元内，把握程度为95.45%，该抽多少多少农户？如果极限抽样误差要求控制在75元内，应抽多少户？（注：全乡人均收入标准差为1500元） null ［例6—９］ (1)采用重复抽样公式计算:null 可见，在重复抽样中，△极限误差缩小一半(即为原来的1/2)时，必须把样本容量增到4倍。null (2)采用不重复抽样公式计算:null当极限抽样误差缩小为一半时，根据【公式6-34】得：null 如果是采用其他抽样组织方式，则公式略有不同。例如，采用重复的分层抽样，则所需的 抽样数目计算公式为： ［公式6—36］ ［公式6—37］第 5节 统计量及其抽样分布第 5节 统计量及其抽样分布 6.5.1 统计量 6.5.2 关于分布的几个概念 6.5.3 由正态分布导出的几个重要分布 6.5.4 样本均值的分布与中心极限定理 6.5.5 样本比例的抽样分布 6.5.6 两个样本平均值之差的分布 6.5.7 关于样本方差的分布 统计量(statistic) 统计量(statistic) 设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1,X2,…,Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量 样本均值、样本比例、样本方差等都是统计量 统计量是样本的一个函数 统计量是统计推断的基础null例：设 是从某总体X中抽取的一个样本，则： 是统计量 不是统计量 常用统计量常用统计量null次序统计量次序统计量一组样本观测值X1,X2,…,Xn由小到大的排序 X（1）≤X（2）≤…≤ X（i）≤…≤ X（n）后，称X（1），X（2），…，X（n）为次序统计量 称为样本极差 中位数、分位数、四分位数等都是次序统计量 2分布(2 distribution)2分布(2 distribution)由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别于1875年和1900年推导出来 2.设随机变量 相互独立，且 服从标准正态分布 则它们的平方和 服从自 由 度为n的2分布。 3.设 ，则 ，若令 则 Y 服从自由度为1的2分布，即 2分布 (性质和特点)2分布 (性质和特点)分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度) 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布 卡方 (c2) 分布卡方 (c2) 分布 t 分布 t 分布高塞特(W.S.Gosset)于1908年在一篇以“Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布 t 分布图示t 分布图示 由上图可以看出:t分布的密度函数与标准正态分布N(0,1)的密度函数曲线非常相似—单峰偶函数。t(n)的密度函数在两侧的尾部都要比N(0,1)的两侧尾部粗一些，t(n)的方差比N(0,1)的方差大一点。 当n≥30时，t分布与标准正态分布就非常接近 t分布理论适用于小样本分布 F分布 (F distribution) F分布 (F distribution)由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的第一个字母来命名 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F分布 (图示)F分布 (图示)  不同自由度的F分布 抽样分布(sampling distribution) 抽样分布(sampling distribution) 样本统计量的概率分布，是一种理论分布 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 推断总体均值的理论基础 样本均值的抽样分布 （一个例子）样本均值的抽样分布 （一个例子）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下均值和方差样本均值的抽样分布 （一个例子）样本均值的抽样分布 （一个例子） 现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表样本均值的抽样分布 （一个例子）样本均值的抽样分布 （一个例子） 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布所有样本均值的均值和方差所有样本均值的均值和方差式中：M为样本数目 比较及结论：1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n样本均值的分布与总体分布的比较样本均值的分布与总体分布的比较抽样分布  = 2.5 σ2 =1.25总体分布样本均值的抽样分布 与中心极限定理样本均值的抽样分布 与中心极限定理当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)中心极限定理 (central limit theorem)中心极限定理 (central limit theorem)从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布中心极限定理 (central limit theorem)中心极限定理 (central limit theorem)x 的分布趋于正态分布的过程null例：设从一个均值为10，标准差为0.6的总体中随机选取容量为36的样本。假定该总体不是很偏，求： （1）计算样本均值小于9.9的近似概率 （2）计算样本均值超过9.9的近似概率 （3）计算样本均值在总体均值附近0.1范围内的近似概率nullnullnull例2：某汽车电瓶商声称生产的电瓶具有均值为60个月，标准差为6个月的寿命分布。先假设质检部门决定检验该厂的说法是否准确，为此随机抽取50个该厂生产的电瓶进行寿命试验。 （1）假定厂商声称正确，描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布。 （2）50个样品组成的样本的平均寿命不超过57个月的概率为多少？null结论：50个电瓶平均寿命不超过57个月的概率为0.0002，根据小概率原理，这是一个不可能事件。比例 (proportion)比例 (proportion)总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比 不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比 总体比例可表示为 样本比例可表示为 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 ，则 4. 如果X是随机变量，C为常数，则CX和X有相同的分布形状。 样本比例的抽样分布 (数学期望与方差)样本比例的抽样分布 (数学期望与方差)样本比例的数学期望 样本比例的方差 重复抽样 不重复抽样null例：null例2：假定某统计人员在填写的报表中有2%至少会有一处错误，如果我们检查了一个由600份报表组成的随机样本，其中至少有一处错误的报表所占的比例在0.025-0.070之间的概率有多大？nullnull即该统计人员所填写的报表中至少有一处错误的报表所占的比例在0.025~0.070之间的概率为0.1902样本方差的分布样本方差的分布在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布 对于来自正态总体的简单随机样本，则比值 的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的2分布，即两个样本方差比的分布两个样本方差比的分布 两个总体都为正态分布，即X1~N(μ1 ,σ12)，X2~N(μ2 ,σ22 ) 从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本 两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为(n1-1)，分母自由度为(n2-1) 的F分布，即 null结 束1122null3.某次语文考试成绩服从正态分布，σ2=81,从中抽取n=25的样本，计算得其平均分为58， 试估计总体平均数的0.95的置信区间。null4.某高校有3000名走读学生，该校后勤部门想估计这些学生每天来回的平均时间，以置信度为95％的置信区间估计，并使估计值处在真值附近1分钟的误差范围之内，一个先前抽样的小样本给出的标准差为4.8分钟，试问应抽取多大的样本？null5.为了解某生活小区住户的月书报费支出情况，随机抽取36户居民家庭进行调查，得平均每户居民家庭每月的书报费支出为46元，样本标准差为24元。试分析整个生活小区居民家庭平均每月的书报费支出在38~54元之间的可能性有多大？null6.对某地区居民进行经济收入调查，设已知居民的平均年收入的标准差为3000元，要求按置信水平95%，准许抽样误差为500元，至少要对多少居民进行调查。 null7.一项关于大学生体重状况的研究发现，男生的平均体重为60公斤，标准差为5公斤；女生的平均体重为50公斤，标准差为5公斤。请回答下面的问题： 是男生的体重差异大还是女生的体重差异大？为什么？ 粗略地估计一下，男生中有百分之几的人体重在55公斤到65公斤之间？ 粗略地估计一下，女生中有百分之几的人体重在40公斤到60公斤之间？