null 1 多元函数的极限与连续 一、 n维欧氏空间二、多元函数的极限与连续性 1 多元函数的极限与连续 累次极限累次极限先暂时把y看成常量, 记为设二元函数f(x,y)在点 则称A为f(x,y)记为类似的, 定义f(x,y) 二重极限仅知其中一个存在,推不出其它二者存在. 二重极限不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如,显然与累次极限但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在 .null 解 练习 null 解 练习 null 解 练习 多元函数的连续性 多元函数的连续性 定义 . 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上否则称为不连续,此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续, 连续的充要条件是 例如, 函数例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.例1 设例1 设试证 f(x, y)在原点连续. 证所以 f(x, y)在原点连续. 要证例2 设例2 设讨论 f(x, y)的连续性. 解例2 设例2 设讨论 f(x, y)的连续性. 解例3 证明例3 证明在点(0,0)处沿此点的每条射线 连续,定理 若 f (x,y)和g(x,y) 在 连续, 则函数定理 若 f (x,y)和g(x,y) 在 连续, 则函数若函数定理 则复合函数 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 例4.求解: 原式例4.求例5. 求函数的连续域.解: 2. 偏 导 数 一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数(下节课) 2. 偏 导 数 定义 定义在点存在,的偏导数，记为的某邻域内有定义,则称此极限为函数若极限设函数注意:同样可定义对 y 的偏导数同样可定义对 y 的偏导数若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数 ,记为或 y 偏导数存在 ,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .偏导数定义为(请写出)二元函数偏导数的几何意义:二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的例1 . 求例1 . 求解法1:解法2:在点(1 , 2) 处的偏导数.例2. 设例2. 设证:例3. 求的偏导数 . 解:求证例4. 设 例4. 设 解:分段函数在分界点处的偏导数一般用定义求.注意：函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续.显然例如,注意：在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!注意：函数在某点连续不能保证在此点各偏导数都存在但是例如,注意：定理处处都存在且有界,定理的一个邻域内两个偏导数内容小结内容小结1. 区域 邻域 : 区域连通的开集 2. 多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数3. 多元函数的极限 4. 函数5 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理 一切多元初等函数在定义区域内连续3. 多元函数的极限有null1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续2. 偏导数的计算
方法
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求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义
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