null第七节第七节一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数 一、三角级数周期函数反映客观世界中的周期性现象，正弦函数是最简单的周期函数之一。( A为振幅, 为角频率,φ为初相 )如心脏的跳动（心电图）、波浪、单摆的振动。一、三角级数null问题：给定一个周期函数，能否展开为简单的周期函数（如正弦函数）的和？物理意义：将一个一般的周期运动分解为不同频率的简谐振动的叠加。谐波
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null问题:二、三角函数系的正交性二、三角函数系的正交性三角函数系：null三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数利用三角函数系的正交性.nullnullnull问题:null收敛定理（狄利克雷(Dirichlet)充分条件）null 先求傅里叶系数所给函数满足收敛定理的条件，解：null（连续点）（间断点），nullnullnullnullnull注：泰勒级数是局部逼近，而傅里叶级数是全局逼近。null所给函数满足收敛定理的条件.解：null所求函数的傅里叶级数展开式为null注意以上两个例子的结果，容易证明例3.例3.上的
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达式为将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 nullnull解：选择题：nullnull解： 将 f (x)延拓成以2为周期的函数 F(x) ,由例2结果可得，当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得nullnull周期延拓 F (x) f (x)在(0, ]上展成正弦级数周期延拓 F (x)奇延拓偶延拓 f (x)在[0,]上展成余弦级数例5.将函数例5.将函数先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,分别展成正弦级数与余弦级数 . 解:null根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数的部分和 逼近 f (x) 的情况见右图.再求余弦级数.再求余弦级数.由例2结果可得，四、周期为2l的函数的傅里叶级数展开四、周期为2l的函数的傅里叶级数展开周期为 2l 函数 f (x)伸缩 f (x) 的傅氏展开式null定理：设周期为2l 的周期函数f (x) 满足收敛定理的条件,则它的傅里叶展开式为
(在 f (x) 的连续点处)null证明：null解：null傅里叶 (1768 – 1830)傅里叶 (1768 – 1830)法国数学家. 他的著作《热的解析 理论》(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. 要点:要点:第七节傅里叶级数 1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中注：泰勒级数是局部逼近，而傅里叶级数是全局逼近。null2. 周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在[ 0 , ]上函数的傅里叶级数展开 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数4. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开式其中nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
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