数学符号表

数学符号表 数学符号表 数学上，有一组常在数学表达式中出现的符号。数学工作者熟悉这些符号，不是每次使用都加以说明。所以，对于数学初学者，下面的列表给出了很多常见的符号包括名称、读法和应用领域。另外，第三栏有一个非正式的定义，第四栏有个简单的例子。 注意，有时候不同符号有相同含义，而有些符号在不同的上下文中有不同的含义。注意：本条目含有特殊字符。 符号 名称 定义 举例 读法 数学领域 = 等号 x = y 表示 x 和 y 是相同的东西或其值相等。 1 + 1 = 2 等于 所有领域 ≠ 不等号 x ≠ y 表示 x 和 y 不是相同的东西或数值。 1 ≠ 2 不等于 所有领域 < > 严格不等号 x < y 表示 x 小于y。 x > y 表示 x 大于y。 3 < 4 5 > 4 小于，大于 序理论 ≤ ≥ 不等号 x ≤ y 表示 x 小于等于y。 x  ≥ y 表示 x 大于等于y。 3 ≤ 4；5 ≤ 5 5 ≥ 4；5 ≥ 5 小于等于，大于等于 序理论 + 加号 4 + 6 表示 4 加 6。 2 + 7 = 9 加 算术 − 减号 9 − 4 表示 9 减 4。 8 − 3 = 5 减 算术 负号 −3 表示 3 的负数。 −(−5) = 5 负 算术 补集 A − B 表示包含所有属于 A 但不属于 B 的元素的集合。 {1,2,4} − {1,3,4}  =  {2} 减 集合论 × 乘号 3 × 4 表示 3 乘以 4。 7 × 8 = 56 乘以 算术 直积 X × Y 表示所有第一个元素属于 X，第二个元素属于 Y 的有序对的集合。 {1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} … 和…的直积 集合论 叉乘 u × v 表示向量 u 和 v 的叉乘。 (1,2,5) × (3,4,−1) = (−22, 16, − 2) 叉乘 向量代数 ÷ / 除号 6 ÷ 3 或 6 / 3 表示 6 除以 3。 2 ÷ 4 = 0.5 12/4 = 3 除以 算术 √ 根号 √x 表示其平方为 x 的正数。 √4 = 2 …的平方根 实数 复根号 若用极坐标表示复数 z = r exp(iφ)（满足 -π < φ ≤ π），则 √z = √r exp(iφ/2)。 √(-1) = i …的平方根 复数 | | 绝对值 |x| 表示实数轴（或复平面）上 x 和 0 的距离。 |3| = 3, |-5| = |5| |i| = 1, |3+4i| = 5 …的绝对值 数 ! 阶乘 n! 表示连乘积 1×2×…×n。 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 …的阶乘 组合论 ~ 概率分布 X ~ D 表示随机变量 X 概率分布为 D。 X ~ N(0,1)：标准正态分布 满足分布 统计学 ⇒ → ⊃ 实质蕴涵 A ⇒ B 表示 A 真则 B 也真；A 假则 B 不定。 → 可能和 ⇒ 一样, 或者有下面将提到的函数的意思。 ⊃ 可能和 ⇒ 一样，或者有下面将提到的父集的意思。 x = 2  ⇒  x2 = 4 为真，但 x2 = 4   ⇒  x = 2 一般情况下为假（因为 x 可以是 −2）。 推出，若…则 … 命题逻辑 ⇔ ↔ 实质等价 A ⇔ B 表示 A 真则 B 真，A 假则 B 假。 x + 5 = y +2  ⇔  x + 3 = y 当且仅当 命题逻辑 ¬ ˜ 逻辑非 命题 ¬A 为真当且仅当 A 为假。 将一条斜线穿过一个符号相当于将 "¬" 放在该符号前面。 ¬(¬A) ⇔ A x ≠ y  ⇔  ¬(x =  y) 非，不 命题逻辑 ∧ 逻辑与或交运算 若 A 为真且 B 为真，则命题 A ∧ B 为真；否则为假。 n < 4  ∧  n >2  ⇔  n = 3，当 n 是自然数 与 命题逻辑，格理论 ∨ 逻辑或或并运算 若 A 或 B（或都）为真，则命题 A ∨ B 为真；若两者都假则命题为假。 n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3，当 n 是自然数 或 命题逻辑，格理论 ⊕ ⊻ 异或 若 A 和 B 刚好有一个为真，则命题 A ⊕ B 为真。 A ⊻ B 的意义相同。 (¬A) ⊕ A 恒为真，A ⊕ A 恒为假。 异或 命题逻辑，布尔代数 ∀ 全称量词 ∀ x: P(x) 表示 P(x) 对于所有 x 为真。 ∀ n ∈ N: n2 ≥ n 对所有；对任意；对任一 谓词逻辑 ∃ 存在量词 ∃ x: P(x) 表示存在至少一个 x 使得 P(x) 为真。 ∃ n ∈ N: n 为偶数 存在 谓词逻辑 ∃! 唯一量词 ∃! x: P(x) 表示有且仅有一个 x 使得 P(x) 为真。 ∃! n ∈ N: n + 5 = 2n 存在唯一 谓词逻辑 := ≡ :⇔ 定义 x := y 或 x ≡ y 表示 x 定义为 y的一个名字（注意：≡ 也可表示其它意思, 例如全等）。 P :⇔ Q 表示 P 定义为 Q 的逻辑等价。 cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)) A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) 定义为 所有领域 { , } 集合括号 {a,b,c} 表示 a, b,c 组成的集合。 N = {0,1,2,…} …的集合 集合论 { : } { | } 集合构造记号 {x : P(x)} 表示所有满足 P(x) 的 x 的集合。 {x | P(x)} 和 {x : P(x)} 的意义相同。 {n ∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4} 满足…的集合 集合论 ∅ {} 空集 ∅ 表示没有元素的集合。 {} 的意义相同。 {n ∈ N : 1 < n2 < 4} = ∅ 空集 集合论 ∈ ∉ 集合属于 a ∈ S 表示 a 属于集合 S；a ∉ S 表示 a 不属于 S。 (1/2)−1 ∈ N 2−1 ∉ N 属于；不属于 所有领域 ⊆ ⊂ 子集 A ⊆ B 表示 A 的所有元素属于 B。 A ⊂ B 表示 A ⊆ B 但 A ≠ B。 A ∩ B ⊆ A；Q ⊂ R …的子集 集合论 ⊇ ⊃ 父集 A ⊇ B 表示 B 的所有元素属于 A。 A ⊃ B 表示 A ⊇ B 但 A ≠ B。 A ∪ B ⊇ B；R ⊃ Q …的父集 集合论 ∪ 并集 A ∪ B 表示包含所有 A 和 B 的元素但不包含任何其他元素的集合。 A ⊆ B  ⇔ ；A ∪ B = B …和…的并集 集合论 ∩ 交集 A ∩ B 表示包含所有同时属于 A 和 B 的元素的集合。 {x ∈ R : x2 = 1} ∩ N = {1} …和…的交集 集合论 \ 补集 A \ B 表示所有属于 A 但不属于 B 的元素的集合。 {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2} 减；除去 集合论 ( ) 函数应用 f(x) 表示 f 在 x 的值。 f(x) := x2，则 f(3) = 32 = 9。 f(x) 集合论 优先组合 先执行括号内的运算。 (8/4)/2 = 2/2 = 1；8/(4/2) = 8/2 = 4 所有领域 ƒ :X →Y 函数箭头 ƒ: X → Y 表示 ƒ 从集合 X 映射到集合 Y。 设ƒ: Z → N 定义为 ƒ(x) = x2。 从…到… 集合论 ⃘ 复合函数 f⃘g 是一个函数，使得 (f⃘g)(x) = f(g(x))。 若 f(x) = 2x，且 g(x) = x + 3，则 (fog)(x) = 2(x + 3)。 复合 集合论 N ℕ 自然数 N 表示 {0,1,2,3,…}，另一定义参见自然数条目。 {|a| : a ∈ Z} = N N 数 Z ℤ 整数 Z 表示 {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}。 {a : |a| ∈ N} = Z Z 数 Q ℚ 有理数 Q 表示 {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}。 3.14 ∈ Q π ∉ Q Q 数 R ℝ 实数 R 表示 {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, 极限存在}。 π ∈ R √(−1) ∉ R R 数 C ℂ 复数 C 表示 {a + bi : a,b ∈ R}。 i = √(−1) ∈ C C 数 ∞ 无穷 ∞ 是扩展的实数轴上大于任何实数的数；通常出现在极限中。 limx→0 1/|x| = ∞ 无穷 数 π 圆周率 π 表示圆周长和直径之比。 A = πr² 是半径为 r 的圆的面积 pi 几何 || || 范数 ||x|| 是赋范线性空间元素 x 的范数。 ||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| …的范数；…的长度 线性代数 ∑ 求和 ∑k=1n ak 表示 a1 + a2 + … + an. ∑k=14 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 从…到…的和 算术 ∏ 求积 ∏k=1n ak 表示 a1a2···an. ∏k=14 (k + 2) = (1  + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360 从…到…的积 算术 直积 ∏i=0nYi 表示所有 (n+1)-元组 (y0,…,yn)。 ∏n=13R = Rn …的直积 集合论 ' 导数 f '(x)函数f在x点的倒数, 也就是, 那里的切线斜率。 若 f(x) = x2, 则 f '(x) = 2x … 撇; …的导数 微积分 ∫ 不定积分 或 反导数 ∫ f(x) dx 表示导数为f的函数. ∫x2 dx = x3/3 …的不定积分; …的反导数 微积分 定积分 ∫ab f(x) dx 表示 x-轴和 f 在 x = a和x = b之间的函数图像所夹成的带符号面积。 ∫0b x2  dx = b3/3; 从…到…以…为变量的积分 微积分 ∇ 梯度 ∇f (x1, …, xn) 偏导数组成的向量 (df / dx1, …, df / dxn). 若 f (x,y,z) = 3xy + z² 则 ∇f = (3y, 3x, 2z) …的(del或nabla或梯度) 微积分 ∂ 偏导数 设有f (x1, …, xn), ∂f/∂xi是f的对于xi的当其他变量保持不变时的导数. 若 f(x,y) = x2y, 则 ∂f/∂x = 2xy …的偏导数 微积分 边界 ∂M 表示M的边界 ∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : || x || = 2} …的边界 拓扑 ⊥ 垂直 x ⊥ y 表示 x 垂直于y; 更一般的 x正交于y. 若 l⊥m和m⊥n 则 l || n. 垂直于 几何 底元素 x = ⊥ 表示 x是最小的元素. ∀x : x ∧ ⊥ = ⊥ 底元素 格理论 ⊧ 蕴含 A ⊧ B 表示A蕴含B, 在A成立的每个 模型中， B也成立. A ⊧ A ∨ ¬A 蕴含； 模型论 ⊢ 推导 x ⊢ y 表示 y 由 x导出. A → B ⊢ ¬B → ¬A 从…导出 命题逻辑, 谓词逻辑 ◅ 正则子群 N ◅ G 表示 N是G的正则子群. Z(G) ◅ G 是…的正则子群 群论 / 商群 G/H 表示G 模其子群H的商群. {0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}} 模 群论 ≈ 同构 G ≈ H 表示 G 同构于 H Q / {1, −1} ≈ V, 其中 Q 是四元数群 V 是 克莱因四群. 补充说明 然而原表中虽然有六十余个符号，却对初等数学的符号尚未罗列完整，随便点出几处： 原表 有阶乘符号而无排列组合符号； 有函数符号而无反函数符号； 有代数符号而基本无几何、三角、反三角符号（仅有一个垂直符号）； 有平方根符号而无立方根、n次方根符号； 有导数符号而无极限符号； 有等于符号而无恒等于、同余符号； 有向量叉乘符号而无有向线段、向量、向量数量乘积(点乘积)符号； 有复数绝对值（应为模）符号而无复数、共轭复数、复数实虚部符号； 无对数符号、指数符号 对于高等数学，表中所列符号仅占全部符号的1/3。 另外表中所列符号还有错误和赘疣： 符号 | | ：对实数是绝对值，对复数是模（尤其对虚数）； 符号 Φ ：表示空集，空集不是用 { } 表示； 符号 ≌ ：几何中表示全等，近世代数（群论）中表示同构，同构不是用≈号； 符号 － ：集合论中的补集，这在过去是对的，但现在集合论中的补集已不是这个符号， 复合函数符号没有省去或简化任何一个字符，反而多出一个赘疣，有悖定义符号的原则，不知是哪位教授独创？ 符号规定应有部颁标准，当然也符合绝大多数数学工作者的习惯，少数独创的应不在此列。 一．算術與代數 符　號 意　義 備　註 ＋ 加，正號 － 減，負號 ×或· 乘 字母和括號前乘號可略 ÷或－或／ 除 ＝ 等於 ≠ 不等於 ≡ 恆等於 ＜ 小於 ＞ 大於 ≤ 小於或等於 ≥ 大於或等於 << 遠小於 >> 遠大於 ≈ 約等於 ∝ 成正比 : 比 ac a的c次方 C為上標，不限正整數 √ 平方根 n√ n次方根 n標在√上方缺口中 ± 正或負 ± 負或正 將“±”倒寫 | | 絕對值 複數為模 ! 階乘 (mn) m個元素中取出n個元素的不同取法的總數 m在括號中間上部n在括號中間下部 ∑ 總和 ∏ 總積 ． 小數點 . . 循環小數循環節號 標在小數點後數字上方 i 虛數單位 i2＝－1(2為上標) Re 複數實部 Im 複數虛部 arg 複數幅角 － 共軛複數 標在複數上方 ％ 百分比 ∞ 無窮大 ( ) 圓括號 [ ] 方括號 { } 花括號 ~ 數字範圍 二．幾何 符　號 意　義 備　註 AB 自A至B的綫段 也表示綫段長度 ∠ 平面角 ° 度 ′ 分 ″ 秒 ⌒ 弧 π 圓周率 △ 三角形 平行四邊形 一个上方向右倾斜的小平行四边形 ⊙ 圓 ⊥ 垂直 ∥ 平行 ∽ 相似 ≌ 全等 ∵ 因爲 ∴ 所以 三．函數 符　號 意　義 備　註 sin 正弦 cos 餘弦 tg 正切 ctg 餘切 sec 正割 csc 餘割 sinmx 正弦的n次冪 m為上標,其他類同 arcsin 反正弦 arccos 反餘弦 arctg 反正切 arcctg 反餘切 arcsec 反正割 arccsc 反餘割 sh 雙曲正弦 ch 雙曲餘弦 th 雙曲正切 cth 雙曲餘切 loga 以a為底的對數 a為下標 ln 以e為底的對數 lg 以10為底的對數 e 自然對數的底 ex或exp(x) 以e為底的x 的指數函數 ex中x為上標 f(x) x 的函數 Γ Γ函數 四．微積分 符　號 意　義 備　註 lim 極限 → 收斂於,趨於 lim 下極限 lim下加一橫 lim 上極限 Lim上加一橫 sup 上確界 inf 下確界 max 最大 min 最小 △x x的有限增量 df(x)/dx f對x的微商 也可f′(x) dnf(x)/dx f對x的n階微商 也可f(n)(x) ((n)為上標) ∂f/∂x f對x的偏微商 也可f′x(x為下標) ∂m+nf/∂xn∂ym m、+、n為上標 先對y作m次偏微商 再對x作n次偏微商　 也可f(m+n) xnym ((m+n)為上標 xnym為下標) df f的全微分 ∂(u,v,w)/∂(x,y,z) u,v,w對x,y,z的函數行列式 略 ∫f(x)dx f(x)對x的不定積 ∫baf(x)dx f(x)由x=a至x=b的定積分 b標於“∫”的右上方 a標於“∫”的右下方 F(x)|ba F(b)- F(a) b標於“|”的右上方 a標於“|”的右下方 ∫∫f(x,y)dxdy f(x,y)在集合S上的二重積分 ∫∫下方標註集合S δx x的變差 五．向量與矩陣 符　號 意　義 備　註 a和→a 向量 印刷用黑體a 手寫a上方加右箭頭 |a| 向量的模或長度 注意黑體a a·b 標量積 注意黑體a 、b a×b 向量積 注意黑體a 、b Gred φ φ的梯度 ∇φ Div a a的散度 ∇·a(黑體a) Rot a a的旋度 ∇×a(黑體a) □u 達朗貝爾算子 △φ 拉普拉斯算子 也可△2φ(2為上標) |A| 方陣A的行列式 A-1 非異方陣的逆方陣 -1為上標