时域离散信号和时域离散系统第1章 1.4 习题与上机题解答 1.用单位脉冲序列δ(n)及其加权和
表
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示题1图所示的序列。题1图时域离散信号和时域离散系统第1章解： x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1) +2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6) 2．给定信号： 2n+5 －4≤n≤－1 6 0≤n≤4 0其它 (1)画出x(n)序列的波形，标上各序列值； (2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=时域离散信号和时域离散系统第1章 （3）令x1(n)=2x(n－2)，试画出x1(n)波形； （4）令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形； （5）令x3(n)=x(2－n)，试画出x3(n)波形。 解：(1)x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。(2)x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)时域离散信号和时域离散系统第1章 （3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 (4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 (5)画x3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（三）时域离散信号和时域离散系统第1章题2解图（四）时域离散信号和时域离散系统第1章 3．判断下面的序列是否是周期的;若是周期的，确定其周期。(1)(2) 解：（1）因为ω= π,所以 ,这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。 （2）因为ω= ,所以 =16π,这是无理数，因此是非周期序列。时域离散信号和时域离散系统第1章 4．对题1图给出的x(n)要求： (1)画出x(－n)的波形； (2)计算xe(n)= ［x(n)+x(－n)］，并画出xe(n)波形； (3)计算xo(n)= ［x(n)－x(－n)］，并画出xo(n)波形; (4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),将x1(n)与x(n)进行比较，你能得到什么结论？时域离散信号和时域离散系统第1章 解：（1）x(－n)的波形如题4解图（一）所示。 (2)将x(n)与x(－n)的波形对应相加，再除以2，得到xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 (3)画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。时域离散信号和时域离散系统第1章题4解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1章题4解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1章题4解图（三）时域离散信号和时域离散系统第1章 (4)很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(n－n0) n0为整常数 （4）y(n)=x(－n)时域离散信号和时域离散系统第1章 （5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(ωn) 解：（1）令输入为 x(n－n0)输出为y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2)y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)=y′(n)时域离散信号和时域离散系统第1章故该系统是非时变系统。因为y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ T［ax1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) T［bx2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2)所以T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故该系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章 （2）令输入为 x(n－n0)输出为 y′(n)=2x(n－n0)+3 y(n－n0)=2x(n－n0)+3=y′(n)故该系统是非时变的。由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=2ax1(n)+2bx2(n)+3 T［ax1(n)］=2ax1(n)+3 T［bx2(n)］=2bx2(n)+3 T［ax1(n)+bx2(n)］≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故该系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章 (3)这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为 x(n－n1)输出为 y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n)故延时器是非时变系统。由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故延时器是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章 (4)y(n)=x(－n) 令输入为 x(n－n0)输出为 y′(n)=x(－n+n0) y(n－n0)=x(－n+n0)=y′(n)因此系统是线性系统。由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(－n)+bx2(－n) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］因此系统是非时变系统。时域离散信号和时域离散系统第1章 （5）y(n)=x2(n) 令输入为x(n－n0) 输出为 y′(n)=x2(n－n0) y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n)故系统是非时变系统。由于T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2≠aT［x1(n)］+bT［x2(n)］=ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章 （6）y(n)=x(n2) 令输入为 x(n－n0)输出为 y′(n)=x((n－n0)2) y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n)故系统是非时变系统。由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章（7）y(n)= x(m) 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)= =0[DD)]x(m-n0) y(n－n0)= x(m)≠y′(n)故系统是时变系统。由于 T［ax1(n)+bx2(n)］= ［ax1(m)+bx2(m)］ =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章 （8）y(n)=x(n)sin(ωn) 令输入为 x(n－n0) 输出为 y′(n)=x(n－n0)sin(ωn) y(n－n0)=x(n－n0)sin［ω(n－n0)］≠y′(n)故系统不是非时变系统。由于 T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n)sin(ωn)+bx2(n)sin(ωn) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第1章 6．给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）y(n)= x(n－k)（2）y(n)=x(n)+x(n+1)（3）y(n)= x(k)（4）y(n)=x(n－n0)（5）y(n)=ex(n)时域离散信号和时域离散系统第1章 解：（1）只要N≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|≤M，则|y(n)|≤M，因此系统是稳定系统。 （2）该系统是非因果系统，因为n时间的输出还和n时间以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,因此系统是稳定系统。 （3）如果|x(n)|≤M，则|y(n)|≤ |x(k)|≤|2n0+1|M，因此系统是稳定的；假设n0>0，系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。时域离散信号和时域离散系统第1章 （4）假设n0>0，系统是因果系统，因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|≤M，因此系统是稳定的。 （5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果|x(n)|≤M,则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，因此系统是稳定的。 7．设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出y(n)输出的波形。 解：解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(n－m)时域离散信号和时域离散系统第1章题7图时域离散信号和时域离散系统第1章y(n)={－2,－1,－0.5,2,1,4.5,2,1;n=－2,－1,0,1,2,3,4,5}时域离散信号和时域离散系统第1章 解法（二） 采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3) h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)由于 x(n)*δ(n)=x(n) x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)故时域离散信号和时域离散系统第1章 y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+δ(n－2)］=2x(n)+x(n－1)+ x(n－2)将x(n)的表示式代入上式，得到y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2)+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)时域离散信号和时域离散系统第1章 8.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。 （1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n) （2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3）h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n) 解：（1）y(n)=x(n)*h(n)= R4(m)R5(n－m)先确定求和域。由R4(m)和R5(n－m)确定y（n）对于m的 非零区间如下: 0≤m≤3 －4≤m≤n时域离散信号和时域离散系统第1章根据非零区间，将n分成四种情况求解：①n<0时，y(n)=0②0≤n≤3时，y(n)= 1=n+1③4≤n≤7时，y(n)= 1=8－n④n>7时，y(n)=0时域离散信号和时域离散系统第1章最后结果为0n<0或n>7n+10≤n≤38－n 4≤n≤7y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2)y(n)=2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2) =2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］y(n)的波形如题8解图（二）所示y(n)=时域离散信号和时域离散系统第1章题8解图（一）时域离散信号和时域离散系统第1章题8解图（二）时域离散信号和时域离散系统第1章(3)y(n)=x(n)*h(n)= R5(m)0.5n－mu(n－m) =0.5n R5(m)0.5－mu(n－m)y（n）对于m的非零区间为 0≤m≤4, m≤n ①n<0时，y(n)=0 ②0≤n≤4时，时域离散信号和时域离散系统第1章=－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n③n≥5时最后写成统一表达式：y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5)时域离散信号和时域离散系统第1章 9．证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立： （1）x(n)*h(n)=h(n)*x(n) （2）x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n) （3）x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 证明：（1）因为令m′=n－m,则时域离散信号和时域离散系统第1章(2)利用上面已证明的结果，得到时域离散信号和时域离散系统第1章交换求和号的次序，得到时域离散信号和时域离散系统第1章 10．设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系统的输入x(n)是一些观测数据，设x(n)={x0,x1,x2,…,xk,…}，试利用递推法求系统的输出y(n)。递推时设系统初始状态为零状态。时域离散信号和时域离散系统第1章解：n=0时，n≥0n=1时，时域离散信号和时域离散系统第1章n=2时，最后得到11．设系统由下面差分方程描述：设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。时域离散信号和时域离散系统第1章解：令x(n)=δ(n),则n=0时，n=1时，时域离散信号和时域离散系统第1章n=2时，n=3时，归纳起来，结果为时域离散信号和时域离散系统第1章 12.设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=0，试分析该系统是否是线性非时变系统。 解：分析的
方法
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是让系统输入分别为δ(n)、δ(n－1)、δ(n)+δ(n－1)时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。 （1）令x(n)=δ(n),这时系统的输出用y1(n)表示。该情况在教材例1.4.1中已求出，系统的输出为 y1(n)=anu(n)时域离散信号和时域离散系统第1章 (2)令x(n)=δ(n－1)，这时系统的输出用y2(n)表示。n=0时，n=1时，n=2时，任意n时，时域离散信号和时域离散系统第1章最后得到 (3)令x(n)=δ(n)+δ(n－1),系统的输出用y3(n)表示。n=0时，n=1时，n=2时，时域离散信号和时域离散系统第1章n=3时，任意n时，最后得到时域离散信号和时域离散系统第1章由（1）和（2）得到 y1(n)=T［δ(n)］,y2(n)=T［δ(n－1)］ y1(n)=y2(n－1)因此可断言这是一个时不变系统。情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号，因此y3(n)=T［δ(n)+δ(n－1)］。观察y1(n)、y2(n)、y3(n)，得到y3(n)=y1(n)+y2(n)，因此该系统是线性系统。最后得到结论：用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n),0<a<1描写的系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。时域离散信号和时域离散系统第1章 13．有一连续信号xa(t)=cos(2πft+j)，式中，f=20Hz,j=π/2。 （1）求出xa(t)的周期； （2）用采样间隔T=0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号 的表达式； （3）画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。 解：（1）xa(t)的周期为时域离散信号和时域离散系统第1章（2） （3）x(n)的数字频率ω=0.8π，故 ，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)画出其波形如题13解图所示。时域离散信号和时域离散系统第1章题13解图时域离散信号和时域离散系统第1章14.已知滑动平均滤波器的差分方程为 （1）求出该滤波器的单位脉冲响应； （2）如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示，试求出y(n)并画出它的波形。 解：（1）将题中差分方程中的x(n)用δ(n)代替，得到该滤波器的单位脉冲响应，即时域离散信号和时域离散系统第1章（2）已知输入信号，用卷积法求输出。输出信号y(n)为表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。计算时，表中x(k)不动，h(k)反转后变成h(－k)，h(n－k)则随着n的加大向右滑动，每滑动一次，将h(n－k)和x(k)对应相乘，再相加和平均，得到相应的y(n)。“滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化，使波形变化缓慢。时域离散信号和时域离散系统第1章时域离散信号和时域离散系统第1章 15*.已知系统的差分方程和输入信号分别为用递推法计算系统的零状态响应。 解：求解程序ex115.m如下： %程序ex115.m %调用filter解差分方程y(n)+0.5y(n－1)=x(n)+2x(n－2) xn=［1，2，3，4，2，1，zeros(1，10)］； %x(n)=单位脉冲序列，长度N=31 B=［1，0，2］；A=［1，0.5］；%差分方程系数时域离散信号和时域离散系统第1章 yn=filter(B，A，xn) %调用filter解差分方程，求系统输 出信号y(n) n=0：length(yn)－1； subplot(3，2，1)；stem(n，yn，′.′)； axis(［1，15，－2，8］) title(′系统的零状态响应′)；xlabel(′n′)； ylabel(′y(n)′)程序运行结果：时域离散信号和时域离散系统第1章yn=[1.00001.50004.25005.87505.06256.46880.7656 1.6172-0.80860.4043-0.20210.1011-0.05050.0253-0.01260.0063-0.00320.0016-0.00080.0004-0.00020.0001-0.00000.0000-0.00000.0000]程序运行结果的y(n)波形图如题15*解图所示。时域离散信号和时域离散系统第1章题15*解图时域离散信号和时域离散系统第1章 16*.已知两个系统的差分方程分别为 （1）y(n)=0.6y(n－1)－0.08y(n－2)+x(n) （2）y(n)=0.7y(n－1)－0.1y(n－2)+2x(n)－x(n－2) 分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。 解：（1）系统差分方程的系数向量为 B1=1，A1=［1，－0.6，0.08］ （2）系统差分方程的系数向量为 B2=［2，0，－1］,A2=［1，－0.7，0.1］时域离散信号和系统的频域分析第２章 2.5 习题与上机题解答 1．设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： (1)x(n－n0)(2)x*(n) (3)x(－n)(4)x(n)*y(n) (5)x(n)y(n)(6)nx(n) (7)x(2n)(8)x2(n)(9)时域离散信号和系统的频域分析第２章解：（1）令n′=n－n0,即n=n′+n0，则（2）时域离散信号和系统的频域分析第２章（3）令n′=－n，则（4）FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω)下面证明上式成立：时域离散信号和系统的频域分析第２章令k=n－m,则时域离散信号和系统的频域分析第２章（5）时域离散信号和系统的频域分析第２章或者（6）因为对该式两边ω求导，得到时域离散信号和系统的频域分析第２章因此（7）令n′=2n，则时域离散信号和系统的频域分析第２章时域离散信号和系统的频域分析第２章或者（8）利用（5）题结果，令x(n)=y(n),则时域离散信号和系统的频域分析第２章（9）令n′=n/2，则2．已知≤求X(ejω)的傅里叶反变换x(n)。时域离散信号和系统的频域分析第２章解： 3.线性时不变系统的频率响应（频率响应
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）H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)，如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)=Acos(ω0n+j)的稳态响应为时域离散信号和系统的频域分析第２章 解：假设输入信号x(n)=ejω0n，系统单位脉冲响应为h(n)，则系统输出为上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位取决于网络传输函数。利用该性质解此题：时域离散信号和系统的频域分析第２章时域离散信号和系统的频域分析第２章 上式中|H(ejω)|是ω的偶函数，相位函数是ω的奇函数，|H(ejω)|=|H(e-jω)|，θ(ω)=－θ(－ω),故4．设时域离散信号和系统的频域分析第２章 将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列 ，画出x(n)和 的波形，求出 的离散傅里叶级数和傅里叶变换。 解：画出x(n)和 的波形如题4解图所示。时域离散信号和系统的频域分析第２章题4解图时域离散信号和系统的频域分析第２章或者时域离散信号和系统的频域分析第２章时域离散信号和系统的频域分析第２章 5.设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示，不直接求出X(ejω)，完成下列运算或工作：题5图时域离散信号和系统的频域分析第２章(1)(2)(3) (4)确定并画出傅里叶变换实部Re［X(ejω)］的时间序列xa(n)；(5)(6)时域离散信号和系统的频域分析第２章解 (1)(2)(3)（4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即时域离散信号和系统的频域分析第２章按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。题5解图时域离散信号和系统的频域分析第２章(5)(6)因为因此时域离散信号和系统的频域分析第２章 6．试求如下序列的傅里叶变换： (1)x1(n)=δ(n－3)(2) (3)x3(n)=anu(n) 0<a<1 (4)x4(n)=u(n+3)－u(n－4) 解(1)时域离散信号和系统的频域分析第２章(2)(3)时域离散信号和系统的频域分析第２章(4)时域离散信号和系统的频域分析第２章或者:时域离散信号和系统的频域分析第２章 7．设： （1）x(n)是实偶函数， （2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，其x(n)的傅里叶变换性质。 解：令 (1)因为x(n)是实偶函数，对上式两边取共轭，得到时域离散信号和系统的频域分析第２章因此X(ejω)=X*（e－jω）上式说明x(n)是实序列，X(ejω)具有共轭对称性质。由于x(n)是偶函数，x(n)sinω是奇函数，那么因此时域离散信号和系统的频域分析第２章该式说明X(ejω)是实函数，且是ω的偶函数。 总结以上,x(n)是实偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejω)是实函数，是ω的偶函数。 （2）x(n)是实奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejω)具有共轭对称性质，即 X(ejω)=X*(e－jω)时域离散信号和系统的频域分析第２章由于x(n)是奇函数，上式中x(n)cosω是奇函数，那么因此这说明X(ejω)是纯虚数，且是ω的奇函数。 8．设x(n)=R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。时域离散信号和系统的频域分析第２章 解：xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。题8解图时域离散信号和系统的频域分析第２章 9．已知x(n)=anu(n),0<a<1，分别求出其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)的傅里叶变换。 解：因为xe(n)的傅里叶变换对应X(ejω)的实部，xo(n)的傅里叶变换对应X(ejω)的虚部乘以j，因此时域离散信号和系统的频域分析第２章时域离散信号和系统的频域分析第２章 10．若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式： HR(ejω)=1+cosω求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。 解：时域离散信号和系统的频域分析第２章时域离散信号和系统的频域分析第２章 11．若序列h(n)是实因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部为 HI(ejω)=－sinω求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。 解：时域离散信号和系统的频域分析第２章时域离散信号和系统的频域分析第２章 12．设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n),0<a<1，输入序列为 x(n)=δ(n)+2δ(n－2)完成下面各题： (1)求出系统输出序列y(n)； (2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解 (1)时域离散信号和系统的频域分析第２章(2)时域离散信号和系统的频域分析第２章 13．已知xa(t)=2cos(2πf0t)，式中f0=100Hz，以采样频率fs=400Hz对xa(t)进行采样，得到采样信号 和时域离散信号x(n)，试完成下面各题： （1）写出 的傅里叶变换表示式Xa(jΩ)； （2）写出 和x(n)的表达式； （3）分别求出 的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解：时域离散信号和系统的频域分析第２章 上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成：（2）时域离散信号和系统的频域分析第２章（3）式中时域离散信号和系统的频域分析第２章式中 ω0=Ω0T=0.5πrad 上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数δ函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 14．求出以下序列的Z变换及收敛域: (1)2－nu(n) (2)－2－nu(－n－1) (3)2－nu(－n) (4)δ(n) (5)δ(n－1) (6)2－n［u(n)－u(n－10)］时域离散信号和系统的频域分析第２章解 (1)(2)时域离散信号和系统的频域分析第２章(3) (4)ZT［δ(n)］=10≤|z|≤∞ (5)ZT［δ(n－1)］=z－10<|z|≤∞ (6)≤时域离散信号和系统的频域分析第２章 15．求以下序列的Z变换及其收敛域，并在z平面上画出极零点分布图。 (1)x(n)=RN(n) N=4 (2)x(n)=Arncos(ω0n+j)u(n)r=0.9,ω0=0.5πrad,j=0.25πrad (3)≤≤≤≤式中，N=4。时域离散信号和系统的频域分析第２章解 (1)由z4－1=0，得零点为由z3(z－1)=0，得极点为z1,2=0,1零极点图和收敛域如题15解图(a)所示，图中,z=1处的零极点相互对消。时域离散信号和系统的频域分析第２章题15解图时域离散信号和系统的频域分析第２章(2) 时域离散信号和系统的频域分析第２章零点为极点为 极零点分布图如题15解图(b)所示。 (3) 令y(n)=R4(n),则 x(n+1)=y(n)*y(n) zX(z)=［Y(z)］2,X(z)=z－1［Y(z)］2时域离散信号和系统的频域分析第２章因为因此 极点为 z1=0,z2=1 零点为 在z=1处的极零点相互对消，收敛域为0<|z|≤∞，极零点分布图如题15解图(c)所示。时域离散信号和系统的频域分析第２章16．已知求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解：X(z)有两个极点：z1=0.5,z2=2，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：|z|<0.5，0.5<|z|<2，2<|z|。三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）收敛域|z|<0.5：时域离散信号和系统的频域分析第２章令 n≥0时，因为c内无极点，x(n)=0; n≤－1时，c内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么时域离散信号和系统的频域分析第２章 (2) 收敛域0.5<|z|<2:时域离散信号和系统的频域分析第２章n≥0时，c内有极点0.5， n<0时，c内有极点0.5、0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2， x(n)=－Res［F(z),2］=－2·2nu(－n－1)最后得到时域离散信号和系统的频域分析第２章（3）收敛域|z|<2:n≥0时，c内有极点0.5、2， n<0时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0；或者这样分析，c内有极点0.5、2、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。时域离散信号和系统的频域分析第２章最后得到 17．已知x(n)=anu(n),0<a<1。分别求： (1)x(n)的Z变换； (2)nx(n)的Z变换； (3)a－nu(－n)的Z变换。 解：(1)时域离散信号和系统的频域分析第２章(2)(3)18．已知分别求： （1）收敛域0.5<|z|<2对应的原序列x(n)； （2）收敛域|z|>2对应的原序列x(n)。时域离散信号和系统的频域分析第２章解： （1）收敛域0.5<|z|<2: n≥0时，c内有极点0.5， x(n)=Res［F(z),0.5］=0.5n=2－nn<0时，c内有极点0.5、0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有2， x(n)=－Res［F(z),2］=2n时域离散信号和系统的频域分析第２章最后得到x(n)=2－nu(n)+2nu(－n－1)=2－|n| ∞<n<－∞ (2)收敛域|z|>2: n≥0时，c内有极点0.5、2，时域离散信号和系统的频域分析第２章 n<0时，c内有极点0.5、2、0，但极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，可是c外没有极点，因此 x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n－2n)u(n) 19．用部分分式法求以下X(z)的反变换：(1)时域离散信号和系统的频域分析第２章(2)解：(1)时域离散信号和系统的频域分析第２章时域离散信号和系统的频域分析第２章(2)时域离散信号和系统的频域分析第２章20．设确定性序列x(n)的自相关函数用下式表示：试用x(n)的Z变换X(z)和x(n)的傅里叶变换X(ejω)分别表示自相关函数的Z变换Rxx(z)和傅里叶变换Rxx(ejω)。时域离散信号和系统的频域分析第２章解：解法一令m′=n+m,则时域离散信号和系统的频域分析第２章解法二因为x(n)是实序列，X(e－jω)=X*(ejω)，因此时域离散信号和系统的频域分析第２章 21．用Z变换法解下列差分方程： (1)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(n)=0n≤－1 (2)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(－1)=1，y(n)=0 n<－1 (3)y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n)y(－1)=0.2,y(－2)=0.5,y(n)=0,当n≤－3时。 解： (1)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n)，y(n)=0 n≤－1时域离散信号和系统的频域分析第２章n≥0时，n<0时，y(n)=0最后得到y(n)=［－0.5·(0.9)n+1+0.5］u(n)时域离散信号和系统的频域分析第２章 (2)y(n)－0.9y(n－1)=0.05u(n),y(－1)=1,y(n)=0n<－1时域离散信号和系统的频域分析第２章n≥0时，n<0时，y(n)=0最后得到y(n)=［0.45(0.9)n+0.5］u(n)时域离散信号和系统的频域分析第２章 (3)y(n)－0.8y(n－1)－0.15y(n－2)=δ(n) y(－1)=0.2,y(－2)=0.5,y(n)=0,当n<－2时Y(z)－0.8z－1［Y(z)+y(－1)z］－0.15z－2［Y(z)+y(－1)z+y(－2)z2］=1时域离散信号和系统的频域分析第２章n≥0时，y(n)=－4.365·0.3n+6.375·0.5nn<0时,y(n)=0最后得到y(n)=(－4.365·0.3n+6.375·0.5n)u(n)时域离散信号和系统的频域分析第２章22．设线性时不变系统的系统函数H(z)为 （1）在z平面上用几何法证明该系统是全通网络，即|H(ejω)|=常数； （2）参数a如何取值，才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。 解：(1)时域离散信号和系统的频域分析第２章极点为a,零点为a－1。 设a=0.6，极零点分布图如题22解图(a)所示。我们知道|H(ejω)|等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度，按照题22解图(a)，得到因为角ω公用，，且△AOB~△AOC，故，即时域离散信号和系统的频域分析第２章故H(z)是一个全通网络。 或者按照余弦定理证明:时域离散信号和系统的频域分析第２章题22解图时域离散信号和系统的频域分析第２章 （2）只有选择|a|<1才能使系统因果稳定。设a=0.6，极零点分布图及收敛域如题22解图(b)所示。 23．设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) （1）求系统的系统函数H(z)，并画出极零点分布图； （2）限定系统是因果的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)； （3）限定系统是稳定性的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。 解： （1）y(n)=y(n－1)+y(n－2)+x(n－1) 将上式进行Z变换，得到 Y(z)=Y(z)z－1+Y(z)z－2+X(z)z－1时域离散信号和系统的频域分析第２章因此零点为z=0。令z2－z－1=0，求出极点：极零点分布图如题23解图所示。时域离散信号和系统的频域分析第２章题23解图时域离散信号和系统的频域分析第２章 (2)由于限定系统是因果的，收敛域需选包含∞点在内的收敛域，即 。求系统的单位脉冲响应可以用两种方法，一种是令输入等于单位脉冲序列，通过解差分方程，其零状态输入解便是系统的单位脉冲响应；另一种方法是求H(z)的逆Z变换。我们采用第二种方法。式中时域离散信号和系统的频域分析第２章，令时域离散信号和系统的频域分析第２章n≥0时，h(n)=Res［F(z),z1］+Res［F(z),z2］因为h(n)是因果序列,n<0时，h(n)=0，故时域离散信号和系统的频域分析第２章 (3)由于限定系统是稳定的，收敛域需选包含单位圆在内的收敛域，即|z2|<|z|<|z1|,n≥0时，c内只有极点z2，只需求z2点的留数，时域离散信号和系统的频域分析第２章 n<0时，c内只有两个极点：z2和z=0，因为z=0是一个n阶极点，改成求圆外极点留数，圆外极点只有一个，即z1,那么最后得到时域离散信号和系统的频域分析第２章 24．已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1) （1）求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)； （2）写出网络频率响应函数H(ejω)的表达式，并定性画出其幅频特性曲线； （3）设输入x(n)=ejω0n，求输出y(n)。 解： （1）y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1) Y(z)=0.9Y(z)z－1+X(z)+0.9X(z)z－1时域离散信号和系统的频域分析第２章令n≥1时，c内有极点0.9，时域离散信号和系统的频域分析第２章n=0时，c内有极点0.9，0，最后得到 h(n)=2·0.9nu(n－1)+δ(n)时域离散信号和系统的频域分析第２章（2） 极点为z1=0.9,零点为z2=－0.9。极零点图如题24解图(a)所示。按照极零点图定性画出的幅度特性如题24解图(b)所示。 （3）时域离散信号和系统的频域分析第２章题24解图时域离散信号和系统的频域分析第２章 25．已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n)0<a<1,0<b<1 （1）试用卷积法求网络输出y(n)； （2）试用ZT法求网络输出y(n)。 解：（1）用卷积法求y(n)。n≥0时，时域离散信号和系统的频域分析第２章 n<0时， y(n)=0最后得到（2）用ZT法求y(n)。，时域离散信号和系统的频域分析第２章令n≥0时，c内有极点：a、b,因此时域离散信号和系统的频域分析第２章 因为系统是因果系统,所以n<0时，y(n)=0。最后得到 26．线性因果系统用下面差分方程描述： y(n)－2ry(n－1)cosθ+r2y(n－2)=x(n)式中，x(n)=anu(n),0<a<1,0<r<1,θ=常数，试求系统的响应y(n)。 解：将题中给出的差分方程进行Z变换，时域离散信号和系统的频域分析第２章式中， 因为是因果系统，收敛域为|z|>max(r,|a|)，且n<0时，y(n)=0，故时域离散信号和系统的频域分析第２章c包含三个极点，即a、z1、z2。时域离散信号和系统的频域分析第２章时域离散信号和系统的频域分析第２章 27．如果x1(n)和x2(n)是两个不同的因果稳定实序列，求证：式中，X1(ejω)和X2(ejω)分别表示x1(n)和x2(n)的傅里叶变换。 解：FT［x1(n)*x2(n)］=X1(ejω)X2(ejω)进行IFT，得到时域离散信号和系统的频域分析第２章令n=0,则由于x1(n)和x2(n)是实稳定因果序列，因此(1)(2)时域离散信号和系统的频域分析第２章(3)由（1）、（2）、（3）式，得到 28．若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。时域离散信号和系统的频域分析第２章解：求上式的Z的反变换，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)为时域离散信号和系统的频域分析第２章 因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：a<|z|<a－1。 n≥1时，c内有极点：a，时域离散信号和系统的频域分析第２章n=0时，c内有极点：a、0，时域离散信号和系统的频域分析第２章因为he(n)=he(－n)，所以时域离散信号和系统的频域分析第２章 29．若序列h(n)是因果序列，h(0)=1，其傅里叶变换的虚部为求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。解：时域离散信号和系统的频域分析第２章令z=ejω,有jHI(ejω)对应h(n)的共轭反对称序列ho(n)，因此jHI(z)的反变换就是ho(n),因为h(n)是因果序列，ho(n)是双边序列，收敛域取:a<|z|<a－1。时域离散信号和系统的频域分析第２章n≥1时，c内有极点：a,n=0时，c内有极点：a、0，时域离散信号和系统的频域分析第２章因为hI(n)=－h(－n),所以时域离散信号和系统的频域分析第２章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 教材第3章习题与上机题解答 1．计算以下序列的N点DFT，在变换区间0≤n≤N－1内，序列定义为 (1)x(n)=1 (2)x(n)=δ(n) (3)x(n)=δ(n－n0)0<n0<N (4)x(n)=Rm(n)0<m<N (5) (6) 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 (7)x(n)=ejω0nRN(n) (8)x(n)=sin(ω0n)RN(n) (9)x(n)=cos(ω0n)RN(N) (10)x(n)=nRN(n) 解：(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章（2）（3）(4)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章(5)0≤k≤N－1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章(6)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章0≤k≤N－1(7)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章或（8）解法一直接计算：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解法二由DFT的共轭对称性求解。 因为所以所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章即 结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。 (9)解法一直接计算:离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解法二由DFT共轭对称性可得同样结果。 因为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章（10）解法一上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为x(n)=nRN(n)，所以x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n)等式两边进行DFT，得到X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章故当k=0时，可直接计算得出X(0)为这样，X(k)可写成如下形式：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章解法二k=0时，k≠0时，离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章所以，，即 2．已知下列X(k)，求x(n)=IDFT［X(k)］(1)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章(2)其中，m为正整数，0<m<N/2,N为变换区间长度。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章解:（1）n=0,1,…,N－1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章(2)n=0,1,…,N－1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 3．已知长度为N=10的两个有限长序列：≤≤≤≤≤≤≤≤做图表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)，循环卷积区间长度L=10。 解:x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章题3解图离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 4．证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］，证明 DFT［X(n)］=Nx(N－k)证：因为所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章由于≤≤所以DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0,1,…,N－15．如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理证:由IDFT定义式离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章可知 6．设x(n)的长度为N，且 X(k)=DFT［x(n)］0≤k≤N－1令 h(n)=x((n))NRmN(n)m为自然数 H(k)=DFT［h(n)］mN0≤k≤mN－1求H(k)与X(k)的关系式。 解:H(k)=DFT［h(n)］0≤k≤mN－1 令n=n′+lN,l=0,1,…,m－1,n′=0,1,…,N－1,则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章因为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章所以 7．证明:若x(n)为实序列，X(k)=DFT［x(n)］N，则X(k)为共轭对称序列，即X(k)=X*（N－k)；若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N－n)，则X(k)也实偶对称；若x(n)实奇对称，即x(n)=－x(N－n)，则X(k)为纯虚函数并奇对称。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 证:(1)由教材(3.2.17)~(3.2.20)式知道，如果将x(n)表示为 x(n)=xr(n)+jxi(n)则 X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)其中，Xep(k)=DFT［xr(n)］，是X(k)的共轭对称分量；Xop(k)=DFT［jxi(n)］,是X(k)的共轭反对称分量。所以，如果x(n)为实序列，则Xop(k)=DFT［jxi(n)］=0，故X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)，即X(k)=X*(N－k)。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章（2）由DFT的共轭对称性可知，如果 x(n)=xep(n)+xop(n)且 X(k)=Re［X(k)］+jIm［X(k)］则 Re［X(k)］=DFT［xep(n)］,jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］所以，当x(n)=x(N－n)时，等价于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以X(k)只有实部，即X(k)为实函数。又由（1）证明结果知道，实序列的DFT必然为共轭对称函数，即X(k)=X*(N－k)=X(N－k)，所以X(k)实偶对称。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 同理，当x(n)=－x(N－n)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),为纯虚奇函数。 8．证明频域循环移位性质：设X(k)=DFT［x(n)］，Y(k)=DFT［y(n)］，如果Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章证：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章令m=k+l,则9．已知x(n)长度为N，X(k)=DFT［x(n)］，≤≤≤≤离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章≤≤求Y(k)与X(k)的关系式。 解:离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 10．证明离散相关定理。若 X(k)=X1*(k)Ｘ2(k)则证：根据DFT的惟一性，只要证明即可。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章令m=l+n，则所以≤≤离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章当然也可以直接计算X(k)=X1*(k)X2(k)的IDFT。0≤n≤N－1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章由于0≤n≤N－1所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 11．证明离散帕塞瓦尔定理。若X(k)=DFT［x(n)］，则证：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 12．已知f(n)=x(n)+jy(n)，x(n)与y(n)均为长度为N的实序列。设 F(k)=DFT［f(n)］N0≤k≤N－1(1) (2) F(k)=1+jN试求X(k)=DFT［x(n)］N，Y(k)=DFT［y(n)］N以及x(n)和y(n)。 解:由DFT的共轭对称性可知 x(n) X(k)=Fep(k) jy(n) jY(k)=Fop(k)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章方法一（1）离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章0≤n≤N－1由于0≤n,m≤N－1离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章所以x(n)=an0≤n≤N－1同理y(n)=bn0≤n≤N－1（2）F(k)=1+jN，离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章方法二令只要证明A(k)为共轭对称的，B(k)为共轭反对称，则就会有A(k)=Fep(k)=X(k),B(k)=Fop(k)=jY(k)因为，共轭对称离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章，共轭反对称所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章由方法一知x(n)=IDFT［X(k)］=anRN(n) y(n)=IDFT［Y(k)］=bnRN(n)13．已知序列x(n)=anu(n)，0<a<1,对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N点，采样序列为求有限长序列IDFT［X(k)］N。 解:我们知道，,是以2π为周期的周期函数，所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章① 以N为周期，将 看作一周期序列 的DFS系数，则②由式①知 为③离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章将式③代入式②得到由于所以离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章由题意知所以根据有关X(k)与xN(n)的周期延拓序列的DFS系数的关系有离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章由于0≤n≤N－1，所以≥≥因此说明：平时解题时，本题推导离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章的过程可省去，直接引用频域采样理论给出的结论（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。 14．两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0n<0,8≤n y(n)=0n<0,20≤n对每个序列作20点DFT，即 X(k)=DFT［x(n)］k=0,1,…,19 Y(k)=DFT［y(n)］k=0,1,…,19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等,为什么？离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解:如前所述，记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n)20y(n)。fl(n)长度为27，f(n)长度为20。由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)=fl(n),所以f(n)=fl(n)=x(n)*y(n)7≤n≤19离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 15．已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25,0.125-j0.3018,0,0.125-j0.0518,0。 （1）求X(k)的其余3点的值；（2）求X1(k)=DFT［x1(n)］8；（3），求。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解：（1）因为x(n)是实序列，由第7题证明结果有X(k)=X*(N－k)，即X(N－k)=X*(k),所以，X（k）的其余3点值为 {X(5),X(6),X(7)}={0.125+j0.0518,0,0.125+j0.3018（2）根据DFT的时域循环移位性质，(3)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 16．x(n)、x1(n)和x2(n)分别如题16图(a)、(b)和(c)所示，已知X(k)=DFT［x(n)］8。求和［注:用X(k)表示X1(k)和X2(k)。］ 解：因为x1(n)=x((n+3))8R8(n),x2(n)=x((n－2))8R8(n)，所以根据DFT的时域循环移位性质得到离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 17．设x(n)是长度为N的因果序列，且试确定Y(k)与X(ejω)的关系式。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解：y(n)是x(n)以M为周期的周期延拓序列的主值序列，根据频域采样理论得到 18．用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F≤50Hz，信号最高频率为1kHz，试确定以下各参数： (1)最小
记录
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时间Tpmin； (2)最大取样间隔Tmax； (3)最少采样点数Nmin； (4)在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解:（1）已知F=50Hz，因而（2）（3）离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大1倍，即为0.04s，实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。 19．已知调幅信号的载波频率fc=1kHz，调制信号频率fm=100Hz，用FFT对其进行谱分析，试求： (1)最小记录时间Tpmin; (2)最低采样频率fsmin; (3)最少采样点数Nmin。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解：调制信号为单一频率正弦波时，已调AM信号为 x(t)=cos(2πfct+jc)［1+cos(2πfmt+jm)］所以，已调AM信号x(t)只有3个频率：fc、fc+fm、fc－fm。x(t)的最高频率fmax=1.1kHz，频率分辨率F≤100Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/F=整数，以便能采样到这三个频率成分）。故(1)(2)离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章(3) （注意，对窄带已调信号可以采用亚奈奎斯特采样速率采样，压缩码率。而在本题的解答中，我们仅按基带信号的采样定理来求解。） 20．在下列说法中选择正确的结论。线性调频Z变换可以用来计算一个有限长序列h(n)在z平面实轴上诸点{zk}的Z变换H(zk)，使离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章(1)zk=ak,k=0,1,…,N－1,a为实数， a≠1; (2)zk=ak,k=0,1,…,N－1,a为实数，a≠1; (3)(1)和(2)都不行，即线性调频Z变换不能计算H(z)在z平面实轴上的取样值。 解：在chirp-Z变换中，在z平面上分析的N点为 zk=AW－kk=0,1,…,N－1其中所以 当A0=1,ω0=0,W0=a－1,j=0时， zk=ak故说法（1）正确,说法（2）、（3）不正确。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 21．我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT(即FFT)来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点)，但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点(本题取L=128)循环卷积，得到输出序列ym(n)，m表示第m段循环卷积计算输出。最后，从ym(n)中选取B个样值，使每段选取的B个样值连接得到滤波输出y(n)。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 (1)求V； (2)求B； (3)确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些样点。 解:为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为n=0,1,2,…,127。 先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)分析问题，因为当h(n)的50个样值点完全与第m段输入序列xm(n)重叠后，ylm(n)才与真正的滤波输出y(n)相等，所以，ylm(n)中第0点到第48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的第m段，即B=51。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连接,得到不间断又无多余点的y(n)，必须重叠100－51=49个点，即V=49。 下面说明，对128点的循环卷积ym(n)，上述结果也是正确的。我们知道因为ylm(n)长度为N+M－1=50+100－1=149离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章所以n从21到127区域无时域混叠，ym(n)=ylm(n)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的51点为从第49点到第99点的ym(n)。 综上所述，总结所得结论： V=49, B=51选取ym(n)中第49～99点作为滤波输出。 读者可以通过作图来理解重叠保留法的原理和本题的解答。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 22．证明DFT的频域循环卷积定理。 证：DFT的频域循环卷积定理重写如下: 设h(n)和x(n)的长度分别为N和M， ym(n)=h(n)x(n) H(k)=DFT［h(n)］L,X(k)=DFT［X(n)］L则LX(k)其中，L≥max［N，M］。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 根据DFT的惟一性，只要证明ym(n)=IDFT［Ym(k)］=h(n)x(n)，就证明了DFT的频域循环卷积定理。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 教材第4章习题与上机题解答 快速傅里叶变换（FFT）是DFT的快速算法，没有新的物理概念。FFT的基本思想和方法教材中都有详细的叙述，所以只给出教材第4章的习题与上机题解答。 1．如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4μs，每次复数加需要1μs，用来计算N=1024点DFT，问直接计算需要多少时间。用FFT计算呢？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估计可实现实时处理的信号最高频率。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解:当N=1024=210时，直接计算DFT的复数乘法运算次数为 N2=1024×1024=1048576次复数加法运算次数为 N（N－1）=1024×1023=1047552次直接计算所用计算时间TD为 TD=4×10－6×10242+1047552×10－6=5.241856s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 快速卷积时，需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)=DFT［h(n)］已计算好存入内存）、N次频域复数乘法和一次N点IFFT。所以，计算1024点快速卷积的计算时间Tc约为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章所以，每秒钟处理的采样点数（即采样速率）由采样定理知，可实时处理的信号最高频率为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 应当说明，实际实现时，fmax还要小一些。这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率，而且在采用重叠相加法时，重叠部分要计算两次。重叠部分长度与h(n)长度有关，而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。 2．如果将通用单片机换成数字信号处理专用单片机TMS320系列，计算复数乘和复数加各需要10ns。请重复做上题。 解:与第1题同理。 直接计算1024点DFT所需计算时间TD为TD=10×10－9×10242+10×10－9×1047552=20.96128ms离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为快速卷积计算时间Tc约为离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章可实时处理的信号最高频率fmax为≤··由此可见，用DSP专用单片机可大大提高信号处理速度。所以，DSP在数字信号处理领域得到广泛应用。机器周期小于1ns的DSP产品已上市，其处理速度更高。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 3．已知X(k)和Y(k)是两个N点实序列x(n)和y(n)的DFT，希望从X(k)和Y(k)求x(n)和y(n)，为提高运算效率，试
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
用一次N点IFFT来完成的算法。 解:因为x(n)和y(n)均为实序列，所以，X(k)和Y(n)为共轭对称序列，jY(k)为共轭反对称序列。可令X(k)和jY(k)分别作为复序列F(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量，即 F(k)=X(k)+jY(k)=Fep(k)+Fop(k)计算一次N点IFFT得到 f(n)=IFFT［F(k)］=Re［f(n)］+jIm［f(n)］离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章由DFT的共轭对称性可知 Re［f(n)］=IDFT［Fep(k)］=IDFT［X(k)］=x(n) jIm［f(n)］=IDFT［Fop(k)］=IDFT［jY(k)］=jy(n)故 4．设x(n)是长度为2N的有限长实序列，X(k)为x(n)的2N点DFT。 (1)试设计用一次N点FFT完成计算X(k)的高效算法。 (2)若已知X(k)，试设计用一次N点IFFT实现求X(k)的2N点IDFT运算。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 解:本题的解题思路就是DIT-FFT思想。 （1）在时域分别抽取偶数和奇数点x(n)，得到两个N点实序列x1(n)和x2(n)： x1(n)=x(2n) n=0,1,…,N－1 x2(n)=x(2n+1)n=0,1,…,N－1 根据DIT-FFT的思想，只要求得x1(n)和x2(n)的N点DFT，再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N点DFT。因为x1(n)和x2(n)均为实序列，所以根据DFT的共轭对称性，可用一次N点FFT求得X1(k)和X2(k)。具体方法如下：离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章令 y(n)=x1(n)+jx2(n) Y(k)=DFT［y(n)］k=0,1,…,N－1则2N点DFT［x（n）］=X（k）可由X1(k)和X2(k)得到离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 这样，通过一次N点IFFT计算就完成了计算2N点DFT。当然还要进行由Y(k)求X1(k)、X2(k)和X(k)的运算(运算量相对很少)。 （2）与（1）相同，设 x1(n)=x(2n) n=0,1,…,N－1 x2(n)=x(2n+1) n=0,1,…,N－1 X1(k)=DFT［x1(n)］k=0,1,…,N－1 X2(k)=DFT［x2(n)］k=0,1,…,N－1则应满足关系式离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章由上式可解出由以上分析可得出运算过程如下： ①由X(k)计算出X1(k)和X2(k):离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 ②由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列Y(k): Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)其中，Yep(k)=X1(k),Yop(k)=jX2(k)，进行N点IFFT，得到y(n)=IFFT［Y(k)］=Re［y(n)］+jIm［y(n)］n=0,1,…,N－1由DFT的共轭对称性知离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 ③由x1(n)和x2(n)合成x(n):，0≤n≤2N－1在编程序实现时，只要将存放x1(n)和x2(n)的两个数组的元素分别依次放入存放x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可。离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)第３章 5．分别画出16点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图，并计算其复数乘次数，如果考虑三类碟形的乘法计算， 试计算复乘次数。 解：本题比较简单，仿照教材中的8点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图很容易画出16点基2DIT-FFT和DIF-FFT运算流图。但画图占篇幅较大，这里省略本题解答，请读者自己完成。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章教材第5章习题与上机题解答 1.已知系统用下面差分方程描述:试分别画出系统的直接型、级联型和并联型结构。式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章解：将原式移项得将上式进行Z变换，得到时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 (1)按照系统函数H(z)，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。题1解图（一）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章(2)将H(z)的分母进行因式分解：按照上式可以有两种级联型结构:①时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。②画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题1解图（二）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 (3)将H(z)进行部分分式展开：时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。题1解图（三）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 2．设数字滤波器的差分方程为试画出系统的直接型结构。 解：由差分方程得到滤波器的系统函数为画出其直接型结构如题2解图所示。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题2解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 3.设系统的差分方程为 y(n)=(a+b)y(n－1)－aby(n－2)+x(n－2)+(a+b)x(n－1)+ab式中,|a|<1，|b|<1,x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号,试画出系统的直接型和级联型结构。 解：(1) 直接型结构。将差分方程进行Z变换，得到 Y(z)=(a+b)Y(z)z－1－abY(z)z－2+X(z)z－2－(a+b)X(z)z－1+ab按照Masson公式画出直接型结构如题3解图（一）所示。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题3解图（一）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 (2)级联型结构。将H(z)的分子和分母进行因式分解，得到按照上式可以有两种级联型结构: ①，画出级联型结构如题3解图（二）(a)所示。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章②，画出级联型结构如题3解图（二）(b)所示。题3解图（二）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 4.设系统的系统函数为试画出各种可能的级联型结构，并指出哪一种最好。 解：由于系统函数的分子和分母各有两个因式，因而可以有两种级联型结构。 H(z)=H1(z)H2(z)①，时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章画出级联型结构如题4解图(a)所示。 ②，画出级联型结构如题4解图（b）所示。 第一种级联型结构最好，因为用的延时器少。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题4解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 5．题5图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。 解：(1)h(n)=h1(n)*h2(n)*h3(n),H(z)=H1(z)H2(z)H3(z) (2)h(n)=h1(n)+h2(n)+h3(n),H(z)=H1(z)+H2(z)+H3(z) (3)h(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n),H(z)=H1(z)·H2(z)+H3(z) (4)h(n)=h1(n)*［h2(n)+h3(n)*h4(n)］+h5(n) =h1(n)*h2(n)+h1(n)*h3(n)*h4(n)+h5(n) H(z)=H1(z)H2(z)+H1(z)H3(z)H4(z)+H5(z)时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题5图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 6．题6图中画出了10种不同的流图，试分别写出它们的系统函数及差分方程。解：图(a)图（b）图（c）H(z)=a+bz－1+cz－2图（d）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章图（e）图（f）图（g）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章图（h）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章图（i）图（j）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题6图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 7.假设滤波器的单位脉冲响应为 h(n)=anu(n)0＜a＜1求出滤波器的系统函数，并画出它的直接型结构。 解：滤波器的系统函数为系统的直接型结构如题7解图所示。题7解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 8.已知系统的单位脉冲响应为h(n)=δ(n)+2δ(n－1)+0.3δ(n－2)+2.5δ(n－3)+0.5δ(n－5)试写出系统的系统函数，并画出它的直接型结构。 解：将h(n)进行Z变换，得到它的系统函数 H(z)=1+2z－1+0.3z－2+2.5z－3+0.5z－5画出它的直接型结构如题8解图所示。题8解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 9.已知FIR滤波器的系统函数为试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构。 解：画出滤波器的直接型结构、线性相位结构分别如题9解图(a)、(b)所示。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题9解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 10．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为: (1)N=6 h(0)=h(5)=15h(1)=h(4)=2h(2)=h(3)=3(2)N=7h(0)=h(6)=3h(1)=－h(5)=－2h(2)=－h(4)=1h(3)=0试画出它们的线性相位型结构图，并分别说明它们的幅度特性、相位特性各有什么特点。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 解：分别画出（1）、（2）的结构图如题10解图（一）、（二）所示。 （1）属第一类N为偶数的线性相位滤波器，幅度特性关于ω=0,π,2π偶对称，相位特性为线性、奇对称。 （2）属第二类N为奇数的线性相位滤波器，幅度特性关于ω=0,π,2π奇对称，相位特性具有线性且有固定的π/2相移。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题10解图（一）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题10解图（二）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 11．已知FIR滤波器的16个频率采样值为：H(0)=12，H(3)~H(13)=0H(1)=－3－j ， H(14)=1－jH(2)=1+j， H(15)=－3+j 试画出其频率采样结构，选择r=1，可以用复数乘法器。 解：N=16画出其结构图如题11解图所示。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题11解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 12.已知FIR滤波器系统函数在单位圆上16个等间隔采样点为: H(0)=12，H(3)~H(13)=0 H(1)=－3－j ， H(14)=1－j H(2)=1+j， H(15)=－3+j 试画出它的频率采样结构,取修正半径r=0.9,要求用实数乘法器。 解：将上式中互为复共轭的并联支路合并，得到时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章·时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章画出其结构图如题12解图所示。题12解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 13．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为 h(n)=δ(n)－δ(n－1)+δ(n－4)试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。 解：已知频率采样结构的公式为时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章式中它的频率采样结构如题13解图所示。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题13解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 14.令： H1(z)=1－0.6z－1－1.414z－2+0.864z－3 H2(z)=1－0.98z－1+0.9z－2－0.898z－3 H3(z)=H1(z)/H2(z)分别画出它们的直接型结构。 解：H1(z)、H2(z)和H3(z)直接型结构分别如题14解图(a)、(b)、(c)所示。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题14解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 15．写出题15图中系统的系统函数和单位脉冲响应。题15图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章解：取收敛域：|z|>1/2，对上式进行逆Z变换，得到时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 16.画出题15图中系统的转置结构，并验证两者具有相同的系统函数。 解：按照题15图，将支路方向翻转，维持支路增益不变，并交换输入输出的位置，则形成对应的转置结构，画出题15图系统的转置结构如题16解图所示。 将题16解图和题15图对照，它们的直通通路和反馈回路情况完全一样，写出它们的系统函数完全一样，这里用Masson公式最能说明问题。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题16解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题17图 17.用b1和b2确定a1、a2、c1和c0，使题17图中的两个系统等效。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 解：题17图（a）的系统函数为①题16图（b）的系统函数为②对比式①和式②，当两个系统等效时，系数关系为 a1=b1,a2=b2 c0=2,c1=－(b1+b2)时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 18.对于题18图中的系统，要求： （1） 确定它的系统函数； （2） 如果系统参数为 ①b0=b2=1,b1=2,a1=1.5,a2=－0.9 ②b0=b2=1,b1=2,a1=1,a2=－2 画出系统的零极点分布图，并检验系统的稳定性。 解：（1）时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章（2）①b0=b2=1,b1=2,a1=1.5,a2=－0.9零点为z=－1(二阶)，极点为p1,2=0.75±0.58j,|p1,2|=0.773极零点分布如题18解图(a)所示。由于极点的模小于1，可知系统稳定。时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题18图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章题18解图时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现第4章 ②b0=b2=1,b1=2,a1=1,a2=－2零点为z=－1(二阶)，极点为p1,2=0.5±1.323j,|p1,2|=1.414极零点分布如题18解图(b)所示。这里极点的模大于1，或者说极点在单位圆外，如果系统因果可实现，收敛域为|z|>1.414，收敛域并不包含单位圆，因此系统不稳定。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计习题解答 1．设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp=6kHz，通带最大衰减ap=3dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减as=25dB。求出滤波器归一化系统函数G(p)以及实际滤波器的Ha(s)。 解:（1）求阶数N。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章将ksp和λsp值代入N的计算公式,得所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化）。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 （2）求归一化系统函数G(p)。由阶数N=5直接查教材第157页表6.2.1,得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数G(p)为或当然，也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为最后代入pk值并进行分母展开，便可得到与查表相同的结果。 （3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 由于本题中ap=3dB，即Ωc=Ωp=2π×6×103rad/s，因此对分母因式形式，则有无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 如上结果中，Ωc的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。 2．设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.2dB，阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减αs=50dB。求出滤波器归一化系统函数G(p)和实际的Ha(s)。 解:（1）确定滤波器技术指标。 αp=0.2dB,Ωp=2πfp=6π×103rad/s αs=50dB, Ωs=2πfs=24π×103rad/s λp=1,无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (4)求阶数N和ε。为了满足指标要求，取N=4。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (3)求归一化系统函数G(p)其中，极点pk由教材（6.2.46）式求出如下：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (4)将G(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s)：其中，sk=Ωppk=6π×103pk,k=1,2,3,4。因为p4=p1*,p3=p2*,所以，s4=s1*,s3=s2*。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章也可得到分母多项式形式，请读者自己计算。 3．设计一个巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率fp=20kHz，阻带截止频率fs=10kHz，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减as=15dB。求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 解:(1)确定高通滤波器技术指标要求： p=20kHz,ap=3dB fs=10kHz,as=15dB(2)求相应的归一化低通滤波器技术指标要求：套用图5.1.5中高通到低通频率转换公式②，λp=1,λs=Ωp/Ωs，得到λp=1,ap=3dBas=15dB无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (3)设计相应的归一化低通G(p)。题目要求采用巴特沃斯类型，故无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章所以，取N=3，查教材中表6.2.1，得到三阶巴特沃斯归一化低通G(p)为 (4)频率变换。将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)：式中 Ωc=2πfc=2π×20×103=4π×104rad/s无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 4.已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下：(1)(2)式中a、b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器H(z)。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 解:该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式。设采样周期为T。(1)Ha(s)的极点为 s1=－a+jb,s2=－a－jb将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章比较分子各项系数可知，A1、A2应满足方程：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章解之得，A1=1/2，A2=1/2，所以套用教材（6.3.4）式，得到按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本节结构来实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章这样，如果遇到将用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章(2)Ha(s)的极点为s1=－a+jb,s2=－a－jb将Ha(s)部分分式展开：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章套用教材（6.3.4）式，得到通分并化简整理，得到无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 5．已知模拟滤波器的系统函数如下：(1)(2)试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。设T=2s。 解:Ⅰ.用脉冲响应不变法(1)无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章方法一直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章将T=2代入上式，得 方法二直接套用4题（2）所得公式。为了套用公式，先对Ha(s)的分母配方，将Ha(s)化成4题中的标准形式：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章c为一常数由于所以无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章对比可知， ，套用公式，得(2)无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章或通分合并两项得无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章Ⅱ．用双线性变换法（1）无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章(2)无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 6．设ha(t)表示一模拟滤波器的单位冲激响应，即≥用脉冲响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器（用h(n)表示单位脉冲响应，即h(n)=ha(nT)）。确定系统函数H(z)，并把T作为参数，证明：T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章解:模拟滤波器系统函数为Ha(s)的极点s1=－0.9，故数字滤波器的系统函数应为H(z)的极点为 z1=e－0.9T,|z1|=e－0.9T无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章题6解图所以，T>0时，|z1|<1，H(z)满足因果稳定条件。对T=1和T=0.5，画出H(ejω)曲线如题6解图实线和虚线所示。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 由图可见，该数字滤波器近似为低通滤波器。且T越小，滤波器频率混叠越小，滤波特性越好（即选择性越好）。反之，T越大，极点 离单位圆越远，选择性越差，而且频率混叠越严重，ω=π附近衰减越小，使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。 7．假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知 ，数字滤波器H(z)的通带中心位于下面哪种情况？并说明原因。 （1）ω=0（低通）。 （2）ω=π（高通）。 （3）除0或π以外的某一频率（带通）。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 解：方法一按题意可写出故即原模拟低通滤波器以Ω=0为通带中心，由上式可知，Ω=0时，对应于ω=π，故答案为(2)。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 方法二找出对应于Ω=0的数字频率ω的对应值即可。 令z=1，对应于ejω=1，应有ω=0，则对应的不是模拟低通中心频率，所以，答案（1）即ω=0（低通）不对。 令z=－1，对应于ejω=－1，应有ω=π，则即将Ω=0映射到ω=π处，所以答案为(2)。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 方法三直接根据双线性变换法设计公式及模拟滤波器由低通到高通频率变换公式求解。双线性变换设计公式为当T=2时，则H(z)亦为低通。如果将Ha(s)变换为高通滤波器：，这时，如果Ha(s)为低通，无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章则可将Hah(s)用双线性变换法变成数字高通；这正是题中所给变换关系，所以数字滤波器通带中心位于ω=π，故答案（2）正确。 8．题8图是由RC组成的模拟滤波器，写出其系统函数Ha(s)，并选用一种合适的转换方法，将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)，最后画出网络结构图。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章题8图无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章解:模拟RC滤波网络的频率响应函数为显然，Ha(jΩ)具有高通特性，用脉冲响应不变法必然会产生严重的频率混叠失真。所以应选用双线性变换法。将Ha(jΩ)中的jΩ用s代替，可得到RC滤波网络的系统函数：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章用双线性变换法设计公式,可得H(z)的结构图如题8解图所示。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章题8解图无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 由图可见，在模拟域由一个R和一个C组成的RC滤波网络，用双线性变换法转换成数字滤波器后，用两个乘法器、两个加法器和一个单位延迟器实现其数字滤波功能。也可用软件实现该数字滤波功能。由滤波器差分方程编写程序较容易。为此，由H(z)求出差分方程。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章编程序实现差分方程中的计算，即可实现对输入信号序列x(n)的高通滤波。 9．设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB之内；频率在0.3π到π之间的阻带衰减大于10dB。试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1ms。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 解:本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下： ωp=0.2πrad,αp=1dB ωs=0.3πrad,αs=10dB 采用脉冲响应不变法转换，所以，相应的模拟低通巴特沃斯滤波器指标为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (1)求滤波器阶数N及归一化系统函数G(p)：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章取N=5。查教材6.1节的表6.2.1(第157页)，可知模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为将G(p)部分分式展开：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章其中，系数为A0=－0.1382+j0.4253,A1=－0.8091－j1.1135,A2=1.8947A3=－0.8091+j1.1135,A4=－0.1382－j0.4253 (2)去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)。 我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按教材（6.2.20）式求3dB截止频率Ωc为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章其中,Bk=ΩcAk,sk=Ωcpk。 (3)用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z): 我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在的频率混叠失真，使设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见。当N较大时，部分分式展开求解系数Ak或Bk相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计，见第10题。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 10．要求同题9，试采用双线性变换法设计数字低通滤波器。 解:已知条件如下： 数字滤波器指标： ωp=0.2πrad,αp=1dB ωs=0.3πrad,αs=10dB采用双线性变换法，所以要进行预畸变校正，确定相应的模拟滤波器指标（为了计算方便，取T=1s）：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (1)求相应模拟滤波器阶数N：其中，ksp与题9相同（因为αp、αs相同），即无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (2)查教材表6.2.1，得 (3)去归一化，求出Ha(s)：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (4)用双线性变换法将Ha(s)转换成H(z)：请读者按T=1ms进行设计，比较设计结果。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 11．设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率ωs=0.5πrad，阻带衰减不小于18dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。 解:（1）确定数字高通滤波器技术指标： ωp=0.8πrad,αp=3dB ωs=0.5πrad,αs=18dB（2）确定相应模拟高通滤波器技术指标。由于设计的是高通数字滤波器，所以应选用双线性变换法，因此进行预畸变校正求模拟高通边界频率（假定采样间隔T=2s）：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (3)将高通滤波器指标转换成归一化模拟低通指标。套用图5.1.5中高通到低通频率转换公式②,λp=1,λs=Ωp/Ωs，得到低通归一化边界频率为（本题Ωp=Ωc）λp=1,αp=3dB无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (4)设计归一化低通G(p)：查教材表6.2.1，得归一化低通G(p)为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (5)频率变换，求模拟高通Ha(s)：(6)用双线性变换法将Ha(s)转换成H(z)：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 12．设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.25πrad到0.45πrad，通带内最大衰减为3dB，0.15πrad以下和0.55πrad以上为阻带，阻带内最小衰减为15dB。要求采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。 解:（1）确定数字带通滤波器技术指标： ωpl=0.25πrad,ωpu=0.45πrad ωsl=0.15πrad,ωsu=0.55πrad 通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=15dB。 (2)采用双线性变换法，确定相应模拟滤波器的技术指标。为计算简单，设T=2s。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章通带中心频率通带宽度 BW=Ωpu－Ωpl=0.4399rad/s ΩplΩpu=0.8541×0.4142=0.3538, ΩslΩsu=0.2401×1.1708=0.2811因为ΩplΩpu>ΩslΩsu，所以不满足教材（6.2.56）式。按照教材（6.2.57）式,增大Ωsl，则无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章采用修正后的 设计巴特沃斯模拟带通滤波器。 (3)将带通指标转换成归一化低通指标。套用图5.1.5中带通到低通频率转换公式③，求归一化低通边界频率：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章(4)设计模拟归一化低通G(p)：取N=3。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章查教材表6.2.1，得到归一化低通系统函数G(p)： (5)频率变换，将G(p)转换成模拟带通Ha(s)：无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 (6)用双线性变换公式将Ha(s)转换成H(z)：以上繁杂的设计过程和计算，可以用下面几行程序ex612.m实现。程序运行结果如题12解图所示。得到的系统函数系数为无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 B=［0.02340－0.07030 0.07030－0.0234］ A=［1.0000－2.21003.2972－2.9932 2.0758－0.84950.2406］与手算结果有差别，这一般是由手算过程中可能产生的计算误差造成的。无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章 %程序ex612.m wp=［0.25，0.45］；ws=［0.15，0.55］；Rp=3； As=15；%设置带通数字滤波器指标参数 ［N，wc］=buttord(wp，ws，Rp，As)； %计算带通滤波器阶数N和3dB截止频率Wc ［B，A］=butter(N，wc)； %计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向 量A和B myplot(B，A)； %调用自编绘图函数myplot绘制带通滤波器的损耗函 数曲线无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计第５章题12解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 教材第7章习题与上机题解答 1．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为： （1）h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5h(1)=h(4)=2h(2)=h(3)=3 （2）h(n)长度N=7 h(0)=－h(6)=3h(1)=－h(5)=－2h(2)=－h(4)=1h(3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 解：（1）由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N－1－n)，所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：由于N=6为偶数(情况2)，所以幅度特性关于ω=π点奇对称。 （2）由题中h(n)值可知，h(n)满足h(n)=－h(N－1－n)，所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：由于7为奇数(情况3)，所以幅度特性关于ω=0,π,2π三点奇对称。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 2．已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16，其16个频域幅度采样值中的前9个为： Hg(0)=12，Hg(1)=8.34，Hg(2)=3.79，Hg(3)~Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点，求其余7个频域幅度采样值。 解：因为N=16是偶数（情况2），所以FIR滤波器幅度特性Hg(ω)关于ω=π点奇对称，即Hg(2π－ω)=－Hg(ω)。其N点采样关于k=N/2点奇对称，即 Hg(N－k)=－Hg(k)k=1,2,…,15综上所述,可知其余7个频域幅度采样值： Hg(15)=－Hg(1)=－8.34，Hg(14)=－Hg(2)=－3.79， Hg(13)~Hg(9)=0有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 3．设FIR滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性函数和相位特性函数。 解:对FIR数字滤波器，其系统函数为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N－1－n)N=5所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。频率响应函数H(ejω)为所以其单位脉冲响应为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章幅度特性函数为相位特性函数为 4．用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器，要求过渡带宽度不超过π/8rad。希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ejω)为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章≤≤≤ （1）求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)； （2）求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定α与N之间的关系； （3）简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。 解:（1）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （2）为了满足线性相位条件，要求 ，N为矩形窗函数长度。因为要求过渡带宽度Δβ≤ rad,所以要求 ,求解得到N≥32。加矩形窗函数,得到h(n)：≤≤≤有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （3）N取奇数时，幅度特性函数Hg(ω)关于ω=0,π,2π三点偶对称，可实现各类幅频特性；N取偶数时，Hg(ω)关于ω=π奇对称，即Hg(π)=0，所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。 5．用矩形窗设计一线性相位高通滤波器，要求过渡带宽度不超过π/10rad。希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ejω)为≤≤有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （1）求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； （2）求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式，确定α与N的关系； （3）N的取值有什么限制？为什么？ 解:（1）直接用IFT［Hd(ejω)］计算：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章hd(n)表达式中第2项 正好是截止频率为ωc的理想低通滤波器的单位脉冲响应。而δ(n－α)对应于一个线性相位全通滤波器：Hdap(ejω)=e－jωα即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。 （2）用N表示h(n)的长度，则h(n)=hd(n)RN(n)=有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章为了满足线性相位条件：h(n)=h(N－1－n)要求满足 （3）N必须取奇数。因为N为偶数时（情况2），H(ejπ)=0，不能实现高通。根据题中对过渡带宽度的要求，N应满足： ,即N≥40。取N=41。≤ 6．理想带通特性为≤≤≤≤有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （1）求出该理想带通的单位脉冲响应hd(n)； （2）写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式，确定N与α之间的关系； （3）要求过渡带宽度不超过π/16rad。N的取值是否有限制？为什么？ 解:（1）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章上式第一项和第二项分别为截止频率ωc+B和ωc的理想低通滤波器的单位脉冲响应。所以，上面hd(n)的表达式说明，带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。 （2）h(n)=hd(n)w(n)为了满足线性相位条件，α与N应满足有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 实质上，即使不要求具有线性相位，α与N也应满足该关系，只有这样，才能截取hd(n)的主要能量部分，使引起的逼近误差最小。 （3）N取奇数和偶数时，均可实现带通滤波器。但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8π/N，所以，要求 ，即要求N≥128。 7．试完成下面两题： （1）设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ejω)，另一个滤波器的单位脉冲响应为h1(n)，它与h(n)的关系是h1(n)=(－1)nh(n)。试证明滤波器h1(n)是一个高通滤波器。≤有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （2）设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ejω)，截止频率为ωc,另一个滤波器的单位脉冲响应为h2(n)，它与h(n)的关系是h2(n)=2h(n)cosω0n，且ωc<ω0<(π－ωc)。试证明滤波器h2(n)是一个带通滤波器。 解:（1）由题意可知对h1(n)进行傅里叶变换,得到有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 上式说明H1(ejω)就是H(ejω)平移±π的结果。由于H(ejω)为低通滤波器，通带位于以ω=0为中心的附近邻域，因而H1(ejω)的通带位于以ω=±π为中心的附近，即h1(n)是一个高通滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法（设高通滤波器通带为［π－ωc,π］）： ①设计一个截止频率为ωc的低通滤波器hLp(n)。 ②对hLp(n)乘以cos(πn)即可得到高通滤波器hHp(n)cos(πn)=(－1)nhLp(n)。 (2)与(1)同样道理，代入h2(n)=2h(n)cosω0n,可得有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 因为低通滤波器H(ejω)通带中心位于ω=2kπ，且H2(ejω)为H(ejω)左右平移ω0，所以H2(ejω)的通带中心位于ω=2kπ±ω0处，所以h2(n)具有带通特性。这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法。 8．题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列，N=8，设 H1(k)=DFT［h1(n)］k=0，1，…，N－1 H2(k)=DFT［h2(n)］k=0，1，…，N－1 （1）试确定H1(k)与H2(k)的具体关系式。|H1(k)|=|H2(k)|是否成立？为什么？ （2）用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题8图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 解：（1）由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系： h2(n)=h1((n+4))8R8(n)由DFT的循环移位性质可得 (2)由题8图可知，h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件： h1(n)=h1(N－1－n) h2(n)=h2(N－1－n)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章所以，用h1(n)和h2(n)构成的低通滤波器具有线性相位。直接计算FT［h1(n)］和［h2(n)］也可以得到同样的结论。 设所以，群延时为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 9．对下面的每一种滤波器指标，选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度。 （1）阻带衰减为20dB，过渡带宽度为1kHz，采样频率为12kHz； （2）阻带衰减为50dB，过渡带宽度为2kHz，采样频率为20kHz； （3）阻带衰减为50dB，过渡带宽度为500Hz，采样频率为5kHz。 解：我们知道，根据阻带最小衰减选择窗函数类型，根据过渡带宽度计算窗函数长度。为了观察方便，重写出教材第211页中表7.2.2。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 结合本题要求和教材表7.2.2，选择结果如下： （1）矩形窗满足本题要求。过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B=200π/12000=π/60，精确过渡带满足：1.8π/N≤π/60，所以要求N≥1.8×60=108。 （2）选哈明窗，过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B=4000π/20000=π/5，精确过渡带满足：6.6π/N≤π/5，所以要求N≥6.6×5=33。 （3）选哈明窗，过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B=1000π/5000=π/5，精确过渡带满足：6.6π/N≤π/5，所以要求N≥6.6×5=33。 10．利用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布莱克曼窗设计线性相位FIR低通滤波器。要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率ωc=π/4rad，N=21。求出分别对应的单位脉冲响应。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 解:(1)希望逼近的理想低通滤波器频响函数Hd(ejω)为≤≤≤其中,a=(N－1)/2=10。 (2)由Hd(ejω)求得hd(n)：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 (3)加窗得到FIR滤波器单位脉冲响应h(n)： ·升余弦窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章·改进升余弦窗：·布莱克曼窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 11．将技术要求改为设计线性相位高通滤波器，重复题10。 解:方法一将题10解答中的逼近理想低通滤波器(Hd(ejω)、hd(n))改为如下理想高通滤波器即可。≤≤≤有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 上式中δ(n－10)对应于全通滤波器。上式说明，高通滤波器的单位脉冲响应等于全通滤波器的单位脉冲响应减去低通滤波器的单位脉冲响应。 仿照10题，用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布菜克曼窗对上面所求的hd(n)加窗即可。 计算与绘图程序与题10解中类同，只要将其中的h(n)用本题的高通h(n)替换即可。 方法二根据第7题（1）的证明结论设计。 （1）先设计通带截止频率为π/4的低通滤波器。对四种窗函数所得FIR低通滤波器单位脉冲响应为题9解中的hR(n)、hHn(n)、hHm(n)和hBl(n)。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 (2)对低通滤波器单位脉冲响应乘以cosπn可得到高通滤波器单位脉冲响应： ·矩形窗：·升余弦窗：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章·改进升余弦窗：·布莱克曼窗：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题12图 12．利用窗函数（哈明窗）法设计一数字微分器，逼近题12图所示的理想微分器特性，并绘出其幅频特性。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 解:(1)由于连续信号存在微分，而时域离散信号和数字信号的微分不存在，因而本题要求设计的数字微分器是指用数字滤波器近似实现模拟微分器，即用数字差分滤波器近似模拟微分器。下面先推导理想差分器的频率响应函数。 设模拟微分器的输入和输出分别为x(t)和y(t)，即令x(t)=ejΩt，则 y(t)=jkΩeΩt=jkΩx(t)对上式两边采样（时域离散化），得到有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章其中ω=ΩT。将x(nT)和y(nT)分别作为数字微分器的输入和输出序列，并用Hd(ejω)表示数字理想微分器的频率响应函数，则即有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章根据题12图所给出的理想特性可知所以应取k=T，所以 Hd(ejω)=jω取群延时τ=(N－1)/2，则逼近频率响应函数应为Hd(ejω)=jωe－jωτ=ωe－j(ωτ－π/2)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 设FIR滤波器h(n)长度为N，一般取τ=(N－1)/2。加窗后得到我们知道，微分器的幅度响应随频率增大线性上升，当频率ω=π时达到最大值，所以只有N为偶数的情况4才能满足全频带微分器的时域和频域要求。因为N是偶数，τ=N/2－1/2=正整数－1/2，上式中第一项为0，所以有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章① ①式就是用窗函数法设计的FIR数字微分器的单位脉冲响应的通用表达式，且具有奇对称特性h(n)=－h(N－1－n)。选定滤波器长度N和窗函数类型，就可以直接按①式得到设计结果。当然，也可以用频率采样法和等波纹最佳逼近法设计。 本题要求的哈明窗函数：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章②将②式代入①式得到h(n)的表达式：③ (2)对3种不同的长度N=20，40和41，用MATLAB计算单位脉冲响应h(n)和幅频特性函数，并绘图的程序ex712.m如下：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 %ex712.m：用哈明窗设计线性相位FIR微分器 clearall；closeall； N1=20；n=0：N1－1；tou=(N1－1)/2； h1n=sin((n－tou)*pi)./(pi*(n-tou).∧2).*(hamming(N1))′； N2=40；n=0：N2－1；tou=(N2－1)/2； h2n=sin((n－tou)*pi)./(pi*(n-tou).∧2).*(hamming(N2))′； N3=41；n=0：N3－1；tou=(N3－1)/2； h3n=sin((n－tou)*pi)./(pi*(n－tou).∧2).*(hamming(N3))′; h3n((N3－1)/2+1)=0； %因为该点分母为零，无定义，所以赋值0 %以下为绘图部分（省略）有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 程序运行结果即数字微分器的单位脉冲响应和幅频特性函数曲线如题12解图所示。由图可见，当滤波器长度N为偶数时，逼近效果好。但N=奇数时（本程序中N=41），逼近误差很大。这一结论与教材给出的理论一致（对第二类线性相位滤波器，N=奇数时不能实现高通滤波特性）。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题12解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 也可以采用调用等波纹最佳逼近法设计函数remez来设计FIR数字微分器的方法。 hn=remez(N－1，f，m，′defferentiator′)设计N－1阶FIR数字微分器，返回的单位脉冲响应向量hn具有奇对称特性。在大多数工程实际中，仅要求在频率区间0≤ω≤ωp上逼近理想微分器的频率响应特性，而在区间ωp<ω≤π上频率响应特性不作要求，或要求为零。对微分器设计，在区间ωp<ω≤π上频率响应特性要求为零时，调用参数f=［0,ωp/π,(ωp+B)/π,1］，m=［0,ωp/π,0,0］，其中B为过渡带宽度（即无关区），ωp不能太靠近π，B也不能太小，否则设计可能失败。调用等波纹最佳逼近法设计函数remez设计本题要求的FIR数字微分器的程序ex712b.m如下：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 %ex712b.m：调用remez函数设计FIR微分器 Wp=0.9；B=0.09； %设置微分器边界频率（关于π归一化） N=40；f=［0，wp，wp+B，1］；m=［0，wp，0,0］； hn=remez(N-1，f，m，′defferentiator′)； %调用remez函数设计FIR微分器 %以下为绘图部分（省略） 请读者运行该程序，观察设计效果。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 13.用窗函数法设计一个线性相位低通FIRDF，要求通带截止频率为π/4rad，过渡带宽度为8π/51rad，阻带最小衰减为45dB。 （1）选择合适的窗函数及其长度，求出h(n)的表达式。 （2*）用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。 解：（1）根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。 ①根据对阻带衰减及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N。由习题9中教材表7.2.2，本题应选择哈明窗。因为过渡带宽度Bt=8π/51，所以窗口长度N为N≥6.6π/Bt=42.075，取N=43。窗函数表达式为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章②构造希望逼近的频率响应函数Hd(ejω):≤≤≤式中有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章③求hd(n):④加窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （2）调用MATLAB函数设计及绘图程序ex713.m如下： %ex713.m：调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图 wp=pi/4；Bt=8*pi/51； wc=wp+Bt/2；N=ceil(6.6*pi/Bt)； hmn=fir1(N-1，wc/pi，hamming(N)) rs=60；a=1；mpplot(hmn，a，rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线 程序运行结果即 损耗函数和相频特性曲线如题13解图所示，请读者运行程序查看h(n)的数据。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题13解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 14.要求用数字低通滤波器对模拟信号进行滤波，要求：通带截止频率为10kHz，阻带截止频率为22kHz，阻带最小衰减为75dB，采样频率为Fs=50kHz。用窗函数法设计数字低通滤波器。 （1）选择合适的窗函数及其长度，求出h(n)的表达式。 （2*）用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。 解：（1）根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。 ①根据对阻带衰减及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N。 本题要求设计的FIRDF指标：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章通带截止频率：阻带截止频率：阻带最小衰减： αs=75dB有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章由习题9中教材表7.2.2可知，本题应选凯塞窗(β=7.865)。窗口长度N≥10π/Bt=10π/(ωs－ωp)=20.833，取N=21。窗函数表达式为，β=7.865②构造希望逼近的频率响应函数Hd(ejω):有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章③求hd(n):④加窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 （2）调用MATLAB函数设计及绘图程序ex714.m如下： %ex714.m：调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图 Fs=50000；fp=10000；fs=22000；rs=75； wp=2*pi*fp/Fs；ws=2*pi*fs/Fs；Bt=ws-wp； wc=(wp+ws)/2；N=ceil(10*pi/Bt)； hmn=fir1(N-1，wc/pi，kaiser(N，7.865))； rs=100；a=1；mpplot(hmn，a，rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线 程序运行结果即损耗函数和相频特性曲线如题14解图所示，请读者运行程序查看h(n)的数据。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题14解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 15．利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器，给定N=21，通带截止频率ωc=0.15πrad。求出h(n)，为了改善其频率响应（过渡带宽度、阻带最小衰减），应采取什么措施？ 解:(1)确定希望逼近的理想低通滤波频率响应函数Hd(ejω)：≤≤≤有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章其中,a=(N－1)/2=10。 ②采样：≤≤有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章③求h(n)：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章因为所以有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 损耗函数曲线绘图程序ex715.m如下： %程序ex715.m N=21；n=0：N-1； hn=(1+2*cos(2*pi*(n-10)/N))/N； rs=20；a=1；mpplot(hn，a，rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线 运行程序绘制损耗函数曲线如题15解图所示，请读者运行程序查看hn的数据。 为了改善阻带衰减和通带波纹，应加过渡带采样点，为了使边界频率更精确，过渡带更窄，应加大采样点数N。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题15解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 16．重复题15，但改为用矩形窗函数法设计。将设计结果与题15进行比较。 解：直接调用fir1设计，程序为ex716.m。 %调用fir1求解16题的程序ex716.m N=21；wc=0.15； hn=fir1(N-1，wc，boxcar(N))； %选用矩形窗函数(与上面求解中相同) rs=20；a=1；mpplot(hn，a，rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线 运行程序绘制损耗函数曲线如题16解图所示。与题15解图比较，过渡带宽度相同，但矩形窗函数法设计的FIRDF阻带最小衰减约为20dB，而15题设计结果约为16dB。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章题16解图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 17．利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器，设N=16，给定希望逼近的滤波器的幅度采样值为 解:由希望逼近的滤波器幅度采样Hdg(k)可构造出Hd(ejω)的采样Hd(k)：有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 18．利用频率采样法设计线性相位FIR带通滤波器，设N=33，理想幅度特性Hd(ω)如题18图所示。题18图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章 解:由题18图可得到理想幅度采样值为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第６章
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