考研数学二真题及解析

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net2006200620062006年数学二试题分析、详解和评注一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1111）曲线4sin52cosxxyxx+=−的水平渐近线方程为（2222）设函数2301sind,0(),0xttxfxxax⎧≠⎪=⎨⎪=⎩∫　　　　在0x=处连续，则a=（3333）广义积分220d(1)xxx+∞=+∫.（4444）微分方程(1)yxyx−′=的通解是（5555）设函数()yyx=由方程1eyyx=−确定，则0ddxyx==（6666）设矩阵2112A⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE=+，则=B.二、选择题：7777－14141414小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7777）设函数()yfx=具有二阶导数，且()0,()0fxfx′′′>>，x∆为自变量x在点0x处的增量，dyy∆与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x∆>，则(A)0dyy<<∆.(B)0dyy<∆<.(C)d0yy∆<<.(D)d0yy<∆<.[]（8888）设()fx是奇函数，除0x=外处处连续，0x=是其第一类间断点，则0()dxftt∫是（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在0x=间断的奇函数（D）在0x=间断的偶函数.[]（9999）设函数()gx可微，1()()e,(1)1,(1)2gxhxhg+′′===，则(1)g等于（A）ln31−.（B）ln31.−−（C）ln21.−−（D）ln21.−[]（10101010）函数212eeexxxyCCx−=++满足的一个微分方程是您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net（A）23e.xyyyx′′′−−=（B）23e.xyyy′′′−−=（C）23e.xyyyx′′′+−=（D）23e.xyyy′′′+−=[]（11111111）设(,)fxy为连续函数，则1400d(cos,sin)dfrrrrπθθθ∫∫等于（Ａ）22120d(,)dxxxfxyy−∫∫.（B）221200d(,)dxxfxyy−∫∫.(C)22120d(,)dyyyfxyx−∫∫.(D)221200d(,)dyyfxyx−∫∫.[]（12121212）设(,)(,)fxyxyϕ与均为可微函数，且(,)0yxyϕ′≠，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xyϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0xfxy′=，则00(,)0yfxy′=.(B)若00(,)0xfxy′=，则00(,)0yfxy′≠.(C)若00(,)0xfxy′≠，则00(,)0yfxy′=.(D)若00(,)0xfxy′≠，则00(,)0yfxy′≠.[]（13131313）设12,,,sααα⋯均为n维列向量，A为mn×矩阵，下列选项正确的是(A)若12,,,sααα⋯线性相关，则12,,,sAAAααα⋯线性相关.(B)若12,,,sααα⋯线性相关，则12,,,sAAAααα⋯线性无关.(C)若12,,,sααα⋯线性无关，则12,,,sAAAααα⋯线性相关.(D)若12,,,sααα⋯线性无关，则12,,,sAAAααα⋯线性无关.[]（14141414）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1−倍加到第2列得C，记110010001P⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则（Ａ）1CPAP−=.（Ｂ）1CPAP−=.（Ｃ）TCPAP=.（Ｄ）TCPAP=.［］您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net三、解答题：15151515－23232323小题，共94949494分....解答应写出文字说明、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤....（15151515）（本题满分10101010分）试确定,,ABC的值，使得23e(1)1()xBxCxAxox++=++，其中3()ox是当0x→时比3x高阶的无穷小.（16161616）（本题满分10101010分）求arcsinedexxx∫.（17171717）（本题满分10101010分）设区域{}22(,)1,0Dxyxyx=+≤≥，计算二重积分221dd.1Dxyxyxy+++∫∫（18181818）（本题满分12121212分）设数列{}nx满足110,sin(1,2,)nnxxxnπ+<<==⋯（Ⅰ）证明limnnx→∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211limnxnnnxx+→∞⎛⎞⎜⎟⎝⎠.（19191919）（本题满分10101010分）证明：当0abπ<<<时，sin2cossin2cosbbbbaaaaππ++>++.（20202020）（本题满分12121212分）设函数()fu在(0,)+∞内具有二阶导数，且()22zfxy=+满足等式22220zzxy∂∂+=∂∂.（I）验证()()0fufuu′′′+=；（II）若(1)0,(1)1ff′==，求函数()fu的表达式.（21212121）（本题满分12121212分）已知曲线L的方程221,(0)4xttytt⎧=+≥⎨=−⎩（I）讨论L的凹凸性；（II）过点(1,0)−引L的切线，求切点00(,)xy，并写出切线的方程；您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net（III）求此切线与L（对应于0xx≤的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.（22222222）（本题满分9999分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131xxxxxxxxaxxxbx+++=−⎧⎪++−=−⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩()2rA=；（Ⅱ）求,ab的值及方程组的通解.（23232323）（本题满分9999分）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=−−=−是线性方程组0Ax=的两个解.(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵Λ,使得TQAQ=Λ.您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net1…..【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】4sin14sin1limlim2cos52cos55xxxxxxxxxx→∞→∞++==−−.故曲线的水平渐近线方程为15y=.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6666讲第4444节【例12121212】，《数学复习指南》（理工类）P.180P.180P.180P.180【例6.306.306.306.30】，【例6.316.316.316.31】....2…….【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】由题设知，函数()fx在0x=处连续，则0lim()(0)xfxfa→==，又因为22032000sindsin1lim()limlim33xxxxttxfxxx→→→===∫.所以13a=.【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1111讲第1111节【例13131313】，《数学复习指南》（理工类）P.35P.35P.35P.35【例1.511.511.511.51】.88.88.88.88年，89898989年，94949494年和03030303年均考过该类型的试题，本题属重点题型....3….【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】2022222200d1d(1+)111111limlimlim(1)2(1)21+21+22bbbbbxxxxxxb+∞→∞→∞→∞==−=−+=++∫∫.【评注】本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5555讲第6666节【例1111】，《数学复习指南》（理工类）P.119P.119P.119P.119【例3.743.743.743.74】....4……..【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为d11dyxyx⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net两边积分得1lnlnyxxC=−+，整理得exyCx−=.（1eCC=）【评注】本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.139.P.139.P.139.P.139.5……【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x求导（注意y是x的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】方法一：方程两边对x求导，得eeyyyxy′′=−−.又由原方程知，0,1xy==时.代入上式得00dedxxyyx==′==−.方法二：方程两边微分，得dededyyyxxy=−−，代入0,1xy==，得0dedxyx==−.方法三：令(,)1eyFxyyx=−+，则()0,10,10,10,1ee,1e1yyxyxyxyxyFFxxy========∂∂===+=∂∂，故0,100,1dedxyxxyFyxFxy=====∂∂=−=−∂∂.【评注】本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2222讲第2222节【例14141414】，《数学复习指南》（理工类）P.50P.50P.50P.50【例2.122.122.122.12】....6…..【分析】将矩阵方程改写为AXBXABAXBC===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有()2BAEE−=于是有4BAE−=，而11211AE−==−，所以2B=.【评注】本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1111讲例6666，《数学复习指南》（理工类）P.378P.378P.378P.378【例2.122.122.122.12】7…..【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net【详解】由()0,()0fxfx′′′>>知，函数()fx单调增加，曲线()yfx=凹向，作函数()yfx=的图形如右图所示，显然当0x∆>时，00d()d()0yyfxxfxx′′∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),yfxxfxfxxxxξξ′∆=+∆−=∆<<+∆因为()0fx′′>，所以()fx′单调增加，即0()()ffxξ′′>，又0x∆>，则0()()d0yfxfxxyξ′′∆=∆>∆=>，即0dyy<<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.165P.165P.165P.165【例6.16.16.16.1】，P.193P.193P.193P.193【１（３）】....8….【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()fx去计算0()()dxFxftt=∫，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0xxfxx≠⎧=⎨=⎩.则当0x≠时，()22200011()()dlimdlim22xxFxfttttxxεεεε++→→===−=∫∫，而0(0)0lim()xFFx→==，所以()Fx为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006200620062006文登最新模拟试卷（数学三）（8888）....9……【分析】题设条件1()()egxhx+=两边对x求导,再令1x=即可.【详解】1()()egxhx+=两边对x求导,得1()()e()gxhxgx+′′=.上式中令1x=，又(1)1,(1)2hg′′==，可得1(1)1(1)1(1)e(1)2e(1)ln21gghgg++′′===⇒=−−，故选（C）.您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2222讲第2222节【例12121212】，《数学复习指南》理工类P.47P.47P.47P.47【例2.42.42.42.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1P.1P.1P.1【典例精析】....10…..【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为121,2λλ==−.则对应的齐次微分方程的特征方程为2(1)(2)0,20λλλλ−+=+−=即.故对应的齐次微分方程为20yyy′′′+−=.又*exyx=为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()exfxC=（C为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）.【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7777讲第2222节【例9999】和【例10101010】，《数学复习指南》P.156P.156P.156P.156【例5.165.165.165.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P.195P.195P.195P.195（题型演练3333），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126P.126P.126P.126【例14141414】及练习....11……【分析】本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则原式22120d(,)dyyyfxyx−=∫∫.故选（Ｃ）.【评注】本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10101010讲第2222节例4444，《数学复习指南》（理工类）P.P.P.P.286286286286【例10.610.610.610.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P.93P.93P.93P.93【例6666】及练习....【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)Fxyfxyxyλλϕ=+在000(,,)xyλ（0λ是对应00,xy的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)Fxyfxyxyλλϕ=+，并记对应00,xy的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0xyFxyFxyλλ⎧′=⎪⎨′=⎪⎩，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0xxyyfxyxyfxyxyλϕλϕ⎧′′+=⎪⎨′′+=⎪⎩.消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0xyyxfxyxyfxyxyϕϕ′′′′−=,整理得000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyxyxyϕϕ′′′=′.（因为(,)0yxyϕ′≠），若00(,)0xfxy′≠，则00(,)0yfxy′≠.故选（Ｄ）.【评注】本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251.251.251.251定理1111及Ｐ.253.253.253.253条件极值的求法....13….【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记12(,,,)sBααα=⋯，则12(,,,)sAAAABααα=⋯.所以，若向量组12,,,sααα⋯线性相关，则()rBs<，从而()()rABrBs≤<，向量组12,,,sAAAααα⋯也线性相关，故应选(Ａ).【评注】对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.P.P.P.400400400400【例3.73.73.73.7】，几乎相同试题见文登2006200620062006最新模拟试卷（数学一）Ｐ....２（11111111）....14…….【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110010,010010010001001001001BACBA−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠　　　，而1110010001P−−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则有1CPAP−=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A施行一个初等行（列）您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.P.P.P.381381381381【例2.192.192.192.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2222讲例12.12.12.12.15…….【分析】题设方程右边为关于x的多项式，要联想到ex的泰勒级数展开式，比较x的同次项系数，可得,,ABC的值.【详解】将ex的泰勒级数展开式233e1()26xxxxox=++++代入题设等式得233231()[1]1()26xxxoxBxCxAxox⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226BBxBCxCoxAxox⎛⎞⎛⎞+++++++++=++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠比较两边同次幂系数得11021026BABCBC⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得132316ABC⎧=⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=⎪⎩.【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P.124P.124P.124P.124表格....16…..【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】2arcsineedarcsinedeearcsineede1exxxxxxxxxxx−−=−=−+⋅−∫∫∫－21earcsined1exxxx−=−+−∫.令21ext=−，则221ln(1),dd21txtxtt=−=−−，所以2211111ddd12111exxttttt⎛⎞==−⎜⎟−−+⎝⎠−∫∫∫您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net221111e1lnln2121e1xxtCt−−−=+=+−+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3333讲第3333节【例6666】，《数学复习指南》理工类P.79P.79P.79P.79【例3.213.213.213.21】....17……..【分析】由于积分区域D关于x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】积分区域D如右图所示.因为区域D关于x轴对称，函数221(,)1fxyxy=++是变量y的偶函数，函数22(,)1xygxyxy=++是变量y的奇函数.则112222220011ln2dd2dd2dd1112DDrxyxyrxyxyrππθ===+++++∫∫∫∫∫∫22dd01Dxyxyxy=++∫∫，故22222211ln2dddddd1112DDDxyxyxyxyxyxyxyxyπ+=+=++++++∫∫∫∫∫∫.【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10101010讲第1111节例1111和例2222，《数学复习指南》（理工类）P.P.P.P.284284284284【例10.110.110.110.1】18….【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.（Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】（Ⅰ）因为10xπ<<，则210sin1xxπ<=≤<.可推得10sin1,1,2,nnxxnπ+<=≤<=⋯，则数列{}nx有界.于是1sin1nnnnxxxx+=<，（因当0sinxxx><时，），则有1nnxx+<，可见数列{}nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limnnx→∞存在.您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net设limnnxl→∞=，在1sinnnxx+=两边令n→∞，得sinll=，解得0l=，即lim0nnx→∞=.（Ⅱ）因22111sinlimlimnnxxnnnnnnxxxx+→∞→∞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，由（Ⅰ）知该极限为1∞型，令ntx=，则,0nt→∞→，而222sin111111sin1000sinsinsinlimlim11lim11tttttttttttttttt−⋅−→→→⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎢⎥=+−=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦，又33233000()1sinsin13!lim1limlim6tttttottttttttt→→→−+−−⎛⎞−===−⎜⎟⎝⎠.（利用了sinx的麦克劳林展开式）故2211116sinlimlimennxxnnnnnnxxxx−+→∞→∞⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.【评注】对于有递推关系的数列极限的证明问题，一般利用单调有界数列必有极限准则来证明.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.P.P.P.24242424【例1.171.171.171.17－例1.211.211.211.21】....19….【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】令()sin2cossin2cos,0fxxxxxaaaaaxbπππ=++−−−<≤≤<，则()sincos2sincossinfxxxxxxxxππ′=+−+=−+，且()0fπ′=.又()cossincossin0fxxxxxxx′′=−−=−<，（0,sin0xxxπ<<>时），故当0axbπ<≤≤<时，()fx′单调减少，即()()0fxfπ′′>=，则()fx单调增加，于是()()0fbfa>=，即sin2cossin2cosbbbbaaaaππ++>++.【评注】本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明.证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()fx，然后求导验证()fx的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值），作比较即得所证.本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8888讲第2222节【例4444】，《数学复习指南》您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net（理工类）P.P.P.P.314314314314【例12.2512.2512.2512.25】....20……【分析】利用复合函数偏导数计算方法求出2222,zzxy∂∂∂∂代入22220zzxy∂∂+=∂∂即可得（I）.按常规方法解（II）即可.【详解】（I）设22uxy=+，则2222(),()zxzyfufuxyxyxy∂∂′′==∂∂++.2222222222222()()xxyxyzxxfufuxxyxyxy+−+∂′′′=⋅⋅+⋅∂+++()22322222()()xyfufuxyxy′′′=⋅+⋅++，()2223222222()()zyxfufuyxyxy∂′′′=⋅+⋅∂++.将2222,zzxy∂∂∂∂代入22220zzxy∂∂+=∂∂得()()0fufuu′′′+=.（II）令()fup′=，则dd0ppupupu′+=⇒=−，两边积分得1lnlnlnpuC=−+，即1Cpu=，亦即1()Cfuu′=.由(1)1f′=可得11C=.所以有1()fuu′=，两边积分得2()lnfuuC=+，由(1)0f=可得20C=，故()lnfuu=.【评注】本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8888讲第1111节【例8888】，《数学复习指南》（理工类）P.P.P.P.336336336336【例12.1412.1412.1412.14】,P.337,P.337,P.337,P.337【例12.1512.1512.1512.15】21…..【分析】（I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）先写出切线方程，然后利用(1,0)−您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net在切线上；（III）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】（I）因为dddd422d2,421dddd2dyxyyttttxttxttt−==−⇒===−2223ddd12110,(0)dddd2dyytxxtxtttt⎛⎞⎛⎞=⋅=−⋅=−<>⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠故曲线L当0t≥时是凸的.（II）由（I）知，切线方程为201(1)yxt⎛⎞−=−+⎜⎟⎝⎠，设2001xt=+，20004ytt=−，则220000241(2)tttt⎛⎞−=−+⎜⎟⎝⎠，即23200004(2)(2)tttt−=−+整理得20000020(1)(2)01,2(ttttt+−=⇒−+=⇒=−舍去）.将01t=代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为231(2)1yx⎛⎞−=−−⎜⎟⎝⎠，即1yx=+.（III）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为(1,0),(2,0),(2,3),(1,0)ABCD−，设L的方程()xgy=，则()30()(1)dSgyyy=−−⎡⎤⎣⎦∫由参数方程可得24ty=±−，即()2241xy=±−+.由于（2，3）在L上，则()2()241924xgyyyy==−−+=−−−.于是()30944(1)dSyyyy⎡⎤=−−−−−⎣⎦∫3300(102)d44dyyyy=−−−∫∫()()32332008710433yyy=−+−=.【评注】本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》（理工类）P.P.P.P.187187187187【例6.406.406.406.40】....您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net22……【分析】（I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II）利用初等变换求矩阵A的秩确定参数,ab，然后解方程组.【详解】（I）设123,,ααα是方程组Axβ=的3个线性无关的解，其中111114351,1131Aabβ−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.则有1213()0,()0AAαααα−=−=.则1213,αααα−−是对应齐次线性方程组0Ax=的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以()2nrA−≥，即4()2()2rArA−≥⇒≤.又矩阵A中有一个2阶子式111043=−≠，所以()2rA≤.因此()2rA=.（II）因为11111111111143510115011513013004245Aabaabaaba⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=−→−−→−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−+−⎝⎠⎝⎠⎝⎠.又()2rA=，则42024503aabab−==⎧⎧⇒⎨⎨+−==−⎩⎩.对原方程组的增广矩阵A施行初等行变换，111111024243511011532133100000A−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−−→−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠，故原方程组与下面的方程组同解.13423424253xxxxxx=−++⎧⎨=−−⎩.您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net选34,xx为自由变量，则134234334424253xxxxxxxxxx=−++⎧⎪=−−⎪⎨=⎪⎪=⎩.故所求通解为12242153100010xkk−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，12,kk为任意常数.【评注】本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖.这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.P.P.P.427427427427【例4.54.54.54.5】，P.P.P.P.431431431431【例4.114.114.114.11】....23…..【分析】由矩阵A的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax=有非零解可知A必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q.【详解】(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以1311331131A⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为kα，其中k为不为零的常数.又由题设知120,0AAαα==，即11220,0AAαααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为1122kkαα+，其中12,kk为不全为零的常数.(Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取11βα=，您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心获取更多考研资料，请访问http://www.hykaoyan.net()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎞−⎜⎟−⎛⎞⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=−=−−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎝⎠.再将12,,αββ单位化，得121231211136212,,036111236ββαηηηαββ⎛⎞⎛⎞−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟======⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，令[]123,,Qηηη=，则1TQQ−=，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得T300QAQ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，则要想方设法将题设条件转化为Axxλ=的形式.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第5555讲【例12121212】，《数学复习指南》（理工类）P.P.P.P.464464464464【例5.245.245.245.24】，习题五（２（３），３（３））