高中数学部编新教材必修第一册课件：习题课 三角函数

eq\x(\a\vs4\al(习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 课)　\a\vs4\al(\f(综合贯 通知 关于发布提成方案的通知关于xx通知关于成立公司筹建组的通知关于红头文件的使用公开通知关于计发全勤奖的通知 识,把握考点考法)))eq\a\vs4\al(三角函数)综合考法(一)　三角函数式的化简与求值[题型技法][例1]　(1)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，且－eq\f(π,2)＜α＜0，则eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝(　　)A．－eq\f(2\r(5),5)　　　　　　　B．－eq\f(3\r(5),10)C．－eq\f(3\r(10),10)D．eq\f(2\r(5),5)(2)在△ABC中，若3cos2eq\f(A－B,2)＋5sin2eq\f(A＋B,2)＝4，则tanAtanB＝________.[解析]　(1)因为taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,2)，所以tanα＝－eq\f(1,3)，因为－eq\f(π,2)＜α＜0，所以sinα＝－eq\f(\r(10),10)，所以eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(2sinα(sinα＋cosα),\f(\r(2),2)(cosα＋sinα))＝2eq\r(2)sinα＝2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝－eq\f(2\r(5),5).(2)因为3cos2eq\f(A－B,2)＋5sin2eq\f(A＋B,2)＝4，所以eq\f(3,2)cos(A－B)－eq\f(5,2)cos(A＋B)＝0，所以eq\f(3,2)cosAcosB＋eq\f(3,2)sinAsinB－eq\f(5,2)cosAcosB＋eq\f(5,2)sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝eq\f(1,4).[答案]　(1)A　(2)eq\f(1,4)eq\a\vs4\al([方法技巧])三角函数求值主要有三种类型(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．　　[集训冲关]1．若tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))的值为(　　)A．－eq\f(\r(2),10)B．eq\f(\r(2),10)C.eq\f(3\r(2),10)D．eq\f(7\r(2),10)解析：∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴tanα＞1，∴由tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(10,3)，解得tanα＝3.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sin2α＋eq\f(\r(2),2)cos2α＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2sinαcosα＋cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2tanα＋1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(－2,1＋9)＝－eq\f(\r(2),10).故选A.答案：A　2.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2).根据这些信息，可得sin234°＝(　　)A.eq\f(1－2\r(5),4)B．－eq\f(3＋\r(5),8)C．－eq\f(\r(5)＋1,4)D．－eq\f(4＋\r(5),8)解析：由图可知，∠ACB＝72°，且cos72°＝eq\f(\f(1,2)BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,4)，∴cos144°＝2cos272°－1＝－eq\f(\r(5)＋1,4).则sin234°＝sin(144°＋90°)＝cos144°＝－eq\f(\r(5)＋1,4).答案：C　3．已知A，B均为钝角，sin2eq\f(A,2)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＝eq\f(5－\r(15),10)，且sinB＝eq\f(\r(10),10)，则A＋B＝(　　)A.eq\f(3π,4)B．eq\f(5π,4)C.eq\f(7π,4)D．eq\f(7π,6)解析：因为sin2eq\f(A,2)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＝eq\f(5－\r(15),10)，所以eq\f(1－cosA,2)＋eq\f(1,2)cosA－eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\f(5－\r(15),10)，即eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)sinA＝eq\f(5－\r(15),10)，解得sinA＝eq\f(\r(5),5).因为A为钝角，所以cosA＝－eq\r(1－sin2A)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq\f(2\r(5),5).由sinB＝eq\f(\r(10),10)，且B为钝角，可得cosB＝－eq\r(1－sin2B)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),10)))2)＝－eq\f(3\r(10),10).所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又A，B都为钝角，即A，B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝eq\f(7π,4)，故选C.答案：C　综合考法(二)　三角函数的图象及其变换[题型技法][例2]　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．[解析]　由题图可知，A＝eq\r(2)，eq\f(T,4)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,4)，所以T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2.又函数图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，所以2×eq\f(π,3)＋φ＝π，则φ＝eq\f(π,3)，故函数的解析式为f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，所以f(0)＝eq\r(2)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(6),2).[答案]　eq\f(\r(6),2)eq\a\vs4\al([方法技巧])由已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．　　[集训冲关]1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－eq\f(π,2)≤φ≤eq\f(π,2)的图象如图所示，则f(1)＝(　　)A.eq\r(2)　　　　　　　　B．1＋eq\r(2)C．2＋eq\r(2)D．2eq\r(2)解析：由函数f(x)的图象可知函数最大值为2，最小值为－2，所以A＝2，由eq\f(T,2)＝6－2＝4⇒T＝8＝eq\f(2π,ω)从而得ω＝eq\f(π,4)，又图象过原点，所以φ＝0，f(x)＝2sineq\f(π,4)x，得f(1)＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2).答案：A　2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0,0＜φ＜eq\f(π,2)的图象上的一个最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，周期为π.(1)求f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式；(3)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)∵T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.又f(x)min＝－2，∴A＝2.∵f(x)的最低点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋φ))＝－1.∵0＜φ＜eq\f(π,2)，∴eq\f(4π,3)＜eq\f(4π,3)＋φ＜eq\f(11π,6).∴eq\f(4π,3)＋φ＝eq\f(3π,2).∴φ＝eq\f(π,6).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))eq\o(―――――――→,\s\up15(横坐标伸长到原来),\s\do15(的2倍(纵坐标不变)))y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2x＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))eq\o(―――――――→,\s\up15(沿x轴向右),\s\do20(平移\f(π,6)个单位长度))y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝2sinx，∴y＝g(x)＝2sinx.(3)∵0≤x≤eq\f(π,12)，∴eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,3).∴当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即x＝0时，f(x)min＝2sineq\f(π,6)＝1；当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，即x＝eq\f(π,12)时，f(x)max＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3).综合考法(三)　三角函数性质与变换公式的综合应用[题型技法][例3]　(1)当x＝eq\f(π,4)时，函数y＝f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))是(　　)A．奇函数且当x＝eq\f(π,2)时取得最大值B．偶函数且图象关于点(π，0)对称C．奇函数且当x＝eq\f(π,2)时取得最小值D．偶函数且图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))对称(2)已知函数f(x)＝eq\r(3)sinωxcosωx－cos2ωx－eq\f(1,2)(ω＞0，x∈R)，且函数f(x)的最小正周期为π.①求函数f(x)的对称轴；②将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数g(x)的图象，求函数y＝4g2(x)－12g(x)－1在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,3)))上的最值．[解析]　(1)选C　∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－A，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝－1，∴φ＝eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z，∴y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))＝Asin(－x)＝－Asinx，∴y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－x))是奇函数，且当x＝eq\f(π,2)时取得最小值．(2)①f(x)＝eq\r(3)sinωxcosωx－cos2ωx－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx－eq\f(1,2)cos2ωx－1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,6)))－1.因为f(x)的最小正周期为π，故eq\f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1.故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1，其对称轴满足2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，故其对称轴为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)．②将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度得到函数y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))－\f(π,6)))－1＝sin2x－1的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝sin2x的图象，因此y＝4g2(x)－12g(x)－1＝4sin22x－12sin2x－1.令t＝sin2x，由于2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))，故t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以y＝4t2－12t－1＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2－10，因为当t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))时，函数y＝4t2－12t－1递减，所以当t＝－eq\f(1,2)，即x＝－eq\f(π,12)时，ymax＝6；当t＝1，即x＝eq\f(π,4)时，ymin＝－9.eq\a\vs4\al([方法技巧])(1)研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性时，应先考虑其定义域，若其定义域关于原点对称，则当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数为偶函数；当φ≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)时，函数为非奇非偶函数．(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0)的单调区间时(若ω＜0，可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值)．把ωx＋φ视为一个整体，由A的符号来确定单调性．　　[集训冲关]1．(多选)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期为π，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是(　　)A．函数y＝g(x)的图象的两条相邻对称轴之间距离为eq\f(π,2)B．函数y＝g(x)的图象关于x＝eq\f(11π,12)对称C．函数y＝g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,24)，0))对称D．函数y＝g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))内为减函数解析：由T＝eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝2，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)＋\f(π,6)))＝cos2x＋eq\f(π,6)，函数g(x)的周期T＝eq\f(2π,2)＝π，则y＝g(x)的图象的两条相邻对称轴之间距离为eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，故A正确；geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(11π,12)＋\f(π,6)))＝cos2π＝1，即函数y＝g(x)的图象关于x＝eq\f(11π,12)对称，故B正确；geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,24)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(7π,24)＋\f(π,6)))＝coseq\f(3π,4)≠0，即函数y＝g(x)的图象不关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,24)，0))对称，故C错误；当0＜x＜eq\f(5π,12)时，eq\f(π,6)＜2x＋eq\f(π,6)＜π，此时g(x)为减函数，故D正确．答案：ABD　2．设函数f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx＋cos2ωx，其中0＜ω＜2.(1)若f(x)的最小正周期为π，求f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝eq\f(π,3)，求ω的值．解：(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx＋eq\f(1＋cos2ωx,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).∵f(x)的最小正周期为π，ω＞0，∴eq\f(2π,2ω)＝π.∴ω＝1.∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．(2)∵f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)的一条对称轴为x＝eq\f(π,3)，∴2ω·eq\f(π,3)＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．∴ω＝eq\f(3,2)k＋eq\f(1,2)(k∈Z)．又0＜ω＜2，∴－eq\f(1,3)＜k＜1.∴k＝0.∴ω＝eq\f(1,2).“综合素养 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