题型递推数列求通项公式习题

高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1an1anf(n)解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。1例1.已知数列an满足a，12anan12n1n，求a。n变式:已知数列{an}中a1，且a2k=a2kK,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,⋯⋯.－1+(－1)1（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.类型2an1f(n)anan1fn，利用累乘法(逐商相乘法)求解。解法：把原递推公式转化为()an2n例1:已知数列an满足a，an1an，求an。13n13n1例2:已知3a，an1an(n1)，求an。13n2变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，ana12a23a3(n1)an1(n≥2)，则{an}的通项an1___nn12类型3an1paq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。n解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：()an1tpant，其中tq1p，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列a中，a11，an12an3，求an.n变式:（2006，重庆,文,14）在数列a中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_______________n变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列*a满足a11,an12an1(nN).n（I）求数列a的通项公式；nb11b21b1b*（II）若数列{bn}满足44L4(a1)(nN),证明：数列{bn}是等差数列；nnn（Ⅲ）证明：n1aaan12n*...(nN).23aaa223n1类型4nnan1paq（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）。（或a1parq,其中p，q,r均为常数）。nnn解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以n1q，得：anpa11?引入辅助数列nn1nqqqqb（其中nanb），得：nnqp1bn1bn再待定qq系数法解决。例:已知数列an中，5a,1611n1an1a()，求an。n32变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列a的前n项的和n412n1Sa2，n1,2,3,gggnn333（Ⅰ）求首项a与通项an；（Ⅱ）设T1nn2Sn，n1,2,3,ggg，证明：in1Ti32类型5递推公式为an2pa1qa（其中p，q均为常数）。nn解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为()ansatasa2n1n1n其中s，t满足ssttpq解法二(特征根法)：对于由递推公式2pxqan2pa1qa，a1,a2给出的数列an，方程x0，叫做数列an的特征方程。nn若n1n1x1,x是特征方程的两个根，当x1x2时，数列an的通项为anAxBx，其中A，B由a1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2和212n1,2，代入n1n1anAxBx，得到关于A、B的方程组）；当12n1x1x时，数列an的通项为an(ABn)x，其中A，B由21a1,a2决定（即把a1,a,x,x和n1,2，代入212n1an(ABn)x，得到关于A、B的方程组）。1解法一（待定系数——迭加法）:数列a：3an25an12an0(n0,nN)，a1a,a2b，求数列an的通项公式。n例:已知数列变式:21a中，a11,a22,an2anan，求an。n1331.已知数列an满足*a11,a23,an23an12an(nN).（I）证明：数列aa是等比数列；（II）求数列n1na的通项公式；n（III）若数列bbbb11211*b满足44...4(a1)(nN),证明nnnnb是等差数列n2.已知数列21a中，a11,a22,ananann2133，求an3.已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,L),a11，⑴设数列2(1,2,)bnan1ann，求证：数列bn是等比数列；an⑵设数列,(1,2,)cn，求证：数列cn是等差数列；⑶求数列an的通项公式及前n项和。nn2类型6递推公式为S与an的关系式。(或Snf(an))n解法：这种类型一般利用S(n1)1an与anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn(n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消SS(n2)nn1去a进行求解。n例：已知数列a前n项和n1Sn4a.nn22（1）求an1与an的关系；（2）求通项公式an.（2）应用类型4（nan1paq（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)））的方法，上式两边同乘以nn1得：2n1a2na22n1n1nan22(1)2由12a1S4aa1.于是数列2n是以2为首项，2为公差的等差数列，所以annn11122变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)annn21已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an变式:(2005,江西,文,22．本小题满分14分）13n1n且SS求数列{an}的通项公式.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn3－2=3()(),11,2,22类型7apaanbn1(p1、0，a0)n解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an(1)(n)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为1xnypaxnyanxny是公比为p的等比数列。例:设数列a：a14,an3an12n1,(n2)，求an.n变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛1a｝中，a1、点（n、2a1a）在直线y=x上，其中n=1,2,3⋯nnn2(Ⅰ)令bnan1an3,求证数列bn是等比数列；(Ⅱ)求数列an的通项；(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列an、bn的前n项和,是否存在实数，使得数列STnnn为等差数列若存在试求出不存在,则 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由.类型8ran1pa(p0,an0)n解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为apaqn1，再利用待定系数法求解。n例：已知数列｛a｝中，n12a1,anan(a0)，求数列an的通项公式.11a变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）1已知数列{a}的各项都是正数,且满足:a01,an1an(4an),nN.n2（1）证明anan12,nN;（2）求数列{an}的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，⋯（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)⋯(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；记bn=1anan12，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+23Tn1=1类型9f(n)an解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an1panq。1gnahnna()()nan1a例：已知数列｛an｝满足：an,1，求数列｛an｝的通项公式。13a1n1变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列｛an｝满足：a1＝323na，且an＝n－1（，）n2nN2a＋n－1n－1（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2⋯⋯an2n！112、若数列的递推公式为￥，则求这个数列的通项公式。a3,2(n)1aan1n3、已知数列{a}满足a11,n2时，an1an2an1an，求通项公式。nan1a4、已知数列｛aan｝满足：,1n13a1n1，求数列｛an｝的通项公式。5、若数列｛a｝中，a1=1，an1=n2anan2n∈N，求通项an．类型10an1panranqh解法：如果数列{}a满足下列条件：已知a1的值且对于nN，都有npaqnan1（其中p、q、r、h均为常数，且rahnhphqr,r0,a1），r那么，可作特征方程pxq1x,当特征方程有且仅有一根x0时,则rxhaxn0axn1是等差数列;当特征方程有两个相异的根x1、x2时，则axn2是等比数列。a4n例：已知数列{}a满足性质：对于nN,a1,且a13,求{an}的通项公式.nna23n13a25例：已知数列{}na满足：对于nN,都有a.nna13n（1）若5,a求an;（2）若a13,求an;（3）若a16,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在1变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）1数列{an}满足a11且8an1an16an12an50(n1).记(1).bnn1an2（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.类型11aapnqn1或nnanapq1n解法：这种类型一般可转化为a与a2n是等差或等比数列求解。2n1例：（I）在数列{}a中，a11,an16nan，求an（II）在数列{an}中，nna1,31a，求annan1类型12归纳猜想法解法：数学归纳法变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，⋯（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式类型13双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列11a中，a11；数列bn中，b10。当n2时，an(2ab),bn(a2b)，求an,bn.nn1n1n1n133类型14周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例：若数列12a,(0a)nn2a满足a，若nn112a1,(a1)nn26a，则a20的值为___________。17变式:（2005，湖南,文，5）a3n*已知数列{}a10,anNa满足n()，则a20=（）n13a1nA．0B．3C．3D．32