黄岗中学高考数学二轮复习考点解析10：三角证明与计算的综合考查 20081020_3924882_

考网| 精品资料共享 www.oksha.com 你的分享，大家共享 湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析10：三角证明与计算的综合考查 【考点聚焦】 考点1：同角的三角函数关系式； 考点2：诱导公式； 考点3：和、差、倍角公式 考点4：正弦定理、余弦定理、面积公式。 【考题形式】与倍角公式有关的计算与证明。 【考点小测】 1.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°= =－ ． 2．已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30º)的值为 　－1　 3.如果 ＝ ，且 是第四象限的角，那么 ＝ 解：已知 ；　 4.已知 ∈( , )，sin = ,则tan( )= 解：由 则 ， = ，。 5 已知sinα= ，α∈( ，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_____ _ 6 设α∈( )，β∈(0， )，cos(α－ )= ，sin( +β)= ，则sin(α+β)=______ 7. 已知 =2，则 = ；； = 。 解：（I）∵ tan =2, ∴ ; 所以 = ； （II）由(I), tanα=－ , 所以 = = . 8.（江苏卷） ＝　　 【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值 解： 【典型考例】 【问题1】“拆项”与“添项”巧凑“和角、差角”公式 ★例1★（1） = ；（2） = ★例2★已知： ，求： 的值. 点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量. 【问题2】弦切互化 · 例3★ P44例1 ★例4★ P44例2 P46T5（安徽卷）已知 （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求 的值。 解：(Ⅰ)由 ，得 ，所以 ＝ 。 （Ⅱ）∵ ，∴ 。 【问题3】 与 对偶互化 ★例5★已知 . （I）求sinx－cosx的值； （Ⅱ）求 的值. 思路 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：将sinx-cosx= 平方，求出sinxcosx的值，进而求出（sinx-cosx）2，然后由角的范围确定sinx-cosx的符号. 解法一：（Ⅰ）由 即 又 故 （Ⅱ） EMBED Equation.3 解法二：（Ⅰ）联立方程 由①得 将其代入②，整理得 故 （Ⅱ） 点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力. ★例6★：已知 . 解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 ，　　即 ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故 ② 由①式和②式得 .因此， ，由两角和的正切公式 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得 解得 由 由于 ，故 在第二象限，于是 . 从而 ，以下同解法一. 【问题4】向量与三角小综合 ★例7★已知向量 ， 求 的值. 解法一： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 由已知 ，得 又 　 所以 EMBED Equation.3 解法二： 由已知 ，得 ★例7★．已知 是三角形 三内角，向量 ，且 .（Ⅰ）求角 ；（Ⅱ）若 ，求 . 解：（Ⅰ）∵ ∴ 即 EMBED Equation.DSMT4 , ∵ ∴ ∴ （Ⅱ）由题知 ，整理得 ∴ ∴ ∴ 或 而 使 ，舍去 ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ★例9★．已知向量 ， (1) 求 的值；(2)若 的值。 解：(1)因为 所以 又因为 ，所以 ， 即 ； (2) ，又因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 ★例10★．平面直角坐标系有点 求向量 和 的夹角 的余弦用 表示的函数 ；求 的最值. 解：（1） ， 即 （2） ， 又 ， ， ， . 【问题6】函数与三角小综合 ★例11★已知函数 其中 为参数，且 （I）当 时，判断函数 是否有极值；（II）要使函数 的极小值大于零，求参数 的取值范围；（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 在区间 内都是增函数，求实数 的取值范围。 解：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。满分12分。 （I）解：当 时 则 在 内是增函数，故无极值。 （II）解： 令 得 由 及（I），只需考虑 的情况。 当 变化时， 的符号及 的变化情况如下表： 0 ＋ 0 － 0 ＋ 极大值 极小值 因此，函数 在 处取得极小值 且 要使 必有 可得 所以 （III）解：由（II）知，函数 在区间 与 内都是增函数。 由题设，函数 在 内是增函数，则 须满足不等式组 　　　或 由（II），参数 时， 要使不等式 关于参数 恒成立，必有 综上，解得 或 所以 的取值范围是 课后训练 一、选择题： 1．设函数 图象的一条对称轴方程为 , 则直线 的倾斜角为 A. 　 B. C. D. 2．已知 ，那么 A. B. C. D. 3．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f( )= f( )，则f(x)的解析式可以是 A．f(x)=cosx　　B．f(x)=cos(2x )　　C．f(x)=sin(4x )　　D．f(x) =cos6x 4．把函数 的图象沿向量 的方向平移后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是 A． B． C． D． 5．在 内，使 成立的 的取值范围是 （A）( )　（B）( ) （C）（ ）　（D）( ) 6．函数y=cosx（sinx+cosx）的最小正周期为 A B C D 7．如果 ，且 ，那么 A. B. C. D. 8．已知sin( －x)＝ ，则sin2x的值为（ ）A. B. C. D. 9．函数f(x)＝sin(x＋θ)＋ cos(x＋θ)的图像关于点（5，0）对称，则θ的值是（ ） A.－ －10 B.－ －5 C.2kπ－ －10 D. kπ－ －5 （k∈Z） 10．已知向量 ， （O为原点， ），则向量 的长度的最大值是（ ） A． B．2 C．3 D．4 11．曲线 和直线 在 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则 等于 A． B．2 C．3 D．4 12．已知 中， 分别为角 所对的边，且 ， ， ，则 的面积为（A） （B） （C） （D） 二、填空题： 13． 的三内角 所对边的长分别为 设向量 , ,若 ,则角 = 14．对于函数 ＝ （ ）， 则它的值域为 ; 15．已知sinα＝ ，cos(α＋β)＝－ ，α、β∈（0， ），则sin2β的值为 。 16．定义运算 为： 例如， ,则函数 的值域为 ． 三、解答题： 1．已知 ，求（1） ；（2） 的值. 解：（1） ； (2) . 2．(上海卷)已知 是第一象限的角，且 ，求 的值。 解： = 由已知可得sin , ∴原式= . 3．已知点A(2，0)，B(0，2)，C(cos ，sin )，且0< < 。 (1)若 ，求 与 的夹角；(2)若 ，求tan 的值。 解：∵(1)， ∴ 又 ，∴ 又 ，∴ 与 的夹角为 . (5分) (2) ， ∵ ，∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又由 及 得 由①② ， ∴ 。 4．已知A (3，0)，B (0，3)，C ①若 =－1,求的值； ②若 ,且∈(0,),求 与 的夹角. 解答:(1)=(－3,),=(,－3),∴由·=－1, 得(－3)+(－3)=－1,∴+=,两边平方,得1+=,∴=－ (2)=(3+,),∴(3+)2+=13, ∴=,∵∈(0,π), ∴==, ∴, 设与的夹角为,则=,∴　=即为所求. 5．已知向量 ， ．（Ⅰ）当 ，且 时，求 的值； （Ⅱ）当 ，且 ∥ 时，求 的值． 解：（Ⅰ）当 时， ， ， 由 ， 得 ， 上式两边平方得 ，因此， ． （Ⅱ）当 时， ，由 ∥ 得 ． 即 ． ， EMBED Equation.3 或 ． 6.（安徽卷）已知 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值。 解：(Ⅰ)由 得 ，即 ， 又 ，所以 为所求。 （Ⅱ） = = = = 。 7．（北京卷）已知函数 ， （Ⅰ）求 的定义域； （Ⅱ）设 是第四象限的角，且 ，求 的值. 解：（1）依题意，有cosx(0，解得x(k(＋ ，即 的定义域为｛x|x(R，且x(k(＋ ，k(Z｝ （2） ＝－2sinx＋2cosx( ＝－2sin(＋2cos( 由 是第四象限的角，且 可得sin(＝－ ，cos(＝ ( ＝－2sin(＋2cos(＝ 8. （天津卷）已知 ， ．求 和 的值． 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。 解法一：由 得 则 因为 所以 解法二：由 得 解得 或 由已知 故舍去 得 因此， 那么 且 故 EMBED Equation.DSMT4 ①② PAGE 1 Page 1 of 12 _1211442671.unknown _1211449414.unknown _1212065984.unknown _1213790192.unknown _1213792692.unknown _1213793252.unknown _1213793260.unknown _1234608546.unknown _1234608569.unknown _1234609427.unknown _1235157491.unknown _1234609404.unknown 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