18 中学数学教学 2006年第6期
上 ／＼ 根木棒能搭成三棱锥的一个充要条件
湖北省英山一中 王胜林 程煜生 (邮编 438700)
文[1]研究了用六根木棒能否搭成三棱锥的问题，
其研究的方法是转化为“求三棱锥在已知五条棱相对
位置固定的情况下，第六条棱的范围问题”，并认为“不
能简单地以平面图形中三角形三边间关系来判断三棱
锥是否存在．”
笔者发现，若将平面几何中三角形三边间关系类
比推广到空间，即可较快地解决这类问题．
由三根木棒首尾相接可搭成三角形的充要条件 ，
是任意两边之和大于第三边．类比可得．
定理 三组长度为nl，口2；b1，b2}c1，c2的线段可分
别作为四面体三组对棱的一个充要条件 ，是任何两组
线段长度的平方和大于第三组长度的平方和，即
r(口l + 2 )+ (6l + b2 )> l + c2
(6l 十b2 )+ (cl + f2 )> nl + 口2 ． (I)
{(cl +c2 )+(口l +n2 )>bl +b2
证明 构造一个平行六面体 ，使各面上的一条对
角线恰好为四面体的各棱，则问题等价于该平行六面
体存在的充要条件．
如右图，设此平行六面体的相邻三
棱长为 ， ， ，则问题等价于下列方程
组有实数解：
{
。 。 “
+ y )一 口J + 口2
+ )一 bl + b2
+ )一 fl +C2
f 一÷[(nl +啦 )+(fl 十Q )一(6l + )] i
·
= ÷[ +啦 )二卜(6l +岛 )一(Q +如 )](Ⅱ) I
I =÷[( + )+(n +c2“一(口l +n2 )] 【
方程组(Ⅱ)有实解的充要条件为方程组(I)．
在具体运用这个定理解题时，只需先求出三组对
棱的平方和，然后判断这三者可否构成三角形即可．
如文[13之
例题
求函数的导数例题eva经济增加值例题计算双重否定句的例题20道及答案立体几何例题及答案解析切平面方程例题
{
有6根细木棒，其中较长的两根长度分别为√ ，
，其余 4根长度为n，用它们搭成三棱锥 ，则其中两
根较长的棱所在直线所成角的余弦值是多少?
简解 当两根较长的木棒为一组对棱时，三组对
棱的平方和为 2口2，2口 ，5n ，构不成三角形，故此时不
合题意．
当两根较长的木棒不是一组对棱时。三组对棱的
平方和为 2n 。3n ，4n ，可构成三角形．进而知可构成
三棱锥。此时所求的角就是以√ ，√ ，n为三边的三角
． 厅
形中n边所对的角，易求得其余弦值为 ．
0
参考文献
1 常立新．用六根未棒能否搭戍三棱锥问题的解
法探讨．中学数学教学，2004(4)． ’
1 ● 1 ● h● ● ● 1¨● ● ● 。 ¨● 1¨● ill-● 1 4·● 1 ● 。● ● ● r ● ● ● ●
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