高考数学易错题举例解析

快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM 最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数学易错 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 举例解析 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 · 忽视等价性变形，导致错误。 EQ \B\LC\{(\A\AL( x>0, y>0)) ( EQ \B\LC\{(\A\AL( x + y>0, xy>0)) ，但 EQ \B\LC\{(\A\AL( x>1, y>2)) 与 EQ \B\LC\{(\A\AL( x + y>3, xy>2)) 不等价。 【例1】已知f(x) = ax + EQ \F(x,b) ，若 求 的范围。 错误解法 由条件得 ②×2－① ①×2－②得 + 得 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ，其值是同时受 制约的。当 取最大（小）值时， 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有 , 解得： 把 和 的范围代入得 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设 是方程 的两个实根，则 的最小值是 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得： 有的学生一看到 ，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根 ，∴ ( 当 时， 的最小值是8； 当 时， 的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 (2) 已知(x+2)2+ EQ \F(y2,4) =1, 求x2+y2的取值范围。 错解 由已知得 y2=－4x2－16x－12，因此 x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+ )2+ ， ∴当x=－ EQ \F(8,3) 时，x2+y2有最大值 EQ \F(28,3) ，即x2+y2的取值范围是(－∞, EQ \F(28,3) ]。 分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 事实上，由于(x+2)2+ EQ \F(y2,4) =1 ( (x+2)2=1－ EQ \F(y2,4) ≤1 ( －3≤x≤－1， 从而当x=－1时x2+y2有最小值1。∴ x2+y2的取值范围是[1, EQ \F(28,3) ]。 注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。 ●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。 【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ EQ \F(1,a) )2+(b+ EQ \F(1,b) )2的最小值。 错解 (a+ )2+(b+ )2=a2+b2+ + +4≥2ab+ +4≥4 +4=8, ∴(a+ )2+(b+ )2的最小值是8. 分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b= ,第二次等号成立的条件是ab= ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。 事实上，原式= a2+b2+ + +4=( a2+b2)+( + )+4=[(a+b)2－2ab]+[( + )2－ ]+4 = (1－2ab)(1+ )+4， 由ab≤( )2= 得：1－2ab≥1－ = , 且 ≥16，1+ ≥17， ∴原式≥ ×17+4= (当且仅当a=b= 时，等号成立)， ∴(a + )2 + (b + )2的最小值是 EQ \F(25,2) 。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】(1)已知数列 的前 项和 ，求 错误解法 错误分析 显然，当 时， 。 错误原因：没有注意公式 成立的条件是。 因此在运用 时，必须检验 时的情形。即： 。 (2)实数 为何值时，圆 与抛物线 有两个公共点。 错误解法 将圆 与抛物线 联立，消去 ， 得 ① 因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 ， 解之得 错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当 时，圆与抛物线有两个公共点。 要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。 当方程①有一正根、一负根时，得 解之，得 因此，当 或 时，圆 与抛物线 有两个公共点。 思考题：实数 为何值时，圆 与抛物线 ， (1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。 ●以偏概全，导致错误 以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。 【例5】(1)设等比数列 的全 项和为 .若 ，求数列的公比 . 错误解法 EMBED Equation.3 ， 。 错误分析 在错解中，由 ， 时，应有 。 在等比数列中， 是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比 的情况，再在 的情况下，对式子进行整理变形。 正确解法 若 ，则有 但 ，即得 与题设矛盾，故 . 又依题意 ( ( ,即 因为 ，所以 所以 解得 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 而痛失2分。 (2)求过点 的直线，使它与抛物线 仅有一个交点。 错误解法 设所求的过点 的直线为 ，则它与抛物线的交点为 ，消去 得 整理得 直线与抛物线仅有一个交点， 解得 所求直线为 错误分析 此处解法共有三处错误： 第一，设所求直线为 时，没有考虑 与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。 第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。 第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。 正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 轴，因为过点 ，所以 即 轴，它正好与抛物线 相切。 ②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行 轴，它正好与抛物线 只有一个交点。 ③一般地，设所求的过点 的直线为 EMBED Equation.3 ,则 ， EMBED Equation.3 令 解得k = EQ \F(1,2) ,∴ 所求直线为 综上，满足条件的直线为： 《章节易错训练题》 1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M∩N中元素个数是 A(集合元素的确定性) (A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D) 0或1或2 2、已知A = EQ \B\BC\{(x \B\LC\|( x2 + tx + 1 = 0)) ，若A∩R* = ( ，则实数t集合T = ___。 (空集) 3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号) (A) －1≤k≤0 (B) －1≤k<0 (C) －10,\F(x,x－1) x≤0)) ， f (x)的反函数f －1(x)= 。 x,x－1) EQ \B\LC\{(\A\AL( 2x－2 x>1, 0≤x<1)) （漏反函数定义域即原函数值域） 11、函数 f (x) = log EQ \S\DO8(\F(1,2)) (x 2 + a x + 2) 值域为 R，则实数 a 的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0) (A) (－2 EQ \R(2) ,2 EQ \R(2) ) (B) [－2 EQ \R(2) ,2 EQ \R(2) ] (C) (－(,－2 EQ \R(2) )∪(2 EQ \R(2) ,+() (D) (－(,－2 EQ \R(2) ]∪[2 EQ \R(2) ,+() 12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值为B(隐含条件) （A）2 （B） EQ \F(3,4) （C） EQ \F(2,3) （D）0 13、函数y= 的值域是________。(－∞, )∪( ,1)∪(1,+∞) （定义域） 14、函数y = sin x (1 + tan x tan EQ \F(x,2) )的最小正周期是​​C （定义域） (A) EQ \F((,2) (B) ( (C) 2( (D) 3 15、已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当 x ( [0,1) 时，f (x) = 2 x，则 f (log EQ \S\DO8(\F(1,2)) 23) = D(对数运算) (A) EQ \F(23,16) (B) EQ \F(16,23) (C) － EQ \F(16,23) (D) － EQ \F(23,16) 16、已知函数 在 处取得极值。 （1）讨论 和 是函数 的极大值还是极小值； （2）过点 作曲线 的切线，求此切线方程。(2004天津) （求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。） 17、已知tan ((－ EQ \F((,3) )= － 3) EQ \F(,5) 则tan ( = ； EQ \F(sin ( cos ( ,3cos 2( －2sin 2( ) = 。3) EQ \F(,2) 、3) EQ \F(,3) （化齐次式） 18、若 3 sin 2( + 2 sin 2( －2 sin ( = 0，则cos 2( + cos 2( 的最小值是 __ 。 EQ \F(14,9) (隐含条件) 19、已知sin( + cos( = EQ \F(1,5) ，( ( (0，()，则cot( = _______。－ EQ \F(3,4) (隐含条件) 20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、 、 ，则∠B = B(隐含条件) （A） （B） （C） （D） 21、已知a>0 , b>0 , a+b=1，则(a + EQ \F(1,a) )2 + (b + EQ \F(1,b) )2的最小值是_______。 EQ \F(25,2) (三相等) 22、已知x ≠ k( (k ( Z)，函数y = sin2x + EQ \F(4,sin2x) 的最小值是______。5（三相等） 23、求 的最小值。 错解1 错解2 错误分析 在解法1中， 的充要条件是 即 这是自相矛盾的。 在解法2中， 的充要条件是 这是不可能的。 正确解法1 其中，当 EMBED Equation.3 正 确 解 法2 取正常数 ，易得 EMBED Equation.3 其中“ ”取“＝”的充要条件是 因此，当 EMBED Equation.3 24、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n－1(n≥2)，则an = ________。2n－1(认清项数) 25、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列， 则 b2 (a2－a1) = A(符号) (A) －8 (B) 8 (C) － EQ \F(9,8) (D) EQ \F(9,8) 26、已知 {an} 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列吗？ 当q = －1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列； 当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。 （忽视公比q = －1） 27、已知定义在R上的函数 和数列 满足下列条件： ，f(an)－f(an－1) = k(an－an－1)(n = 2,3,┄)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令 EMBED Equation.3 ，证明数列 是等比数列；（2）求数列 的通项公式；（3）当 时，求 。(2004天津) （等比数列中的0和1，正确分类讨论） 28、不等式m2－(m2－3m)i< (m2－4m + 3)i + 10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件) 29、i是虚数单位， eq \f((－1+i)(2+i),i3)的虚部为（ ）C(概念不清) (A) －1 (B) －i (C) －3 (D) －3 i 30、实数 ，使方程 至少有一个实根。 错误解法 方程至少有一个实根， ( 或 错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。 正确解法 设 是方程的实数根，则 由于 都是实数， ,解得 31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________。 ( EQ \F(3,5) ，－ EQ \F(4,5) )或(－ EQ \F(3,5) ， EQ \F(4,5) )；( EQ \F(4,5) ， EQ \F(3,5) )或(－ EQ \F(4,5) ，－ EQ \F(3,5) )(漏解) 32、将函数y= 4x－8的图象L按向量a平移到L/，L/的函数表达式为y= 4x，则向量a=______。 a = (h，4h+8) (其中h ( R)(漏解) 33、已知 | |＝1，| |＝，若//，求·。 ①若，共向，则 ·＝| |•| |＝ ， ②若，异向，则·＝－| |•| |＝－ 。(漏解) 34、在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC = a，则正三棱锥A－BCD的体积为____________。2) EQ \F(,24) a3 (隐含条件) 35、在直二面角 (－AB－( 的棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在 (、( 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC、PD，那么∠CPD的大小为D(漏解) (A) 45( (B) 60( (C) 120( (D) 60( 或 120( 36、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 （1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD； （3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津) (条件不充分(漏PA ( 平面EDB， 平面PDC，DE∩EF = E等)；运算错误，锐角钝角不分。) 37、若方程 EQ \F(x 2,m ) + y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0，1)∪(1，+ ()(漏解) 38、已知椭圆 EQ \F(x 2,m ) + y 2 = 1的离心率为 EQ \F(\R(3),2) ，则 m 的值为 ____ 。4 或 EQ \F(1,4) (漏解) 39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组成的三角形的周长为 4 + 2 EQ \R(3) 且∠F1BF2 = EQ \F(2(,3)，则椭圆的方程是 。 EQ \F(x 2,4) + y 2 = 1或x 2 + EQ \F(y 2,4) = 1(漏解) 40、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 ，相应于焦点F（c，0）（ ）的准线 与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若 ，求直线PQ的方程； （3）设 （ ），过点P且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点M，证明 。(2004天津) (设方程时漏条件a> EQ \R(2) ，误认短轴是b = 2 EQ \R(2) ；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。) 41、 已知双曲线的右准线为 ，右焦点 ,离心率 ,求双曲线方程。 错解1 故所求的双曲线方程为 错解2 由焦点 知 EMBED Equation.3 故所求的双曲线方程为 错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。 正解1 设 为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为 ，右焦点 ，离心率 ，由双曲线的定义知 整理得 正解2 依题意，设双曲线的中心为 , 则 解得 ,所以 故所求双曲线方程为 42、求与 轴相切于右侧，并与⊙ 也相切的圆的圆心 的轨迹方程。 错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为 设点 为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与 轴相切于M点， 与⊙C相切于N点。根据已知条件得 ，即 ，化简得 错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以 轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以 也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2 = 12x(x>0)和 。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。 43、（如图3－2－2），具有公共 轴的两个直角坐标平面 和 所成的二面角 等于 .已知 内的曲线 的方程是 ，求曲线 在 内的射影的曲线方程。 错误解法 依题意，可知曲线 是抛物线， 在 内的焦点坐标是 因为二面角 等于 ， 且 所以 设焦点 在 内的射影是 ，那么， 位于 轴上， 从而 所以 所以点 是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线 在 内的射影的曲线方程是 错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)的焦点，其次，没有证明默认C/在( 内的射影(曲线)是一条抛物线。 正确解法 在 内，设点 是曲线上任意一点 （如图3－2－3）过点 作 ，垂足为 ， 过 作 轴，垂足为 连接 ， 则 轴。所以 是二面角 的平面角，依题意， EMBED Equation.3 . 在 又知 轴（或 与 重合）， 轴（或 与 重合），设 ， 则 因为点 在曲线 上，所以 即所求射影的方程为 44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴 在轴上，离心率 ，已知点 到这个椭圆上的最远距离是 ，求这个椭圆的方程。 错误解法 依题意可设椭圆方程为 则 ， 所以 ，即 设椭圆上的点 到点 的距离为 ， 则 所以当 时， 有最大值，从而 也有最大值。 所以 ，由此解得： 于是所求椭圆的方程为 错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当 时， 有最大值，这步推理是错误的，没有考虑 到的取值范围。事实上，由于点 在椭圆上，所以有 ，因此在求 的最大值时，应分类讨论。即： 若 ，则当 时， （从而 ）有最大值。 于是 从而解得 所以必有 ，此时当 时， （从而 ）有最大值， 所以 ，解得 于是所求椭圆的方程为 数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。 H N M 图3－2－3 � EMBED Equation.3 ���· � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� O � EMBED Equation.3 ��� 图3－2－2 � EMBED Equation.3 ���· � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� O � EMBED Equation.3 ��� N M 图3－2－1 O x y · C(3,0) ·P 图2－2－1 O y x 图2－2－2 O y x � PAGE 快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM 最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM _1048007995.unknown _1048360681.unknown _1049910217.unknown _1051123259.unknown 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