取整
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数的定义和性质编号：________________一、取整函数的定义和性质1、取整函数函数$y=\left[x\right]$称为取整函数，也称高斯函数。其中不超过实数$x$的最大整数称为$x$的整数部分，记作$\left[x\right]$。该函数被广泛应用于数论，函数绘图和计算机领域。记对应法则为$f：x\mapsto$不超过$x$的最大整数。显然，$f$是定义在全体实数集$\mathbf{R}$的函数，而函数值是离散的，这个函数即为取整函数。为了方便，用$\left[x\right]$
表
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示不超过$x$的最大整数，所以函数$f$又可记为$y=f(x)=\left[x\right]$，$x∈\mathbf{R}$。一般有$\left[x\right]\leqslantx2、取整函数的性质性质1：对任意$x∈\mathbf{R}$，均有$x-1性质2：对任意$x∈\mathbf{R}$，$y=\left[x\right]$的值域为$\mathbf{Z}$。性质3：取整函数(高斯函数）是一个不减函数，即$\forallx_1，x_2∈\mathbf{R}$，$x_1性质4：若$n∈\mathbf{Z}，x∈\mathbf{R}$，则有$\left[x+n\right]$=$n+\left[x\right]$，$\{x+n\}$=$\{x\}$，后一式子表明$y=\{x\}$是一个以任意非零整数为周期的周期函数。性质5：若$x，y∈\mathbf{R}$，则有$\left[x\right]$+$\left[y\right]\leqslant$$\left[x+y\right]$$\leqslant$$\left[x\right]$+$\left[y\right]$+1。性质6：若$n∈\mathbf{N^+}$，$x∈\mathbf{R}$，则$\left[nx\right]$$\geqslant$$n\left[x\right]$。性质7：若$n∈\mathbf{N^+}$，$x$>1，则在区间$\left[1,x\right]$内恰好有$\left[\frac{x}{n}\right]$个整数是$n$的倍数。性质8：设$p$为质数，$n∈\mathbf{N^+}$，则$p$在$n！$的质因数分解式中的幂次为$p(n!)$=$\left[\frac{n}{p}\right]$+$\left[\frac{n}{p^2}\right]$+$\cdots$性质9：厄米特恒等式$\left[x\right]$+$\left[x+\frac{1}{n}\right]$+$\left[x+\frac{2}{n}\right]$+$\cdots$+$\left[x+\frac{n-1}{n}\right]$=$\left[nx\right]$$\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}$+$\begin{Bmatrix}x+\dfrac{1}{n}\end{Bmatrix}$+$\begin{Bmatrix}x+\dfrac{2}{n}\end{Bmatrix}$+$\cdots$+$\begin{Bmatrix}x+\dfrac{n-1}{n}\end{Bmatrix}$=$\begin{Bmatrix}nx\end{Bmatrix}$=$\frac{n-1}{2}$二、取整函数的相关例
题
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近代世界三大数学家之一高斯发明了取整函数，设$x∈\mathbf{R}$，用$\left[x\right]$表示不超过$x$的最大整数，则$y=\left[x\right]$称为取整函数，例如：$\left[-3.5\right]$=-4，$\left[2.1\right]$=2，已知函数$f(x)$=$\frac{3^{x+1}}{1+3^x}-\frac{1}{3}$，则$y=\left[f(x)\right]$的值域是___A．$\{0,1\}$B．$\{-1,1\}$C．$\{-1,0,1\}$D．$\{-1,0,1,2\}$
答案
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：D解析：$f(x)$=$\frac{3^{x+1}}{1+3^x}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{3(3^x+1)-3}{1+3^x}$-$\frac{1}{3}$=3-$\frac{3}{1+3^x}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$-$\frac{3}{1+3^x}∈$$\left(-\frac{1}{3},\frac{8}{3}\right)$。∴当$x∈\left(-\frac{1}{3},0\right)$时，$y=\left[f(x)\right]$=-1；当$x∈\left[0,1\right)$时，$y=\left[f(x)\right]$=0；当$x∈\left[1,2\right)$时，$y=\left[f(x)\right]$=1；当$x∈\left[2,\frac{8}{3}\right)$时，$y=\left[f(x)\right]$=2。∴函数$y=\left[f(x)\right]$的值域是$\{-1,0,1,2\}$。故选：D。
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