第33讲 概率与初步【知识梳理】
知识点
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一：确定事件与不确定事件的有关概念1．必然事件：一定会发生的事件叫做必然事件．2．不可能事件：一定不会发生的事件叫做不可能事件．3．确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件．4．不确定事件：可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件，也叫做随机事件或偶然事件．重点：把握确定事件和不确定事件的概念。难点：把握确定事件和不确定事件的概念。知识点二： 概率及计算1．概率：一个事件发生的可能性的大小，可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个事件发生的概率．2．用频率估计概率：在进行实验的时候，当实验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近．我们可以通过多次实验用一个事件的频率来估计这一事件的概率.3.概率的计算方法及公式公式：P(E)＝方法：(1)画树状图法；(2)列表法．4．概率的范围一般地，当事件E为必然事件时，P(E)＝1；当事件E为不可能事件时，P(E)＝0；当事件E为不确定事件时，P(E)在0与1之间．总之，任何事件E发生的概率P(E)都是0和1之间(包括0和1)的数，即0≤P(E)≤1.重点：了解并把握概率的几个概念。难点：能结合计算方法计算概率。知识点三：用树状图或列表计算概率1．画树状图是列举随机事件的所有可能结果的重要方法，通过树状图，把所有可能的结果一一列出，有利于帮助我们分析问题，并且可以避免出现重复和遗漏，既形象直观又条理分明．2．列表法也是列举随机事件的所有可能结果的一个重要的方法：(1)为了准确地画树状图或列表往往需要“编号”；(2)列表法是画“树状图”的必要补充．重点：画树状图和列表计算概率。难点：画树状图和列表计算概率。【考点解析】考点一：确定事件与不确定事件【例题1】（2016·四川攀枝花）下列说法中正确的是（ ）A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B．“x2＜0（x是实数）”是随机事件C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上D．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件．【专题】探究型．【分析】根据选项中的事件可以分别判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：选项A中的事件是随机事件，故选项A错误；选项B中的事件是不可能事件，故选项B错误；选项C中的事件是随机事件，故选项C正确；选项D中的事件应采取抽样调查，普查不合理，故选D错误；故选C．【点评】本题考查概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件，解题的关键是明确概率的意义，根据实际情况选择合适的调查方式．考点二、简单随机事件的概率【例1】（2017•宁德）甲、乙两位同学参加物理实验考试，若每人只能从A、B、C、D四个实验中随机抽取一个，则甲、乙两位同学抽到同一实验的概率为 ．【考点】X6：列表法与树状图法．【专题】11：计算题；543：概率及其应用．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两位同学抽到同一实验的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：列表如下： A B C D A AA BA CA DA B AB BB CB DB C AC BC CC DC D AD BD CD DD所有等可能的情况有16种，其中甲乙两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，DD，4种情况，则P==，故
答案
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为：【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比． 【中考热点】【达标检测】一选择题：1.（2017•黑龙江）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是 ．【考点】X4：概率公式．【分析】根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，用红球的个数除以总个数，求出恰好摸到红球的概率是多少即可．【解答】解：∵袋子中共有8个球，其中红球有3个，∴任意摸出一球，摸到红球的概率是，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．2.（2017黑龙江佳木斯）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球 5 个．【考点】X4：概率公式．【分析】设这个袋子中有红球x个，根据已知条件列方程即可得到结论．【解答】解：设这个袋子中有红球x个，∵摸到红球的概率是，∴=，∴x=5，故答案为：5．3.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算|x﹣4|，则其结果恰为2的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法；绝对值；概率的意义．【分析】先求出绝对值方程|x﹣4|=2的解，即可解决问题．【解答】解：∵|x﹣4|=2，∴x=2或6．∴其结果恰为2的概率==．故选C．4.如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】概率公式；利用轴对称
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
图案．【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有4个情况，∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．故选B．二填空题：4.如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】根据正方形表面展开图的结构即可求出判断出构成这个正方体的表面展开图的概率．【解答】解：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示，从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有7种情况，而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G，∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是，故选（A）【点评】本题考查概率，解题的关键是熟识正方体表面展开图的结构，本题属于中等题型．5.一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 \frac{2}{5} ．【考点】概率公式．【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：∵一个袋中装有两个红球、三个白球，∴球的总数=2+3=5，∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率=．故答案为：．6.从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k=mn，则正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是 ．【分析】根据题意先画出图形，求出总的情况数，再求出符合条件的情况数，最后根据概率公式进行计算即可．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种情况，∵正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限，∴k＞0，∵k=mn，∴mn＞0，∴符合条件的情况数有2种，∴正比例函数y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是=；故答案为：．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是 ．【考点】列表法与树状图法；坐标确定位置．【专题】计算题．【分析】先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再根据第二象限点的坐标特征找出点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4，所以点P（a，b）在平面直角坐标系中第二象限内的概率==．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了坐标确定位置．8.一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为 ．【考点】列表法与树状图法．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．【解答】解：列表得， 黑1 黑2 白1 白2 黑1 黑1黑1 黑1黑2 黑1白1 黑1白2 黑2 黑2黑1 黑2黑2 黑2白1 黑2白2 白1 白1黑1 白1黑2 白1白1 白1白2 白2 白2黑1 白2黑2 白2白1 白2白2∵由表格可知，不放回的摸取2次共有16种等可能结果，其中两次摸出的小球都是白球有4种结果，∴两次摸出的小球都是白球的概率为：=，故答案为：．三解答题：9.（2017•温州）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VC：条形统计图．【专题】11：计算题．【分析】（1）利用样本估计总体，用480乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出他和小慧被分到同一个班的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）480×=90，估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数为90人；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2，所以他和小慧被分到同一个班的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．\10.（2017乌鲁木齐）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）： 步数 频数 频率 0≤x＜4000 8 a 4000≤x＜8000 15 0.3 8000≤x＜12000 12 b 12000≤x＜16000 c 0.2 16000≤x＜20000 3 0.06 20000≤x＜24000 d 0.04请根据以上信息，解答下列问题：（1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图；（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．【分析】（1）根据频率=频数÷总数可得答案；（2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数可得答案；（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2，补全频数分布直方图如下：（2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340，答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有11340名；（3）设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，画树状图如下：由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为=．
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