6.3.3 平面向量加、减运算的坐标
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示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示激趣诱思知识点拨知识点一、平面向量运算的坐标表示平面向量的坐标运算法则:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则 文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a+b=(x1+x2,y1+y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa=(λx1,λy1)向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测向量坐标运算的应用分析(1)可直接设点M,N的坐标,通过已知条件列方程组求解;也可将题中所给向量式中向量的起点全都转化为以原点O为起点,再利用其终点坐标就是向量坐标这一性质求解.(2)可利用平面向量基本定理建立等量关系,代入坐标利用向量相等得到参数的值.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测共线向量的判断与证明激趣诱思知识点拨微练习(1)若a=(3,-2),b=(-1,4),则2a+3b= .
答案
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:(1)(3,8) (2)(2,10) (-2,-10)激趣诱思知识点拨知识点二、平面向量共线的坐标表示名师点析若a,b(b≠0)共线,则可设a=tb(t∈R),转化为坐标即为即对应坐标成比例.若再转化为更一般的情况,可得:a1b2-a2b1=0.这是两向量共线坐标条件的一般化表示,适用于任意两向量共线.前提条件a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0结论向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y2-x2y1=0激趣诱思知识点拨微思考平面向量共线定理的
内容
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是什么?提示:向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.微练习(1)下列各组向量中,共线的是( )A.a=(1,2),b=(4,2) B.a=(1,0),b=(0,2)C.a=(0,-2),b=(0,2) D.a=(-3,2),b=(-6,-4)(2)若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x= . 解析:(1)C选项中,b=-a,所以a与b共线,其余各组向量均不共线.(2)因为两个向量共线,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6.答案:(1)C (2)-6探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测1.已知a=(-3,2),b=(2,3),则2a-3b等于( )A.(-12,5) B.(12,5) C.(-12,-5) D.(12,-5)解析:2a-3b=2(-3,2)-3(2,3)=(-6,4)-(6,9)=(-12,-5).答案:C探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟向量坐标运算要注意的问题(1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.(2)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(3)向量线性运算的坐标表示可完全类比数的运算进行.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:A探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测激趣诱思知识点拨卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向,为了便于分析,如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢?探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测向量的坐标运算分析(1)可直接运用坐标运算法则进行计算.(2)应先求出相关向量的坐标,再运用法则计算.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:因为a=(-1,x),b=(x-2,-3),所以2a+b=(x-4,2x-3),3a-2b=(-2x+1,3x+6).因为向量2a+b与向量3a-2b共线,所以(x-4)(3x+6)=(2x-3)(-2x+1),整理得x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.故实数x的值是3或-1.反思感悟根据向量共线求参数值的
方法
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根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0或(y1y2≠0)直接求解.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测延伸探究本例中,若已知“向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向”,如何求实数x的值?解:(方法一)由题意可知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)共线,则有(-1)×(-3)=x(x-2),即x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.当x=3时,a=(-1,3),b=(1,-3),这时a=-b,a与b反向;当x=-1时,a=(-1,-1),b=(-3,-3),这时3a=b,a与b同向,故实数x的值为3.(方法二)因为向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向,所以设a=λb(λ<0),即(-1,x)=λ(x-2,-3),因为λ<0,所以取x=3,故实数x的值为3.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测2.定比分点的坐标表示探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测2.(多选题)下列各组向量中,不能作为基底的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,1)B.e1=(1,2),e2=(-2,1)D.e1=(2,6),e2=(-1,-3)解析:A,C,D中向量e1与e2共线,不能作为基底;B中e1,e2不共线,所以可作为一组基底.答案:ACD探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:(7,5)4.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ的值为 . 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:4探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测(1)点P在第一、第三象限角平分线上?(2)点P在第三象限内?探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测
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