高考全国甲卷：《文科数学》2021年考试真题与答案解析

高考精品文档高考全国甲卷文科数学·2021年考试真题与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《文科数学》2021年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合M={1，3，5，7，9}.N={x|2x>7}，则M∩N=（）A.{7，9}B.{5，7，9)C.{3，5，7，9}D.{1，3，5，7，9}答案：B2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%-1-C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间答案：C3．已知(1-i)2z=3+2i，则z=（）3A.-1-i23B.-1+i23C.-+i23D.--i2答案：B4．下列函数中是增函数的为（）A.f(x)=-xx2B.f(x)=3C.f(x)=x2D.f(x)=3x答案：Dx2y25．点(3，0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为（）1699A.5-2-8B.56C.54D.5答案：A6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 测量。通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足퐿=5+lg푉。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）(1010≈1.259)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案：C7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G，该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是A、-3-B.C.D.答案：A8.在∆ABC中，已知퐵=120°,퐴퐶=19,퐴퐵=2,则퐵퐶=（）A.1B.2C.5D.3答案：D9.记푆푛为等比数列{푎푛}的前n项和。若푆2=4,푆4=6，则푆6=（）A.7B.8C.9D.10答案：A10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）-4-A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8答案：Cπcosα11、若α∈(0，)，α=，则tanα=（）2tan22-sinα15A.155B.55C.3D.153答案：A11512.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=f(-x)。若f(-)=，则f()=（）3335A.-31B.-31C.35D.3答案：B-5-二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若向量a，b满足|a|=3，|a-b|=5，a·b=1，则|b|=________.答案：3214.已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________.答案：51ππ15.已知函数f(x)=2()的部分图像如图所示，则f()=____________.cosωx+ϕ2答案：﹣3푥2푦216.已知퐹,퐹为椭圆C：+=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|12164=|퐹1퐹2|，则四边形P퐹1Q퐹2的面积为_________.答案：8三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、第17~21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答。(一)必考题-6-17.甲、乙两台机床生产同种产品产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握为机品质量与乙机床的产品质量有差异?22n(ad―bc)附：K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001푘3.8416.63510.828答案：（1）解答如下；答案（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：150÷200=3/4乙机床生产的产品中一级品的频率是：120÷200=3/5（2）解答如下；400∗(150∗80―50∗120)2400由于퐾2=10256>6635。=270∗130∗200∗20039≈..所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。18.记푆푛，为数列{푎푛}的前n项和，已知푎푛，>0，푎3=3푎1。且数列{푆푛}是等差数列，-7-证明：{푎푛}是等差数列.答案：证明如下；因为푆푛是等差数列，得a2=3a1；有푆2―푆1=4푎1―푎1=푎1，即{Sn}的公差为푎1。所以푆푛=푆1+(푛―1)푎1=푛푎1。2所以Sn=na1。当n=1时，a1=a1；22当n≥2时，Sn=na1；Sn-1=(n-1)a1；所以an=(2n+1)a1。所以{an}是等差数列。19.已知直三棱柱ABC-퐴1퐵1퐶1中，侧面，A퐴1퐵1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和C퐶1的中点，BF⊥퐴1퐵1，-8-(1)求三棱锥F﹣EBC的体积：(2)已知D为棱퐴1퐵1上的点，证明：BF⊥DE.答案：（1）解答如下；由直三棱柱ABD﹣A1B1C1知，A1B2∥AB，CC1⊥平面ABC；因为BF⊥A1B1，所以BF⊥AB，因为平面AA1B1B是正方形，所以AB⊥BB1，AB=BB1=2。因为BF∩BB1=B，所以AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BC。在Rt△ABC中，因为E是AC中点，故AB=BC=2。1所以S=S=1。△BEC2△ABC由F是CC1中点，所以CF=0.5CC1=0.5BB1=1。11所以V=S×CF=。F-EBC3△BEC3（2）解答如下；连接A1E、B1E、A1F，1则AE=퐴퐴2+퐴퐸26，AF=퐴퐶2+퐶퐹2=3，EF=AC=3。11=111121222所以A1E+EF=A1F，所以A1E⊥EF。由（1）在Rt△ABC中，E是中点，-9-所以BE⊥AC；因为平面AA1C1C垂直平面ABC，且平面AA1C1C∩平面ABC=AC，所以BE⊥平面AA1C1C，BE⊥A1E。因为EF∩BE=E，所以A1E⊥平面BEF，所以A1E⊥BF。又BF⊥A1B1，所以A1B1∩A1E=A，所以BF⊥平面A1EB1。因为DE包含于平面A1EB1，所以BF⊥DE。证毕。20.设函数f(x)=푎2푥2+푎푥―3푙푛푥+1，其中a>0。（1）讨论f(x)的单调性；（2）若y=f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围。答案：（1）解答如下；3对f(x)求导得：f´(x)=2a2x+a﹣，（x＞0）；푙푛푥1令f´(x)＞0，则x＞，푎1令f´(x)＜0，则0＜x＜，푎11所以f(x)的增区间为(∞)，减区间为(0,)。푎,+푎-10-（2）解答如下；11由（1）知，f(x)在区间(∞)上的极小值为，也是最小值。푎,+f(푎)1f(x)与x轴没有公共点，当且仅当＞0。f(푎)111所以22＞0，푎(푎)+푎푎―3퐿푛푎+11所以。푎>푒21.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ，已知点M(2，0)，且⊙M与L相切。（1）求C，⊙M的方程；（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A2A3均与⊙M相切，判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由。答案：（1）解答如下；由题可得，C：푦2=2푝푥，p＞0，点P（1，2푝），Q（1，―2푝）因为OP⊥OQ，所以1﹣2P=0，2P=1，所以抛物线C为：푦2=푥M（2，0），L：x=1且圆M与L相切，所以圆M的方程为：(x―2)2+푦2=1（2）解答如下；222设A1（푦1，푦1），A2（푦2，푦2），A3（푦3，푦3）-11-由抛物线及圆M对称性，不妨设푦1＞0①若A1A2，A1A3中有一条切线斜率不存在，不妨设为A1A2则：A1（3，3），A2（3，﹣3），设A1A3：y﹣3=k（x﹣3）即kx﹣y﹣3k+3=0―푘+3因为A1A3与圆M相切，所以푘2+1=1，3푦3―푦1113解得：k=，即퐾13=22===3AA푦3―푦1푦3+푦1푦3+33所以푦3=0，即A3（0，0）此时，直线A2A3与A1A3关于x轴对称，所以直线A2A3与圆M相切。22②若A1A2，A1A3斜率均存在，则푦1≠1且，푦1≠3，푦2―푦11퐾=22=A1A2푦2―푦1푦2+푦112直线A1A2：y﹣푦=(푥―푦)，即x﹣(푦+푦)푦+푦푦=01푦2+푦112121同设A1A3：x﹣(푦3+푦1)y+푦3푦1=0，直线A2A3：x﹣(푦2+푦3)푦+푦2푦3=0因为直线A1A2，A1A3均与圆M相切，2(2+푦2푦1)2=11+(푦1+푦2)所以，2，(2+푦3푦1)=1{21+(푦1+푦3)22(2+푦2푦1)=1+(푦1+푦2)即：22{(2+푦3푦1)=1+(푦1+푦3)22所以푦2、푦3关于y的方程：(2+푦푦1)=1+(푦1+푦)，222即(푦1―1)푦+2푦푦1+3―푦1=0的两个根。-12-22푦13―푦1所以：푦2+푦3=―2，푦2푦3=2푦1―1푦1―1设M到直线A2A3距离为d。22(2+푦3푦1)则푑=2=1，1+(푦1+푦3)所以直线A2A3与圆M相切（二）选考题请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=22cos휃。（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为(1，0)，M为C上的动点，点P满足퐴푃=2퐴푀，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点。答案：（1）解答如下；휌2=22휌cos푄，得到：x2+푦2=22x，即：C：x2―22x+푦2=0（2）解答如下；C：(푥―2)2+푦2=21푥1―1y1设P（푥1，y1)，则向量AP=（푥1―1，y1)，向量AM=2AP=（2，2）-13-푥1+2―1y1所以向量DM=向量OA+向量AM=（2，2）又因为M在上，222所以(푥1+―1―2)+(y1)=2，22222即：(푥1+―3)+y1=2。22所以C1：(푥+2―3)2+푦2=42C1：풙=ퟑ―+2푐표푠푄，Q∈R{푦=2푠푖푛푄圆心距CC1=3―2―2=3―22，半径分别为2和2。因为3―22<2―2，所以C在圆C1内部，没有公共点。23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=|2x+3|-|2x-1|。（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范围。答案：（1）解答如下；3当x时，≤―22x+3≤0，2x﹣1≤0，g(x)=﹣(2x+3)+(2x﹣1)=﹣4；31当时，―2<푥<2-14-2x+3>0，2x﹣1<0，g(x)=2x+3+2x﹣1=4x+2；1当x时，≥22x+3>0，2x﹣1≥0，g(x)=2x+3﹣(2x﹣1)=4。（2）解答如下；f(x+a)≥g(x)⟺|x+a﹣2|≥g(x)⟹|2﹣a+a﹣2|≥g(2﹣a)⇒g(2﹣a)≤0，15有图像可知2﹣aa，≤―2⇒≥2111111所以a+3f(+a)g()a+4a。2≥⇒2≥2⟺2―2≥⟹≥211下证当a时，f(x+a)g(x)。≥2≥1当x，g(x)0f(x+a)≤―2≤≤11当x时，g(x)=4x+a―2≤≤21111x+a+a+=5f(x+a)=|x+a﹣2|=x+a﹣2≥―2≥―22⇒111x+a﹣2﹣（4x﹣2）=a﹣3x﹣4≥2―3∗2―4=011综上，a取值范围为[，+∞)2-15-