极坐标参数方程专题训练知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线： （t为参数）其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论．eq\o\ac(○,1)设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝．eq\o\ac(○,2)线段AB的中点所对应的参数值等于．③设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则P到A，B两点距离之积2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆： （为参数）3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆： （为参数） （或 ）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程4．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线： （t为参数，p＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是 （t为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ
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示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、极坐标与直角坐标互化公式：1.已知极坐标系的极点与直角坐标系的坐标原点重合，极轴与轴的非负半轴重合.曲线的参数方程为为参数），曲线的极坐标方程为问曲线是否相交，若相交请求出公共弦所在的直线的方程，若不相交，请说明理由.2.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为。（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆与直线交于点。若点的坐标为（3，），求。3.已知P为半圆C：（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。（=1\*ROMANI）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（=2\*ROMANII）求直线AM的参数方程。4.已知直线C1（t为参数），C2（为参数），（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。5.已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，写出直线的直角坐标方程和圆C的普通方程；求圆C截直线L所得的弦长。6.已知直线L经过点（1）写出直线L的参数方程；（2）设L与圆相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积。7.已知曲线化为直角坐标方程，化为普通方程；若M为曲线与X轴的交点，N为曲线上一动点，求的最大值。8.已知曲线C：（t为参数），C：（为参数）。（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值。9.在极坐标系中，已知圆C的圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，半径r＝3，(1)求圆C的极坐标方程；(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．
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