四元数矩阵的乘法及其可易性

第16卷第2期9148年3月力学学报ACATMECHANICASINICAVol,16,No.2Mar.,1984四元数矩阵的乘法及其可易性肖尚彬(西北工业大学)提要:本文讨论了四元数矩阵的乘法运算,得出了四元数矩阵乘法可易性的一般规则;并用此法方便地 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 了刚体的有限转动定理,进行了刚体有限转动的合成.文中提出的方法发展了文献L门的结论,在捷联式姿态计算中具有很大的实用价值.一、引言在四元数理论中,四元数的乘法运算占据特殊的位置,起着关键作用.由于四元数乘法巧妙而成功地解决了刚体有限转动的合成问题,因而使得四元数方法在刚体定位、惯性导航中获得了广泛而有效的应用.四元数的乘法运算以四元数单位数的自乘一与交乘规则为基础,其方法可以归纳为下列三种:1.四元数矢量式乘法即将四元数表为矢量或解析形式然后进行乘法运算;2.四元数复数式乘法即将四元数表为指数或复数形式然后进行乘法运算;3.四元数矩阵式乘法即将四元数表为矩阵形式A~[又。,几]T~[几。,孟1,几2,几3]r:(l,l)然后进行特定的乘法运算,式中七(t’~o,1,2,3)即四元数矩阵的元素,它们都是实数.在四元数诸种乘法中,四元数矩阵乘法具有很大的优越性.由于四元数矩阵乘法的可易性,可以方便地将相乘的因子中任何一个移至最后,亦即可将任何一个因子与其它因子隔离.它的实用意义在于:在捷联式惯导系统中,此法可以将不服从乘法交换律的各个连续的有限转动改变其相乘的次序,以使变化最快的分转动隔离出来,而将不变化或变化较慢的诸转动用方阵形式在电子计算机中加以存储.本文专门研究四元数矩阵的乘法及其可易性,得出了任意多个连续的有限转动的合成及其可易性的一般规则.文中提出的方法发展了B.P.Ickes在文献〔l]中的结论,比起文献【2]的方法更为方便和更具有实用价值.二、四元数乘积的矩阵形式我们将两个代表连续的有限转动的四元数表为列矩阵形式p~[户。,户`,户2,产3]T,Q~[宁。,叮,,宁,,叮,]了(2.1)本文于1982年10月11日收到.力学学报(1894年)第1`卷其乘积四元数代表合成转动,也表为列矩阵形式A~[又。,几1,又2,23]T(22)现在讨论四元数矩阵的特定写法.首先用四元数单位数的自乘与交乘规则求得两个四元数p,口与乘积四元数A之间各分量的关系式,然后将这个关系式写为两种矩阵相乘的形式,其一为一llJqoql如争一...II...L一l.IJ0P九和和,.l.es.es...J几UJl,.飞ù.流.流几孟`A~一piP。角一PZ一pZ一p3p。pi一p3P2一pipo(2.3)或者简记为其二为A一M(p)Q(2.4)(2.5),.....阵.l.J0ó.几,习ójPPPPù!...l....es.J门.........lesJqlq0一qiqo一q3q2一qZq3qo一qi一!..l.eses..Lres..LA~一q3一qZqqqq..........fL一一,l......J`沈`沈又.几或者简记为A一M(Q)+p(2.6)比较式(2.4)与(2.6),便得下列关系式A~M(尸)Q~M(口)+p(2.7)这个关系式表明,如将四元数用矩阵表示,则其乘法在形式上是可易的.我们来研究四元数矩阵M印)及其第一行一列的元素的三阶子式[如一P,户:1V(P)~!角0P一P:!(2.8)L一pZplpo」7(p)称为矩阵M()P的矢量子阵.将矢量子阵V(约加以转置,便得新的四元数矩阵M(P)十以及新的矢量子阵为「户。户,一户:1V(P),~!一P3OPP:!(2.9)LpZ一户2p0)M印)+称为M(p)的蜕变矩阵.比较M(p)与M(p)+,式(2.8)与(2.9),可以看出:l.M(玛与M(的十的行列式均等于1,这意味着两个矩阵都是满秩的.若将其中每一行或每一列看成四维空间中的一个矢量,则构成每个矩阵的四个矢量是线性无关的.2.M(p)与M(约+中第一行和第一列均相同,这对应于四元数乘积的可逆部分,即标量部分以及标量与矢量相乘部分.3,M(p)与M印)+的矢量子阵V印)与V(约十则不同,后者是前者的变号或转置,这对应于四元数乘积的不可逆部分,即矢积部分.第2期肖尚彬:四元数矩阵的乘法及其可易性三、四元数矩阵乘法的可易性关系式(2.7)表明两个四元数相乘的次序可以颠倒:M(p)g一M(Q)+p(3.1)其中尸,Q表为列矩阵,它们的结构相同;但M(玛是四元数矩阵,而M(Q犷是蜕变矩阵,两个方阵结构不同.这种可易性我们称为形式可易.现在研究两个以上四元数的乘法规则.设有三个连续转动四元数p,p,S,其合成转动四元数可以通过依次应用式(2.4)和(2.6)而得到,对于三个四元数,有下列两种结合形式:1.取结合式A~尸Qs~[尸Q15(3.2)先将〔pQ〕看成一个四元数,应用(2.6)得A~M(s)+[pQ]再将P[口〕看成两个四元数的乘积,应用(2.4)与(2.6)得pQ~M(p)Q~M(Q)+p于是得到A~M(S)+M(p)Q~M(s)+M(Q)+P(3.3)2取结合式八~pQS~p〔口sJ(3.4)先将〔口SJ看成一个四元数,应用(2.4)得A~M(p)〔QS]再将[QSI看成两个四元数的乘积,应用(2.勺与(.26)得口S~M(Q)S一M(S)+Q于是得到A~M(p)M(Q)S一M(p)M(S)+Q(3`,)对于四个四元数,仍取两种结合形式:A~pgSR一P[口SR]~M(p)M(口)材(s)天~M(P)M(口)M(R)+S~M(p)M(R)+M(Q)s~M(p)M(R)+M(S)+Q(3.6)A~PQSR一[pps]R~M(R)+M(p)M(p)S~M(R)+对(p)M(S)+口~M(R)+M(S)+对(p)Q~M(R)+材(s)+M(Q)+P(3.7)以此类推,对于,个四元数相乘的情形,也只能采用将首尾两个因子各自独立的两种结合形式,因为这种乘法的依据是两个四元数相乘的规则(2.4)和(2.6)式.由此可见,采用四元数矩阵乘法可将相乘因子中任何一个移至最后,这样一来,就可以将变化最大的力学学报(1489年)第1`卷因子与其它不变化或变化较小的因子相隔离.同时可以得出下列的一般规则:1.同名矩阵(均带“+”号或均不带“+”号)相乘,其次序不可改变,即M(p)M(Q)、若M(Q)M(尸)_.不M(P),M又口),笋M又口),M咬P),j(3.8)2.异名矩阵(一带“+”号一不带“+”号)相乘,其次序可以改变,即M(p)M(p)+~M(口)+M(p)(3,)如前指出,这种可易性实质上是形式的,也称为条件可易.3.两个因子相乘有两种形式的结果,以后每增加一个因子,结果数目成倍增加,亦即从。~2开始,因子数如按等差级数增加,公差是1;结果数则按等比级数增加,公比是2、斗.任何数目因子相乘,由于只能采用将首尾两个因子各自独立的两种结合形式,因此在结果中首尾两个因子只能分别被隔离一次.5.蜕变矩阵的出现表示有限转轴的位置已经发生变化,它不再代表绕固联于惯性空间的轴的有限转动,而是代表绕经过旋转变换后的动轴的有限转动.但在计算中不须寻求被变换后新的有限转轴的位置,而只须以蜕变矩阵代替对应的四元数矩阵.四、四元数矩阵变换算子设有 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 化四元数A,其共扼四元数为A*,将它作为变换算子,对矢量,进行变换,从r到r’的变换式为r’~ArA*一对(A)M(A*)十,一式中四元数矩阵M(A)的共扼四元数矩阵M(A*)式M(A*)+M(A)r及其蜕变矩阵M(A*)十(4.1)具有下列形M(A*)一之。一从一又2一肠几i又。一丸又2几1几o又3一七又2几3又。一从又2一丸又。又i几3一丸又1又。(略.2)M(A*)+~尧。一石一石一几3又3又2一人又。(4.3)将M(A)和(4.3)代人(4.1),便得所求的变换式,其中变换矩阵为评一M(A)M(A*)+0十对一对一又2(几,几2+几。又3)2(孟1孟3一几。之2)0璧2(又:又:一又。又3)又孟+又孟一对一对2(几2又3+又。又:)2(几:几3+又。又2)2(之2几,一2。又:)(4.4)端+呢一对一端ù比j.ù00ùUrl.,ee...IL一这个变换矩阵也可以用四元数其它形式的乘法运算求得,但没有四元数矩阵方法简捷直观.第2期肖尚彬:四元数矩阵的乘法及其可易性五、有限转动定理的证明刚体的有限转动定理陈述如下:设刚体绕过定点的相交轴作连续的有限转动,其合成转动的数值与各个连续转动的次序无关;但刚体的最终姿态则与连续转动的次序有关,合成转动的转轴位置随连续转动的次序而改变·丢”·”eggs用欧拉参数法证明了它,但证法很繁〔.sl这里我们用四元数矩阵乘法加以证明.设刚体绕过定点的相交轴作两次连续转动,转动四元数用列矩阵表示为p~[P。,户,,2P,P3]T,Q~[叮。,叮,,宁2,小]T(5.1)其顺序合成与逆序合成转动分别用顺乘与逆乘四元数表为如下形式A一[又。,几;,又2,又3]T,八’一[又孟,又孟,几二,凡二]T(5.2)按四元数矩阵乘法规则,得顺序合成转动为_`A一p口一M(p)Q一(.53)逆序合成转动为A`~p尸~M(p)+p(5.斗)M印),M(约十的第一行分别乘以列矩阵夕一〔,,宁;,q:,宁d不,决定合成转动四元数A,A’的标量部分,它们并不改变,即有等式`。一p泞。一piq:一户小一p3q3一`(5.,)于是得出两个合成转动的转角数值相等:0~6’.合成转动的转轴位置决定于M护)与M(约+一的矢量子阵,显然它们是不相同的.亦即,当有限转动的次序改变后,刚体的最终姿态亦随之而改变.以上就是有限转动定理的四元数证法.’刚体最终姿态的改变我们角两个合成转动的偏差四元数△A一八一A’表示,这种偏差称为交换误差,可按下式计算:△八一A一八`~[M印)一M(p)+]Q(5.6)实例设x,y,二为三根互相垂直的轴,两个连续转动为:一绕,轴转过900,再烧夕轴转过90“.求交换误差.解:首先将两个连续转动表为四元数列矩阵,即;一[丫万/2,丫万/2,o,o],。一r了万/2,o,丫万/2,o」T顺乘四元数等于A二p夕一M(p)Q一丫万/2斌万/2!}圳一旧一2一2丫斌寸百/2丫万/2一了万/2了万/2逆乘四元数等于(1984年)第1`卷A’~QpM~(p)+Q丫万/2了万/2一丫万/2召万/2丫万/2了万/2一丫了/2丫了/2丫丁/2了万/20l/2l/2l/2一l/2r....且.....Jssseeeee.....l,esleelr..........es!月一交换误差由最终姿态的偏差四元数确定,即△A一[l/2,1/2,l/2,l/2]T一[l/2,1/2,~[0,0,0,l]T可见,△A的标量部分为零,即合成转动的数值不变;而△Al,即合成转轴的位置发生了变化.1/2,一l/2]r矢量部分的三个分量为O,o,六、有限转动的合成设刚体从初始位置到最终位置的有限转动,是通过三次连续转动达到的:先绕达尔布三面体。b`的棱边`转过角a,再绕棱边b转过角夕,最后绕棱边`转过角下.a,夕,1称为克雷洛夫角,可表为四元数矩阵式:e竺,s兰,o,o22(6.1)!.已、`....且少TT,.ee.JT飞..胜J八甘1,J.r.,..Lr.....Lf.l`LR~·备,。,S普,。晋,”,。,S晋式中采用了省写符号C二cos,S~滋n.总转动由p,口,R的乘积确定,即A一PQR~或M(p)M(Q)R(6.2)八U夕一2一nó夕一2厅.一28.一2,nU,厅.ǔU夕102夕12O夕一20.r..ll..eeesl.esL一l己.se.`ee..eswe......J0oa一Za一2OCéa一Za一2aC—一2a一20a一,一a一八二一.0nlC翁óOr...`..且...se....一一,...........Jn12伪,凡流又又勺孔r..;.ee口J最后求得总转动四元数分量的克雷洛夫角表式为第2期肖尚彬:四元数矩阵的乘法及其可易性516,leees.…1了一Zy一21一21一2月一2a一2一y一2月一2a一2.卜c(6.4)召一2a一2丫一2夕一2a一2夕一2a一2121“了+月一2a一2一....`.....J几`及,自自、ù.几又又,几r.........L声一2a一2产一2“一2设三个连续转动为:先绕达尔布三面体。b`的棱边`转过角价,再绕棱边a转过角e,最后又绕棱边`转过角甲.价,8,甲称为古典欧拉角,可表为四元数矩阵式:晋,”,。,S晋}号,S号,”川署,0,。,:署1(6.5)CC`户.....L尸.....Lf...LP~Q~R~总转动四元数为或A~p夕R~M(p)M(口)Ro0a一2口一2一...............r,...!........esesl价一2一a一20一200.移一2nU.C。竺一s竺22。竺。竺22。竺一,旦。22s旦。旦。22沙一2.ǎUC,.........,J品ó..2,、几`.几.流几几......I..r.工价了。最后求得总转动四元数分量的古典欧拉角表式为。里一8COS一COS2II,!.l..selles......J甲一2甲一2甲一2甲一20一2价一26一2价一2Oso一2n.s1e一2必一2+甲一20一2沙一2(6.7)滋n旦isn竺二竺n28一2COe一2沙一2。里一8一2价一2o创文甲一28一2诱一2价日.c.二二c乙参考献[11Ickes,B.P.,ANewMethdoforPerformingDigiatlOontrol衍st侧mtAitutdeCiOn训tationsus还g166力学学报(1894年)第16卷[2]Quaternios·AAAIS,1(1970).张光枢,刚体有限转动合成的可交换性,力学学报,4(1夕82),363一368.Beggs,J.S,Pestel’5TheoremonFiniteRotations,ACTA皿eeh叭乞ea,20,l一2.L1974).Hardixlg,C.F,OSluitontoEuler’5Gyrodyn姗ies,AppliedMeehanies,PaperNo.63一WA一6(,勃拉涅茨,B.H.,什梅格列夫斯基,H.月.,四元数在刚体定位问题中的应用,梁振和译,国防工业出版社(1977).]]llJ435r``r.Lr.`MULTIPLICATIONOFQUATERNIONMATRIXESANDITSCOMMUTATIVITYXiaoShangbin(No犷th叨。s公Po乙夕公eoh丽eal万丽、眯抓亡y)AbstraCtInthispaper,themultiplieationofquaternionmatriXes15diseussed,andgeenralurleforeommutativiytof甲aternionmat血esmultipileait血15obtianed.Morcover,thismethod15eonvenien由usedtoPosethefiniteortationsthetheoremforfiniterotationsarigidbody.Thismethoddevel叩of。riigdbo方,andtoeom·edtheeonehisfoninreferen·翻上``上0几O优[1],adnitpossessesPraeticalvafueinstr叩downattiutdecom训tations.