八年级数学平行四边形中的最值问题专练

八年级数学平行四边形中的最值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 专练一、选择题1.如图，将两张长为8，宽为2的长方形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形(四条边相等)，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是（）A.17B.16C.8√2D.2√172.如图，已知∠𝑀𝑂𝑁=30°，B为OM上一点，𝐵𝐴⊥𝑂𝑁于点A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连接BE，若𝐴𝐵=2，则BE的最小值为()A.√3+1B.2√3−1C.3D.4−√33.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为()A.√2+1B.√5C.√1455D.524.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴=30°，𝐴𝐶=4√3，BC的中点为𝐷.将△𝐴𝐵𝐶绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△𝐹𝐸𝐶，EF的中点为G，连接𝐷𝐺.在旋转过程中，DG的最大值是()A.4B.6C.2+2√3D.85.如图，正方形ABCD，边长为2，E是边BC上的一动点，连DE，取DE中点G，将GE绕E顺时针旋转90°到EF，连接CF。则CF的最小值为()A.√5B.2√5C.2D.1556.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且𝐴𝐸=3，点Q为对角线AC上的动点，则△𝐵𝐸𝑄周长的最小值为()A.5B.6C.4√2D.87.如图，在平行四边形ABCD中，∠𝐶=120∘，𝐴𝐷=2𝐴𝐵=4，点H、G分别是边AD、BC上的动点.连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接𝐸𝐹.则EF的最大值与最小值的差为()A.1B.√3−1C.√3D.2−√32二、填空题8.如图，在菱形ABCD中，∠𝐴𝐵𝐶=120°，𝐴𝐵=6，点E在边AB上，且𝐴𝐸=2，P是对角线AC上的一个动点，则𝑃𝐵+𝑃𝐸的最小值是______．9.点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，已知𝐴𝐵=1，∠𝐴𝐷𝐶=120°，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则△𝑀𝑃𝑁的周长最小值是_______________．10.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=5，P为边BC上一动点，𝑃𝐸⊥𝐴𝐵于E，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶于F，M为EF中点，则AM的最小值为____________11.如图，已知菱形ABCD的面积为8√3，∠𝐵𝐴𝐷=60°，对角线AC、BD交于点O，若点P为对角线AC上一点，则1𝐴𝑃+𝐵𝑃的最小值是____________．212.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，将△𝐴𝐵𝐶绕顶点C逆时针旋转得到△𝐴´𝐵´𝐶，M是BC的中点，P是𝐴´𝐵´的中点，连接PM。过点C作PM的垂线，垂足为H，若𝐵𝐶=2，∠𝐵𝐴𝐶=30°，则线段PH的最小值是___．13.如图，线段𝐴𝐵=4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90∘得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是_________．14.如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，𝐴𝐵=6，M，N是直线BC上的动点，且𝑀𝑁=2，则𝑂𝑀+𝑂𝑁的最小值是_____．三、解答题15.已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，D是BC边上一点，连接AD右侧作等腰△𝐴𝐷𝐸，𝐴𝐷=𝐴𝐸．(1)如图1，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=90°，连接𝐶𝐸.求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸；(2)如图2，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=120°，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，取AC边的中点F，连接𝐸𝐹.当D点从B点运动到C点过程中，求线段EF长度的最小值，并直接写出它的最大值；(3)如图3，四边形ABCD中，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐷𝐶=1，连接AC，且𝐴𝐶=√30+√2，求AB的长．216.如图所示，在平面直角坐标系中△𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别是点𝐴(−2,3)、点𝐵(−1,1)、点𝐶(0,2)．(1)作△𝐴𝐵𝐶关于C成中心对称的△𝐴𝐵𝐶；111(2)将△𝐴𝐵𝐶向右平移3个单位，作出平移后的△𝐴𝐵𝐶；111222(3)在x轴上求作一点P，使𝑃𝐴+𝑃𝐶的值最小，并写出点P的坐标．(不写解答11过程，直接写出结果)17.如图1，等边△𝐴𝐵𝐶的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△𝐴𝐷𝐸．(1)在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上⊕若能，求出此时BD的长;若不能，请说明理由;(2)如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△𝐴𝐷𝐸的边AD、DE为边作ADEF． ①ADEF的面积是否存在最小值⊕若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由; ②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上的动点，直接写出𝑀𝑁+𝑀𝑃的最小值．18.如图，在平面直角坐标系中有矩形OABC，点𝐴(0,2)，将矩形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D，∠𝐴𝐶𝑂=30°，过O作𝑂𝐸⊥𝐴𝐶于点E．(1)求OE的长．(2)已知点P是线段AD上的一点，连接EP、CP，求𝐸𝑃+𝐶𝑃的最小值．(3)在x轴上是否存在点Q，使△𝐶𝐸𝑄为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．19.如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知𝑂𝐴=3，𝑂𝐶=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，连结BD，点A关于BD的对称点恰好落在线段BC边上的点F处．(1)直接写出点E，F的坐标；(2)在线段CB上是否存在一点P，使△𝑂𝐸𝑃为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．20.【阅读】如图1，四边形OABC中，𝑂𝐴=𝑎，𝑂𝐶=8，𝐵𝐶=6，∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝐶𝑂=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为𝜃，将四边形OABC的直角∠𝑂𝐶𝐵沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为𝐹𝑍[𝜃,𝑎]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为𝐹𝑍[45°,8]；【尝试】(1)若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为𝐹𝑍[______，______]；(2)若点D恰为AB的中点(如图2)，求𝜃的值；【应用】经过𝐹𝑍[45°,𝑎]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，直线l与AB相交于点F，试画出图形并解决下列问题：①求出a的值；②若P为边OA上一动点，连接PE、PF，请直接写出𝑃𝐸+𝑃𝐹的最小值．(备注：等腰直角三角形的三边关系满足1：1：√2或√2：√2：2)答案和解析1.A解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，由勾股定理：𝑥2=(8−𝑥)2+22，解得：𝑥=17，4∴4𝑥=17，即菱形的最大周长为17．2.A解：如图，连接PD，由题意可得，𝑃𝐶=𝐸𝐶，∠𝑃𝐶𝐸=90°=∠𝐷𝐶𝐵，𝐵𝐶=𝐷𝐶，∴∠𝐷𝐶𝑃=∠𝐵𝐶𝐸，𝐶𝐷=𝐵𝐶在△𝐷𝐶𝑃和△𝐵𝐶𝐸中，{∠𝐷𝐶𝑃=∠𝐵𝐶𝐸,𝐶𝑃=𝐶𝐸∴△𝐷𝐶𝑃≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)，∴𝑃𝐷=𝐵𝐸，当𝐷𝑃⊥𝑂𝑀时，DP最短，此时BE最短，∵∠𝐴𝑂𝐵=30°，𝐴𝐵=2=𝐴𝐷，∴𝑂𝐷=𝑂𝐴+𝐴𝐷=2√3+2，∴当𝐷𝑃⊥𝑂𝑀时，𝐷𝑃=1𝑂𝐷=√3+1，2∴𝐵𝐸的最小值为√3+1．3.A解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，2此时，∵AB=，BC=1，11，∴OE=AE=2AB=，DE=√𝐴𝐷2+𝐴𝐸2=√12+12=√2∴OD的最大值为：√2+1．4.B解：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴=30°，𝐴𝐶=4√3结合勾股定理：𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=1𝐴𝐵=4，2∵𝐵𝐶的中点为D，∴𝐶𝐷=1𝐵𝐶=1×4=2，22连接CG，∵△𝐴𝐵𝐶绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△𝐹𝐸𝐶，EF的中点为G，∴𝐶𝐺=1𝐸𝐹=1𝐴𝐵=1×8=4，222由三角形的三边关系得，𝐶𝐷+𝐶𝐺>𝐷𝐺，∴𝐷、C、G三点共线时DG有最大值，此时𝐷𝐺=𝐶𝐷+𝐶𝐺=2+4=6．5.A6.B解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴𝐷𝐸的长即为𝐵𝑄+𝑄𝐸的最小值，∵𝐷𝐸=𝐵𝑄+𝑄𝐸=√𝐴𝐷2+𝐴𝐸2=√42+32=5，∴△𝐵𝐸𝑄周长的最小值=𝐷𝐸+𝐵𝐸=5+1=6．7.C解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作𝐴𝑁⊥𝐵𝐶于N．∵四边形ABCD是平行四边形，∠𝐵𝐶𝐷=120°，∴∠𝐷=180°−∠𝐵𝐶𝐷=60°，𝐴𝐵=𝐶𝐷=2，∵𝐴𝑀=𝐷𝑀=𝐷𝐶=2，∴△𝐶𝐷𝑀是等边三角形，∴∠𝐷𝑀𝐶=∠𝑀𝐶𝐷=60°，𝐴𝑀=𝑀𝐶，∴∠𝑀𝐴𝐶=∠𝑀𝐶𝐴=30°，∴∠𝐴𝐶𝐷=90°，∴𝐴𝐶=2√3，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝑁中，∵𝐴𝐶=2√3，∠𝐴𝐶𝑁=∠𝐷𝐴𝐶=30°，∴𝐴𝑁=1𝐴𝐶=√3，2∵𝐴𝐸=𝐸𝐻，𝐺𝐹=𝐹𝐻，∴𝐸𝐹=1𝐴𝐺，2易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴𝐴𝐺的最大值为2√3，最小值为√3，∴𝐸𝐹的最大值为√3，最小值为√3，2∴𝐸𝐹的最大值与最小值的差为√3．28.2√7解：连接DE交AC于𝑃′，连接DE，DB，过D作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则𝑃′𝐷=𝑃′𝐵，∴𝑃′𝐸+𝑃′𝐵=𝑃′𝐸+𝑃′𝐷=𝐷𝐸，即DE就是𝑃𝐸+𝑃𝐵的最小值，∵∠𝐴𝐵𝐶=120°，∴∠𝐵𝐴𝐷=60°，∵𝐴𝐷=𝐴𝐵=6，∵𝐷𝐻⊥𝐴𝐵，∴𝐴𝐻=3，𝐷𝐻=3√3，∴𝐸𝐻=𝐴𝐻−𝐴𝐸=3−2=1，在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐻中，𝐷𝐸=√𝐷𝐻2+𝐸𝐻2=√(3√3)2+12=2√7．即𝑃𝐵+𝑃𝐸的最小值为2√7，9.√3+12解：如图：，作点M关于AC的对称点𝑀′，连接𝑀′𝑁交AC于P，此时𝑀𝑃+𝑁𝑃有最小值，最小值为𝑀′𝑁的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴𝑀′是AD的中点，又∵𝑁是BC边上的中点，∴𝐴𝑀′//𝐵𝑁，𝐴𝑀′=𝐵𝑁，𝑀𝑁=1𝐴𝐶，2∴四边形𝐴𝐵𝑁𝑀′是平行四边形，∴𝑀′𝑁=𝐴𝐵=1，∴𝑀𝑃+𝑁𝑃=𝑀′𝑁=1，即𝑀𝑃+𝑁𝑃的最小值为1，∵∠𝐴𝐷𝐶=120°，∴∠𝐷𝐴𝐵=60°，∴∠𝐵𝐴𝐶=30°，13sin∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐶：𝐴𝐵=√，22𝑀𝑁=1𝐴𝐶=√3，22∴△𝑀𝑃𝑁的周长=√3+1．210.解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=5，∴𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=𝐵𝐶2，即∠𝐵𝐴𝐶=90°．又∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐵于E，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶于F，∴四边形AEPF是矩形，∴𝐸𝐹=𝐴𝑃，∵𝑀是EF的中点，∴𝐴𝑀=𝐸𝐹=AP，因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，11.2√3解：过P点作𝑃𝐾⊥𝐴𝐵，垂足为K，∵四边形ABCD为菱形，∠𝐵𝐴𝐷=60°∴∠𝐵𝐴𝑃=30°∴𝑃𝐾=1𝐴𝑃2作𝐷𝑃⊥𝐴𝐵，交AC于𝑃垂足为𝐾，11,1当P点运动到𝑃的位置，1∵𝑃𝐵=𝑃𝐷11𝑃𝐾+𝑃𝐵=𝐷𝐾，即为1𝐴𝑃+𝐵𝑃的最小值1112∵△𝐴𝐵𝐷为等边三角形，菱形ABCD的面积为8√3∴△𝐴𝐵𝐷的面积为4√3设菱形ABCD的边长为a∴√3𝑎2=4√34∴𝑎=4(负值舍去)𝐴𝐾=1𝐴𝐷=212∴𝐷𝐾=√42−22=2√3．112.√3．解：如图连接PC．在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐴=30°，𝐵𝐶=2，∴𝐴𝐵=4，根据旋转不变性可知，𝐴′𝐵′=𝐴𝐵=4，∴𝐴′𝑃=𝑃𝐵′，1，∴𝑃𝐶= 2𝐴′𝐵′=2∵𝐶𝑀=𝐵𝑀=1，∴在𝑅𝑡△𝑃𝐶𝐻中，已知𝑃𝐶=2为定值，当直角边CH值最大时，PH值则最小．由旋转可知，当∠𝐶𝑃𝐻=30°时，CH最大=1，∴𝑃𝐻值则最小.为√3．13.3√2解：如图所示：过点C作𝐶𝐷⊥𝑦轴，垂足为D，过点P作𝑃𝐸⊥𝐷𝐶，垂足为E，延长EP交x轴于点F．∵𝐴𝐵=4，O为AB的中点，∴𝐴(−2,0)，𝐵(2,0)．设点P的坐标为(𝑥,𝑦)，则𝑥2+𝑦2=1．∵∠𝐸𝑃𝐶+∠𝐵𝑃𝐹=90°，∠𝐸𝑃𝐶+∠𝐸𝐶𝑃=90°，∴∠𝐸𝐶𝑃=∠𝐹𝑃𝐵．由旋转的性质可知：𝑃𝐶=𝑃𝐵．在△𝐸𝐶𝑃和△𝐹𝑃𝐵中，∠𝐸𝐶𝑃=∠𝐹𝑃𝐵{∠𝑃𝐸𝐶=∠𝑃𝐹𝐵 ，𝑃𝐶=𝑃𝐵∴△𝐸𝐶𝑃≌△𝐹𝑃𝐵．∴𝐸𝐶=𝑃𝐹=𝑦，𝐹𝐵=𝐸𝑃=2−𝑥．∴𝐶(𝑥+𝑦,𝑦+2−𝑥)．∵𝐴𝐵=4，O为AB的中点，∴𝐴𝐶=√ (𝑥+𝑦+2)2+(𝑦+2−𝑥)2=√2𝑥2+2𝑦2+8𝑦+8．∵𝑥2+𝑦2=1，∴𝐴𝐶=√10+8𝑦，∵−1≤𝑦≤1，∴当𝑦=1时，AC有最大值，AC的最大值为√10+8=3√2．14.2√10解：由题意知，当𝑂𝑀=𝑂𝑁时，𝑂𝑀+𝑂𝑁的值最小，作𝑂𝐸⊥𝐵𝐶于E，∵𝑀𝑁=2，∴𝑀𝐸=𝑁𝐸=1𝑀𝑁=1，2∵𝐴𝐵=6，∴𝑂𝐸=3，∴𝑂𝑀=𝑂𝑁=√32+12=√10，∴𝑂𝑀+𝑂𝑁=2√10．15.解：(1)如图1中，∵∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶=90°，∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中，𝐴𝐵=𝐴𝐶{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，𝐴𝐷=𝐴𝐸∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸．(2)∵取AB的中点F，连接DG和CG，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，F是AC边的中点F∴𝐴𝐺=𝐴𝐹=𝐵𝐺=1，∵∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐸=120°∴∠𝐺𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐹𝐴𝐸∴∠𝐺𝐴𝐷=∠𝐹𝐴𝐸在△𝐺𝐴𝐷和△𝐹𝐴𝐸中，𝐴𝐺=𝐴𝐹，∠𝐺𝐴𝐷=∠𝐹𝐴𝐸，𝐴𝐷=𝐴𝐸∴△𝐺𝐴𝐷≌△𝐹𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)∴𝐸𝐹=𝐷𝐺即DG有最小值时，EF也为最小值当𝐷𝐺⊥𝐵𝐶时，DG最小值为0.5，当点D移动到C时，CG取最大值即为EF最大值，∵𝐵𝐷=√3，𝐵𝐶=2√3，2∴𝐶𝐷=𝐵𝐶−𝐵𝐷=3√3，𝐶𝐺=√72∴𝐸𝐹最小值为1，最大值为√7．2(3)过点A作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，交BC于点E，将△𝐴𝐵𝐸绕点A逆时针旋转90°到△𝐴𝐷𝐹处，∵∠𝐵+∠𝐴𝐷𝐶=180°，∴点C，D，E三点共线，∵∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐹，∴∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐶=∠𝐹=90°，∴四边形AECF为正方形，设𝐷𝐹=𝑥，𝐴𝐹=𝐶𝐹=𝑥+1，𝐴𝐶=√30+√2=√2(𝑥+1)，2解得𝑥=√15−1，2∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=√𝐴𝐹2+𝐷𝐹2=2√2．16.解：如图，𝐵𝐶为所求；(1)△𝐴111(2)如图，△𝐴𝐵𝐶为所求；222(3)点𝐶′和��关于x轴对称，连结𝐶′𝐴交x轴于11P，则，𝑃𝐶′=𝑃𝐶1则𝑃𝐶+𝑃𝐴=𝑃𝐶′+𝑃𝐴=𝐶′𝐴，1111此时𝑃𝐴+𝑃𝐶的值最小，11设直线𝐶′𝐴的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，1𝑏=−2𝑘=3把𝐶′(0,−2)，𝐴(2,1)代入得{，解得{2，12𝑘+𝑏=1𝑏=−2所以直线𝐶′𝐴的解析式为𝑦=3𝑥−2，12当𝑦=0时，3𝑥−2=0，解得𝑥=4，23所以点P的坐标为(4,0)．317.解：(1)不能．理由：如图1所示：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸均为等边三角形，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐴𝐷=60°．∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐴𝐷𝐶=60°，∴∠𝐶𝐴𝐷<60°，又∵∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐷=60°，∴∠𝐶𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐸𝐴𝐷<180°．∴点E不能移动到直线AB上．(2)①存在：在图(2)中，当𝐴𝐷⊥𝐵𝐶时△𝐴𝐷𝐸的面积最小．∵四边形ADEF为平行四边形，AE为对角线，∴平行四边形ADEF的面积是△𝐴𝐷𝐸面积的2倍．∴ADEF的面积的最小值=2×3√3=6√3；②𝑀𝑁+𝑀𝑃的最小值为3．②如图3所示：作点P关于AE的对称点𝑃，1当点N、M、𝑃在一条直线上，且𝑁𝑃⊥𝐴𝐷时，𝑀𝑁+𝑀𝑃有最小值，11过点A作𝐴𝐺//𝑁𝑃，1∵𝐴𝑁//𝐺𝑃，𝐴𝐺//𝑁𝑃，11∴四边形𝐴𝑁𝑃𝐺为平行四边形．1由①可得𝐴𝐹=𝐴𝐷，最小值为2√3，即𝑀𝑁+𝑀𝑃的最小值为3，故答案为𝑀𝑁+𝑀𝑃的最小值为3．18.解：(1)∵点𝐴(0,2)，∴𝑂𝐴=2，在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐶中，∠𝐴𝐶𝑂=30°，∴𝑂𝐶=√3𝑂𝐴=2√3，𝐴𝐶=2𝑂𝐴=4，∵𝑂𝐸⊥𝐴𝐶，∴𝑆=1𝑂𝐴⋅𝑂𝐶=1𝐴𝐶⋅𝑂𝐸，△𝑂𝐴𝐶22∴2×2√3=4×𝑂𝐸，∴𝑂𝐸=√3；(2)如图(1)，延长CD交y轴于𝐶′，∵四边形OABC是矩形，∴∠𝐴𝐵//𝑂𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝑂𝐶𝐴=30°，由折叠知，∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=30°，∵∠𝑂𝐴𝐶=90°−∠𝑂𝐶𝐴=60°，∴∠𝑂𝐴𝐷=30°，∵∠𝐴𝐷𝐶=90°，∴点𝐶′，C关于AD对称，∴连接𝐶′𝐸，即𝐶′𝐸就是𝑃𝐶+𝑃𝐸的最小值，由折叠知，∠𝐴𝐶𝐶′=∠𝐴𝐶𝐵=60°，∴∠𝑂𝐶𝐶′=30°=∠𝐴𝐶𝑂，∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐶′，∴𝑂𝐶′=𝑂𝐴=2，∴𝐶′(0,−2)，过点E作𝐸𝐹⊥𝑦轴于F，在𝑅𝑡△𝑂𝐹𝐸中，∠𝐴𝑂𝐸=90°−∠𝑂𝐴𝐶=30°，𝑂𝐸=√3，∴𝐸𝐹=√3，𝑂𝐹=3，2237∴𝐶′𝐹=𝑂𝐹+𝑂𝐶′=+2=，根据勾股定理得，𝐶′𝐸=√𝐸𝐹2+𝐶′𝐹2=√13，22即：𝑃𝐸+𝑃𝐶的最小值为√13；(3)设𝑄(𝑚,0)，由(2)知，𝐸𝐹=√3，𝑂𝐹=3，22∴𝐸(√3,3)，22由(1)知，𝑂𝐶=2√3，∴𝐶(2√3,0)，∴𝐶𝐸=3，𝐶𝑄=|𝑚−2√3|，𝐸𝑄2=(𝑚−√3)2+9=𝑚2−√3𝑚+3，24∵△𝐶𝐸𝑄为等腰三角形，∴①当𝐶𝐸=𝐶𝑄时，∴3=|𝑚−2√3|，∴𝑚=3+2√3或𝑚=−3+2√3，∴𝑃(3+2√3,0)或(−3+2√3)，②当𝐶𝐸=𝐸𝑄时，∴9=𝑚2−√3𝑚+3，∴𝑚=2√3(舍)或𝑚=−√3，∴𝑃(−√3,0)，③当𝐶𝑄=𝐸𝑄时，∴(𝑚−2√3)2=𝑚2−√3𝑚+3，∴𝑚=√3，∴𝑃(√3,0)即：满足条件的点P的坐标为𝑃(3+2√3,0)或(−3+2√3)或(−√3,0)或(√3,0)．19.解：(1)∵𝑂𝐶=2，四边形OABC是矩形，∴𝐴𝐵=𝑂𝐶=2，∵点E是AB的中点，∴𝐴𝐸=1，∵𝐴𝑂=3，∴𝐸(3,1)，根据折叠可得𝐷𝐴=𝐷𝐹，∴𝐷𝐹=𝐶𝑂=2，∴𝐴𝐷=2，∴𝐷𝑂=3−2=1，∴𝐹(1,2)，(2)存在，理由：由(1)知，𝐸(3,1)，𝑂(0,0)设𝑃(𝑎,2)(0≤𝑎≤3)，∴𝑃𝐸=√(𝑎−3)2+1，𝑃𝑂=√𝑎2+4，𝐸𝑂=√10，∵△𝑂𝐸𝑃为等腰三角形，∴①当𝑃𝐸=𝑃𝑂时，∴√(𝑎−3)2+1=√𝑎2+4，∴𝑎=1，∴𝑃(1,2)；②当𝑃𝐸=𝐸𝑂时，∴√(𝑎−3)2+1=√10，∴𝑎=0或𝑎=6(舍)，∴𝑃(0,2)，③当𝑃𝑂=𝐸𝑂时，∴√𝑎2+4=√10，∴𝑎=√6或𝑎=−√6(舍)，∴𝑃(√6,2)，即：满足条件的点P的坐标为(1,2)或(0,2)或(√6,2)．(3)如图2，作点E关于x轴的对称点𝐸′，作点F关于y轴的对称点𝐹′，连接𝐸′𝐹′，分别与x轴、y轴交于点M、N，连接FN、NM、ME，此时四边形MNFE的周长最小．∴𝐸′(3,−1)，𝐹′(−1,2)，设直线𝐸′𝐹′的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，有{3𝑘+𝑏=−1，−𝑘+𝑏=2𝑘=−3解这个方程组，得{4，𝑏=54∴直线𝐸′𝐹′的解析式为𝑦=−3𝑥+5．44当𝑦=0时，𝑥=5，3∴𝑀点的坐标为(5,0)．3当𝑥=0时，𝑦=5，4∴𝑁点的坐标为(0,5).4∵𝐸与𝐸′关于x轴对称，F与𝐹′关于y轴对称，∴𝑁𝐹=𝑁𝐹′，𝑀𝐸=𝑀𝐸′.𝐹′𝐵=4，𝐸′𝐵=3．在𝑅𝑡△𝐵𝐸′𝐹′中，𝐹′𝐸′=√𝐹′𝐵2+𝐸′𝐵2=5．∴𝐹𝑁+𝑁𝑀+𝑀𝐸=𝐹′𝑁+𝑁𝑀+𝑀𝐸′=𝐹′𝐸′=5．在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹中，𝐸𝐹=√𝐵𝐸2+𝐵𝐹2=√5．∴𝐹𝑁+𝑁𝑀+𝑀𝐸+𝐸𝐹=𝐹′𝐸′+𝐸𝐹=5+√5，即四边形MNFE的周长最小值是5+√5．20.45°16【解析】解：(1)点D与OA的中点重合，如图1，由折叠得：∠𝐶𝑂𝑃=∠𝐷𝑂𝑃=45°，∠𝐶=∠𝑂𝐷𝑃=90°，∴𝐶𝑃=𝑃𝐷，∵𝑂𝑃=𝑂𝑃，∴𝑅𝑡△𝑂𝐶𝑃≌𝑅𝑡△𝑂𝐷𝑃(𝐻𝐿)，∴𝑂𝐶=𝑂𝐷=8，∵𝐷为OA的中点，∴𝑂𝐴=𝑎=16，则这个操作过程为𝐹𝑍[45°,16]；故答案为：45°，16；(2)延长MD、OA，交于点N，如图2．∵∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝐶𝑂=90°，∴∠𝐴𝑂𝐶+∠𝐵𝐶𝑂=180°，∴𝐵𝐶//𝑂𝐴，∴∠𝐵=∠𝐷𝐴𝑁．在△𝐵𝐷𝑀和△𝐴𝐷𝑁中，∠𝐵=∠𝐷𝐴𝑁{𝐵𝐷=𝐴𝐷，∠𝐵𝐷𝑀=∠𝐴𝐷𝑁∴△𝐵𝐷𝑀≌△𝐴𝐷𝑁(𝐴𝑆𝐴)，∴𝐷𝑀=𝐷𝑁．∵∠𝑂𝐷𝑀=∠𝑂𝐶𝑀=90°，∴根据线段垂直平分线的性质可得𝑂𝑀=𝑂𝑁，∴根据等腰三角形的性质可得∠𝑀𝑂𝐷=∠𝑁𝑂𝐷．由折叠可得∠𝑀𝑂𝐷=∠𝑀𝑂𝐶=𝜃，∴∠𝐶𝑂𝐴=3𝜃=90°，∴𝜃=30°；【应用】①过点B作𝐵𝐻⊥𝑂𝐴于点H，如图3．∵∠𝐶𝑂𝐴=90°，∠𝐶𝑂𝐹=45°，∴∠𝐹𝑂𝐴=45°．∵点B与点E关于直线l对称，∴∠𝑂𝐹𝐴=∠𝑂𝐹𝐵=90°，∴∠𝑂𝐴𝐵=45°，∴∠𝐻𝐵𝐴=90°−45°=45°=∠𝐻𝐴𝐵，∴𝐵𝐻=𝐴𝐻．∵𝐶𝑂⊥𝑂𝐴，𝐵𝐻⊥𝑂𝐴，∴𝐶𝑂//𝐵𝐻．∵𝐵𝐶//𝑂𝐴，∴四边形BCOH是平行四边形，∴𝐵𝐻=𝐶𝑂=8，𝑂𝐻=𝐶𝐵=6，∴𝑂𝐴=𝑂𝐻+𝐴𝐻=𝑂𝐻+𝐵𝐻=6+8=14．∴𝑎的值为14．②过点B作𝐵𝐻⊥𝑂𝐴于点H，过点F作OA的对称点Q，连接AQ、EQ，OB，如图4，则有∠𝑄𝐴𝑂=∠𝐹𝐴𝑂=45°，𝑄𝐴=𝐹𝐴，∴∠𝑄𝐴𝐹=90°．在𝑅𝑡△𝐵𝐻𝐴中，𝐴𝐵=√𝐵𝐻2+𝐴𝐻2=8√2．在𝑅𝑡△𝑂𝐹𝐴中，∠𝐴𝐹𝑂=90°，∠𝐴𝑂𝐹=∠𝑂𝐴𝐹=45°∴𝐴𝐹=𝑂𝐹=14=7√2，√2∴𝐴𝑄=𝐴𝐹=7√2．在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐵中，𝑂𝐵=√𝑂𝐶2+𝐵𝐶2=√82+62=10．在𝑅𝑡△𝑂𝐹𝐵中，𝐵𝐹=𝐴𝐵−𝐴𝐹=8√2−7√2=√2．由折叠可得𝐸𝐹=𝐵𝐹=√2，∴𝐴𝐸=𝐴𝐹−𝐸𝐹=7√2−√2=6√2．在𝑅𝑡△𝑄𝐴𝐸中，𝐸𝑄2=𝐴𝐸2+𝐴𝑄2=(6√2)2+(7√2)2=170．根据两点之间线段最短可得：当点E、P、Q三点共线时，𝑃𝐸+𝑃𝐹=𝑃𝐸+𝑃𝑄最短，最小值为线段EQ长．∴𝑃𝐸+𝑃𝐹的最小值的是√170．