第8讲错位相减求和一．解答
题
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（共11小题）1．已知为等比数列，，；为等差数列的前项和，，．（1）求和的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．【解析】解：（1）设等比数列的公比为，，；，解得．．设等差数列的公差为，，．，解得．．（2）．数列的前项和．．．．2．是等比数列，公比大于0，其前项和为是等差数列．已知，，，．（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为；（3）若则数列前项和①求②若对，任意，均有恒成立，求实数的取值范围（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？（5）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，，求这个新数列的前项和（6）设，其中，求（7）是否存在新数列，满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？【解析】解：（1）是等比数列，公比大于0，是等差数列，设公差为，，，，即，解得，，，，，即，，解得，．（2），当为奇数时，，当为偶数时，．数列的前项和为：．（3）①，，，两式相减，得：，．②由①可知若对任意，，均有恒成立，设，则，当时，，当时，，的最大值为，，实数的取值范围是，．（4）一般求数列最值的方法有：单调法，图象法、基本不等式法、邻项比较法．（5）数列的前项和为，数列的前项和为，①当时，．②当时，当时，，当时，，当时，也符合，当时，，③当时，．综上，．（6），即，，，设，前项和为，则：，，两式相减并化简，得：，，．（7）设存在新数列，满足等式成立，则，当时，，两式相减，得：，当时，，当时，，此时当时，也符合，得到数列的通项公式为．（8）数列求和的方法有公式法、错位相减法、裂项求和法、分组求和法，其本质还是看数列的通项公式．3．已知公差的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的通项公式；（3）令，，求数列的前项和．【解析】解：（1）依题意，得，又，可得．，即；（2），，两式作差可得：．又，；（3）当时，．当时，．．令，则，两式作差得：．．则．4．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列满足，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求的值．【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，，，，又，，，，，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，，①，②，②①得：，．5．设是公差大于零的等差数列，已知，．（1）求的通项公式；（2）设是以函数的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列的前项和．【解析】解：（1）设数列的公差为，则，解得或（舍，（3分）．（5分）（2），其最小正周期为，故数列的首项为1，公比，，（7分），令，①，两边都乘以2得，②②①得，（11分）故，（12分）6．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列满足，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求的值．【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，等差数列的前项和为，且，，解得，，数列的通项公式．等比数列满足，．，，，，的通项公式为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令，则，①，②①②，得：，．7．已知在等差数列中，前7项和等于35，数列中，点，在直线上，其中是数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列；（3）设，为数列的前项和，求并证明；．【解析】解：（1）设数列的公差为，则由题意知：得（3分）（2）点．在直线上①，②①②得，，（6分）又当时，数列是以为首项，为公比的等比数列．（9分）（3）由（2）知，，③④③④得，（14分）由③知的最小值是（16分）8．已知各项都为整数的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证：．【解析】（1）解：设等差数列的公差为，，，成等比数列，，，，解得，，又为整数，解得，，．（2）证明：，，，两式相减可得，化简可得，．9．已知等差数列的公差，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】解：（1），．，是方程的两根，且，解得，．，即，．（2）．数列的前项和．10．已知等差数列的公差，前项和为，是与的等比中项，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：，即，解得：．；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．．．．两式作差可得：．．11．已知数列是等差数列，其前项和为，数列是等比数列，且，，（1）求数列与的通项公式；（2）设，求数列的前项的和．【解析】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，得，，．由条件，得方程组，解得，所以，，．（2）证明：由题意可得①②由①②，得，．
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