证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)

PAGE 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 及各级各类竞赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：⑴添加或舍去一些项，如：；⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：；⑷二项式放缩:,,(5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩：Ⅱ.的放缩(1)：（程度大）Ⅲ.的放缩(2)：（程度小）Ⅳ.的放缩(3)：（程度更小）Ⅴ.分式放缩还可利用真（假）分数的性质:和记忆口诀“小者小,大者大”。解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法构造单调函数实现放缩。例：，从而实现利用函数单调性质的放缩：。先求和再放缩例1.,前n项和为Sn，求证：例2.,前n项和为Sn，求证：先放缩再求和（一）放缩后裂项相消例3．数列，，其前项和为，求证：解：令，的前项和为当时，点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。（二）放缩后转化为等比数列。例4.满足：用数学归纳法证明：，求证：解：(1)略(2)又，迭乘得：点评：把握“”这一特征对“”进行变形，然后去掉一个正项，递推关系放缩，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！三、裂项放缩例5.(1)求的值;(2)求证:.解析:(1)因为,所以(2)因为,所以奇巧积累：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)例6.(1)求证:(2)求证:(3)求证:(4)求证：解析:(1)因为,所以(2)(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例7.求证:解析:一方面:因为,所以另一方面:当时,,当时,,当时,,所以综上有例8.已知,,求证:.解析:所以从而四、分式放缩姐妹不等式:和记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.例9.姐妹不等式:和也可以表示成为和解析:利用假分数的一个性质可得即例10.证明:解析:运用两次次分式放缩:(加1)(加2)相乘,可以得到:所以有五、均值不等式放缩例11.设求证解析:此数列的通项为，，即注：=1\*GB3①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！=2\*GB3②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例11.已知函数，a>0,ba.0,若，且在[0，1]上的最大值为，求证：解析:例12.求证:解析:一方面:(法二)另一方面:六、二项式放缩,,例13.设，求证.解析:观察的结构，注意到，展开得，即，得证.例14.,试证明：.解析:,从而,一方面,另一方面所以,所以,综上有.例15.求证：简证如下：利用二项展开式进行部分放缩：只取前两项有对通项作如下放缩：故有例16.求证:.解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)七、部分放缩(尾式放缩)例17.求证:解析:例18.设求证：解析:又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，于是例19.设数列满足，当时证明对所有有；解析:用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论八、数列递推关系放缩例20.若,求证:解析:所以就有例21.求证:解析:设则,从而,相加后就可以得到所以例22.求证:解析:设则,从而,相加后就可以得到九、函数放缩例23.求证：.解析:先构造函数有,从而因为所以例24.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式:,例7.求证:解析:提示:函数构造形式:例25.证明:解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以十、分类放缩例26.求证:解析:例27.已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有并证明你的结论。解析:首先求出,∵∴,∵,,…,故当时,,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.练习：1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知求证：证明：若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.证明：由f(n)==1-得f（1）+f（2）+…+f（n）>.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n，求证：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))eq\f(eq\r(k),eqa\o(2,k))＜3．证明：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))=eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))＜1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(1,eq\r((k－1)k(k＋1)))＜１＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(2,eq\r((k－1)(k＋1))(eq\r(k＋1)＋eq\r(k－1)))==1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))(eq\f(1,eq\r((k－1)))－eq\f(1,eq\r((k＋1))))=1＋1＋－－eq\f(1,eq\r((n＋1)))＜2＋＜3．本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列满足求证：证明本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设求证：证明：∵∴∴，∴本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。1、设为大于1的自然数，求证2、设为自然数，求证3、若是自然数，求证证明：==注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。4、求证：证明：由（是大于2的自然数）得5、若a,b,c,dR+，求证：证：记m=∵a,b,c,dR+∴∴12时，求证：证：∵n>2∴∴∴n>2时,7、思路 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：对于学生来说，他们非常清楚证明此题的方向，即先放缩再求和，但是学生的问题就是放缩的误差过大，而不能判断是什么原因导致的误差过大.学生解法：提出以下改进方案.方案1：通项放缩不变，减少放缩的项数尝试1：第一项不放缩，从第二项开始放缩仍然失败，不过离成功更近了.尝试3：前三项不放缩，从第四项开始放缩终于成功了！方案2：减小通项的放缩误差反思：对于改进1，尽管最后没有成功，但从上面方案1的最终成功可以得到启发，改进为在求和时第一项不放缩，从第二项开始放缩。不等式得证.解题要在已有的知识基础上，探索解题思路的发现过程。