高中三角函数习题解析

三角函数题解1.（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移个，再沿y轴向2下平移1个，得到的曲线方程是（）A.（1－y）sinx+2y－3=0B.（y－1）sinx+2y－3=0C.（y+1）sinx+2y+1=0D.－(y+1)sinx+2y+1=01.：C1：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个+cos2x21和1个，因此可得y=－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.cos(2x−+)2评述：本题考查了曲线平移的基本及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C选项.2（.2002春、，5）若角α满足条件sin2α＜0，cosα－sinα＜0，则α在（）A.第一B.第二C.第三D.第四2.：B：sin2α＝2sinαcosα＜0∴sinαcosα＜0即sinα与cosα异号，∴α在二、四，又cosα－sinα＜0∴cosα＜sinα由图4—5，满足题意的角α应在第二图4—53.（2002上海春，14）在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形3.：C：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B4.（2002文，9）函数y=2sinx的单调增区间是（）A.［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）3B.［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）2C.［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D.［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）14.：A：函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间.5.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（）5A.（，）∪（π，）424B.（，π）C.（，）3D.（，π）∪（，）25.：C5解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，44由图4—6可得C.图4—6图4—7解法二：在圆上作出一、三的对角线，由正弦线、余弦线知C.（如图4—7）6.（2002，11）已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图4—1所示，那么不等式f（x）cosx＜0的是（）A.（0，1）∪（2，3）B.（1，）∪（，3）C.（0，1）∪（，3）图4—1D.（0，1）∪（1，3）6.：C2xf0)(xf0)(：解不等式f（x）cosx＜0x0cos或x0cosx30x301x30x1∴或∴0＜x＜1或＜x＜3x0x1227.（2002理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为2减函数的是（）A.y=cos2xB.y＝2|sinx|1C.y＝()cosxD.y=－cotx37.：B+2cos1x：A项：y=cos2x=，x=π，但在区间（，π）2上为增函数.图4—8B项：作其图象4—8，由图象可得T=π且在区间（，π）上为减函数.1C项：函数y=cosx在(，π)区间上为减函数,数y=（）x为减函数.因此y=（）cosx3在（，π）区间上为增函数.D项：函数y＝－cotx在区间（，π）上为增函数.8.（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致图象是（）8.：C：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非偶函数.3选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非偶函数.9.（2001春季、，8）若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（）A.第一B.第二C.第三D.第四9.：B：∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞90°，∴B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故选B.10.（2001全国文，1）tan300°+cot405°的值是（）A.1＋3B.1－C.－1－D.－1＋10.：B：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－3.11.（2000全国，4）已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（）A.若α、β是第一角，则cosα＞cosβB.若α、β是第二角，则tanα＞tanβC.若α、β是第三角，则cosα＞cosβD.若α、β是第四角，则tanα＞tanβ11.：D：因为在第一、三内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A、C，在第二内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四内，正弦函数与正切函数的增减性相同.12.（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（）12.：D：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0.213.（1999全国，4）函数f（x）=Msin（ωx＋）（ω＞0），在区间［a，b］上是增函数，且f（a）=－M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx＋）在［a，b］上（）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m413.：C解法一：由已知得M＞0，－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ（k∈Z），故有g（x）在2［a，b］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx＋＝2kπ时g（x）可取到最大值M， 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 为C.解法二：由题意知，可令ω＝1，＝0，区间［a，b］为［－，］，M＝1，则g（x）为cosx，由基本余弦函数的性质得为C.评述：本题主要考查函数y=Asin（ωx＋）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.14.（1999全国，11）若sinα＞tanα＞cotα（－＜α＜)，则α∈（）2A.（－，－）B.（－，0）4C.（0，）D.（，）14.：B解法一：取α＝±，±代入求出sinα、tanα、cotα之值，α＝－适合，36又只有－∈（－，0），故为B.4解法二：先由sinα＞tanα得：α∈（－，0），再由tanα＞cotα得:α∈（－，0）4评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.15.（1999全国文、理，5）若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x15.：B1：取f（x）=cosx，则f（x）·sinx=sin2x为奇函数，且T=π.2评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.16.（1998全国，6）已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一，则在［0，2π］内α的取值范围是（）535A.（，）∪（π，）244B.（，）∪（π，）43C.（，）∪（，）2D.（，）∪（，π）16.：B解法一：P（sinα－cosα，tanα）在第一，有tanα＞0，A、C、D中都使tanα＜0的α，故为B.53解法二：取α＝∈（,），验证知P在第一，排除A、C，取α＝∈（，34264π），则P点不在第一，排除D,选B.解法三：画出圆如图4—10使sinα－cosα＞0是图中阴影部分，又tanα＞0可得5或π＜α＜，故选B.244评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化的选择，采用排除法不失为一个好办法.1117.（1997全国，3）函数y=tan（x−π）在一个周期内的图象是（）2317.：A1112：y＝tan（x−π）＝tan（x－），显然函数周期为T＝2π，且x＝2323时，y=0，故选A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.（1996全国）若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（）3A.{x|2kπ－πcos2x得sin2x>1－sin2x，sin2x>.因此有sinx>或sinx<－.由正22357弦函数的图象（或圆）得2kπ+cotB.tancosD.sin－cos223.：A解法一：因为θ为第二角，则2kπ＋＜θ＜2kπ＋π（k∈Z），即为第一象22限角或第三角，从圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan＞cot.解法二：由已知得：2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，kπ＋＜＜4253kπ＋，k为奇数时，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z）；42图4—13k为偶数时，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z），都有tan＞cot，选A.评述：本题主要考查角的概念和三角函数概念，高于课本.24.（2002上海春，9）若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1)在区间［0，］上的最大值是2，3则ω＝.324.：42：∵0＜ω＜1∴T＝＞2π∴f（x）在［0，］区间上为单调递增函数33∴f（x）max＝f（）即2sin=2又∵0＜ω＜1∴ω＝3426725.（2002文，13）sinπ，cosπ，tanπ从小到大的顺序是.55562725.：cosπ＜sin＜tan5556：cos＜0，tan＝tan∵0＜x＜时，tanx＞x＞sinx＞05210276∴tan＞sin＞0∴tan＞sin＞cos555cos7sin158sin+26.（1997全国，18）的值为_____.sin7cos158sin−26.：2－3cos7sin158sin+sin(15cos)8158sin+−sin158cos：==sin7cos158sin−cos(15sin)8158sin−−cos158cos1−cos30=tan15==2−3.sin30评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 .27.（1996全国，18）tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____.27.：3tan20tan40+：tan60°=，∴tan20°+tan40°=－tan20°tan40°，tan120tan40−∴tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.28.（1995全国理，18）函数y＝sin（x－）cosx的最小值是.6328.：－41：y＝sin（x－）cosx＝［sin（2x－）－sin］＝［sin（2x－）－］62当sin（2x－）＝－1时，函数有最小值，y最小＝（－1－）＝－.评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）.xx29.（1995上海，17）函数y＝sin＋cos在（－2π，2π）内的递增区间是.2211329.：［−,］22xx：y＝sin＋cos＝2sin（+），当2kπ－≤＋≤2kπ＋（k242243∈Z）时，函数递增，此时4kπ－≤x≤4kπ＋（k∈Z），只有k＝0时，［－，］2（－2π，2π）.130.（1994全国，18）已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），则cotθ的值是.5330.：－4解法一：设法求出sinθ和cosθ，cotθ便可求了，为此先求出sinθ－cosθ的值.1将已知等式两边平方得1＋2sinθcosθ＝25变形得1－2sinθcosθ＝2－，49即（sinθ－cosθ）2＝251又sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π）5图4—143则＜θ＜，如图4—14247所以sinθ－cosθ＝，于是5433sinθ＝，cosθ＝－，cotθ＝－.55412解法二：将已知等式平方变形得sinθ·cosθ＝－，又θ∈（0，π），有cosθ＜02513＜sinθ，且cosθ、sinθ是二次方程x2－x－＝0的两个根，故有cosθ＝－，551243sinθ＝，得cotθ＝－.54评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，较灵活.1331.（2000全国理，17）已知函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R.22（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?1331.解：（1）y＝cos2x＋sinxcosx＋12213＝（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1445＝cos2x＋sin2x＋415＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋264＝sin（2x＋）＋y取得最大值必须且只需2x＋＝＋2kπ，k∈Z，2即x＝＋kπ，k∈Z.所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋kπ，k∈Z｝.（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换：①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图象；1②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数2y＝sin（2x＋）的图象；131③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数2y＝sin（2x＋）的图象；65④把得到的图象向上平移个长度，得到函数y＝sin（2x＋）＋的图象；43综上得到函数y＝cos2x＋sinxcosx＋1的图象.2评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.32.（2000全国文，17）已知函数y＝3sinx＋cosx，x∈R.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?32.解：（1）y＝3sinx＋cosx＝2（sinxcos＋cosxsin）＝2sin（x＋），x∈Ry取得最大值必须且只需x＋＝＋2kπ，k∈Z，2即x＝＋2kπ，k∈Z.3所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝（2）变换的步骤是：①把函数y＝sinx的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图象；②得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝2sin（x＋）的图象；经过这样的变换就得到函数y＝3sinx＋cosx的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.1433.（1995全国理，22）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值.133.解：原式＝（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°）21＝1＋（cos100°－cos40°）＋sin70°－43＝－sin70°sin30°＋sin70°4＝－sin70°＋sin70°＝.评述：本题考查三角恒等式和运算能力.3134.（1994上海，21）已知sinα＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，522求tan（α－2β）的值.334.解：由题设sinα＝，α∈（，π），524可知cosα＝－，tanα＝－512tan4又因tan（π－β）＝，tanβ＝－，所以tan2β＝=−21−tan2334−+tan−tan27tan（α－2β）＝=43=1+tantan21+12435.（1994全国理，22）已知函数f（x）=tanx，x∈（0，），若x1、x2∈（0，），且x11+xx21≠x2，证明［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.22sinx1sinx2sinx1cos235.证明：tanx1＋tanx2＝+=cosx1cosx2cosx1cosx2sin(x+x)2sin(x+x)=12=12cosx1cosx2cos(x1+2)15因为x1，x2∈（0，），x1≠x2，2所以2sin（x1＋x2）＞0，cosx1cosx2＞0，且0＜cos（x1－x2）＜1，从而有0＜cos（x1＋x2）＋cos（x1－x2）＜1＋cos（x1＋x2），+xx21)sin(2由此得tanx1＋tanx2＞，++xx21)cos(11+xx21所以（tanx1＋tanx2）＞tan221即［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.236.已知函数f=−log(sincos)1xx2⑴求它的定义域和值域；⑵求它的单调区间；⑶它的奇偶性；⑷它的周期性.5解（1）x必须满足sinx-cosx>0，利用圆中的三角函数线及22k+xk+，k∈Z445∴函数定义域为k2(+k2,+)，k∈Z∵sincos2sin()xx=−∴当x∈4445时，∴0sincos2−xx≤∴1∴函数值(2,2)kk++0sin()1−x≤y≥log21=−444221域为[−,+）2（3）∵fx()定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴fx()不具备奇偶性（4）∵f(x+2π)=f(x)∴函数f(x)最小正周期为2π注；利用圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以Ⅱ、Ⅲ角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号137.求函数f(x)=log1cos(x+)的单调递增区间234111解：∵f(x)=logcos(x+)令xt+=,∴y=logcost,t是x的增函数,又∵0<<1,∴当143122342y=为单调递增时,cost为单调递减且cost>0,∴2k≤t<2k+(kZ),∴2k≤21331x+<2k+(kZ),6k-≤x<6k+(kZ),∴f(x)=log1cos(x+)的单调递减区间是34442341633[6k-,6k+)(kZ)44538.已知f(x)=5sinxcosx-35cos2x+3（x∈R）2⑴求f(x)的最小正周期；⑵求f(x)单调区间；⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。解：（1）T=π5511（2）增区间[kπ-，kπ+π]，减区间[kπ+k,+]12121212kk5（3）对称中心（+，0），对称轴x+=，k∈Z6221239若关于x的方程2cos2(+x)−sinx+a=0有实根，求实数a的取值范围。解：原方程变形为：2cos2x−sinx+a=0即2−2sin2x−sinx+a=0,∴11721217a=sin2)−+,∵−1≤sinx≤1,∴当sin−=时，axmin−=；484817当sinx=1时，a=1,∴a的取值范围是[−1,]max817