(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

PAGE\*MERGEFORMAT#3.伯努利方程第七章常微分方程.变量可分离方程及其推广1.变量可分离的方程dydx0,1y1把原方程化为(1)方程形式：包dxPxQyQy0通解-dy-Qydz—1Pxz1dxQx再按照一阶线性Pxdx非齐次方程求解。(注：在微分方程求解中,常数另外再加)习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意4方程：崇QyPyx.dx—可化为—PyxdyQy以y为自变量，x(2)方程形式:M1xN1ydxM2xN2ydy0M1x通解dxM2xN^-y-dyCN1yM2x0,N12.变量可分离方程的推广形式(1)齐次方程dydxdy则—dxduxfdxdudxcIn|x|.一阶线性方程及其推广一阶线性齐次方程dyPxy0它也是变量可分离方程,dx一阶线性非齐次方程通解yCePxdx(c为任意常数)dydxQx用常数变易法可求出通解公式PxdxPdx代入方程求出Cx则得Pxdxe八Pxdx,QxedxC方程类型解法及解的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式nyfx通解yn'nn1n2fxdxC1xC?xn次Cn1xCn令yp，则yp,原方程yfx,ypfx,p——一阶方程，设其解为pgx,C1,即ygx,C1,则原方程的通解为ygx,C1dxC2。令yp,把p看作y的函数，则y业dpdypdpdxdydxdy把y,y的表达式代入原方程，得曲-fy,p—一阶方程，yfy,ydyp设其解为pgy,C1，即一ygy,C1，则原方程的通解为dxdy「xC2°gy,C1为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程(2)特征方程有二重根12则方程的通解为yC1C2xe(3)特征方程有共羯复根pn〔ypny0其中pii1,2,,n为常数。四.线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程ypxyqxyO(1)二阶非齐次线性方程ypxyqxyfx(2).若y1x,y2x为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合CiyixC2y2x(C1，C2为任意常数)仍为同方程的解，特别地，当y1xy2x(为常数)，也即y1x与y2x线性无关时，则方程的通解为yC1ylxC2y2x.若y1x,y2x为二阶非齐次线性方程的两个特解，则y1xy2x为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。.若yx为二阶非齐次线性方程的一个特解，而yx为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则yxyx为此二阶非齐次线性方程的一个特解。.若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C〔y1xC2y2x为对应的二阶齐次线性方程的通解(C1，C2为独立的任意常数)则yyxC1y〔xC2y2x是此二阶非齐次线性方程的通解。.设y〔x与y2x分别是ypxyqxyf〔x与ypxyqxyf?x的特解，则y〔xy2x是ypxyqxyf1xf2x的特解。五.二阶和某些高阶常系数齐次线性方程.二阶常系数齐次线性方程2_ypyqy0其中p,q为常数，特征万程pq0特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式(1)特征方程有两个不同的实根1，2则方程的通解为yC1e1xC2ei,则方程的通解为yexC1cosxC2sinx.n阶常系数齐次线性方程nn1n2yp〔yp2ynn1n2相应的特征万程p〔p2pn1pn0特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。(1)若特征方程有n个不同的实根1,2,,n则方程通解yC1e1xC2e2xCnenx(2)若0为特征方程的k重实根kn则方程通解中含有y=C1C2xCkxk1e0x(3)若i为特征方程的k重共轲复根2kn,则方程通解中含有_xk1k1_eC1C?xCkxcosxD1D?xDkxsinx由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。六、二阶常系数非齐次线性方程方程：ypyqyfx其中p，q为常数令-u，则uxdux-dxudxx(1u)du通解：yyCiyix3duudxCiIn|xu|CiCiuxueuce,_yxce其中CiyixC2y2x为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求?x2.ieydxxey-dyyPnxex其中Pnx为n次多项式,为实常数,xey(i)不是特征根，则令yRnxex解：,dy(2)是特征方程单根，则令xRnxex，ieyyu.(将y看成自变量(3)是特征方程的重根,则令x2Rndxdyduy，dy所以duy一dyeu(ui)2.fxx.PnxesinxPnxcosxduy一dyuuueeueue其中Pn为n次多项式,皆为实常数(i)若不是特征根，则令yexRnxcosxTnxsinxueuedudyyd(uueu)uedyyInInyiIny是特征根，则令yxeRnxcosxTnxsinx例题：一、齐次方程xeyxyyec.i.求y2x2dxxydy的通解二、一阶线形微分方程i.ydx(yx)dy0,y(0)i.解：y2(x2xy)dx0dydx2y2xyxdx解：可得dyx(i)i.这是以y为自变量的一阶线性方程解得y(cIny).x(i)0,c0.所以得解yiny.2.求微分方程dydx2.2y'’(y')2y,y(0)2,y'(0)1解：变形得:dxdy解：令即空dyy'3y,是一阶线性方程p,则y''p-dp,得到2p-dpp2ydydy1P(y)一,Q(y)y1—dyey1—dyydy3y4Cyu,得喧uy为关于y的一阶线性方程.三、伯努力方程xy'u|xp2(0)[y'(0)]2cey解：xy6y'dydxy所以u|xy(0)1y(0)ce2ce,c0.u,5y6y‛u’,u_5解得ux5(c2),5cx,5u'—ux53—x25x2.1,四、可降阶的高价微分方程-dy1dx,2,y1xC1,x9222.1.求(1x)yyln(x1）的通解y(0)2,得到41,得解2解：令yp,则yp，原方程化为（xi)ppln(x1)五、二阶常系数齐次线形微分方程1ln(x1)——p—(——)属于一阶线性方程x1x1(5)(4)c111c1111.yy2y'2y''y'解：特征方程5411.5ndx1mx1)x^dxeedxx1C122(1)(1)0,1,2,3i,4,51ln(xx11)dxC1ln(x1)1C1x1于是得解yc1ex(C2c3x)sinxc5x)cosxyln(x1)(xC1)ln(x1)2xC22.y(4)5y‘’10y'6yy(0)1,y'(0)0,y''(0)6,y'''(0)14解：特征方程4521060,(一2一一1)(3)(22)01,3,3,41i31—解联立方程得A—,B—,因此y10103-1.八—cos2x—sin2x1010得通解为xyc〔e3xc2eex(c3cosxc4sinx)故原方程的通解为yC1e2xC2ex3-1.八—cos2x—sin2x1010由y(0)1,y'(0)0,y''(0)6,y'''(0)143.y''yx3sin2x2cosx得到c1得特解y2,c22,x13xe-e2c31,c41解：特征根为齐次方程的通解为:c1cosxc2sinx六、二阶常系数非齐次线形微分方程1.求y2y3y2ex的通解ex(cosxsinx)y''y3sin2x待入原式得出:解：先求齐次方程的通解，特征方程为2，特征根为13,21。y''y2cosx因此齐次方程通解为YC1e3xC2ex待入原式得出:c1设非齐次方程的特解为y,由于1为特征根,因此设yxAex,c1c2x1,c2xc1cos0,所以1xxegcos0,c21,所以yc2sinxsin2xc2sinxxsinxc1sin2xc2cos2x(c〔cosxc2sinx)x、一-1代入原方程可得A12,故原方程的通解为C1e3xC2ex-xex2故原方程的通解为yc1cosxc2sinxxsin2xxsinx2.求方程yy2y2cos2x的通解七、作变量代换后求方程的解1.求微分方程(yx)J1x2-dy(1y2/2的通解dx解：特征方程为220，特征根为2,2解：令ytanu,xtanv,原方程化为(tanutanv)secv2.secudu因此齐次方程的通解为YC1e2xC2ex2.secvdv3secu设非齐次方程的特解为y，由于题目中0,2,2i不是特征根,因此设yAcos2xBsin2x,代入原方程可得(2A2B4A)cos2x(2B2A4B)sin2x2cos2x6A2B2,6B2A0化简为sin(usinz士1、duv)——dvdv1sinz21sinzdztanzseczsinz,dz1sinzwdzduv,则一一1,方程化为dvdvc,dv(sinz1)1,dzvc,1sinz1sinz.dzvc2coszc最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。InxInc23.1xy'sin2y221x2xsinye221x1xu'2xue2』1x2e为一阶线性方程2u'-u--,为贝奴利方;xlnxlnx入1u'令z-,则z'—2-.万程化为uu(xc)rr1解得z.即lnxcosy2.x(y1)sin(xy)0,y(—)0TOC\o"1-5"\h\z解：设xyuyuxdydu1dxdxdu.八dudx,xx——sinu0Incscucotudxsinuxc1cosxyc-cscucotu--一，因为x—,y0xsinxyx2所以18sxy_sinxy2x解：令usin2y,则u'y'sin2y.得到解得ue2'1x(cIn|x\11x2|).即sinye211"(cln|xv1x2|).4.xy'lnxsinycosy(1xcosy)0解：令cosyu,则u'y'siny.原万程化为u'xlnxu(1xu)0TOC\o"1-5"\h\zu'11±'u2xlnxulnx11z'z——,为一阶线性方程xlnxlnx(c,、,,(xc)cosylnx.lnx八、综合题x1.设f(x)=xsinx-0(xt)f(t)dt,其中f(x)连续，求f(x)解：由表达式可知f(x)是可导的，两边对x求导，则得xfxxcosxsinxftdt0再对两边关于x求导，得fxxsinx2cosxf(x)TOC\o"1-5"\h\z即fxfxxsinx2cosx属于常系数二阶非齐次线性方程.对应齐次方程通解yC1cosxC2sinx,非齐次方程特解设yxAxBcosxxCxDsinx代入方程求出系数r123A,B,C,D则得y-xcosx-xsinx,故f(x)的一般表达式4423f(x)xcosxxsinxC1cosxC2sinx44由条件和导数表达式可知f(0)=0,f00可确定出C10,C20因此一、12…3―f(x)—xcosx-xsinx442.已知yxexe2x,yxexex,yxexe2xex是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解^解：由线性微分方程的解的结构定理可得，x2xx_2xy〔y3e，y〔y2ee，y1yy2e对应的齐次方程的解，由解ex与e2x的形式，可得齐次方程为yy2y0.设该方程为yy2yf(x),代入y1xexe2x,得fx12xex.所以，该方程为yy2y12xex,其通解为C1exC2e2xxexe2x.3.设F(x)f(x)g(x)，其中f(x(g(x^()内满足以下条件f(x)g(x),g(x)”*),且£(0)0,f(x)g(x)2ex(1)求F(x)所满足的一阶和二阶微分方程(2)求出F(x)的表达式解：F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)f2(x)[f(x)g(x)]22f(x)g(x)(2ex)22F(x)可知F(x)所满足的一阶微分方程为F(x)2F(x)4e2x⑵F(x)e2dx/2x2dx.4eedxc2x/4x.e4edxc2xe2xce设方程(*)的特解为y=Acosx+Bsinx,—一1代入方程(*)求得A=0,B=——,故y=——sinx,21从而yysinx的通解是y(x)C1eC2e-sinx.23由y(0)0,y0—,得Ci1,C21,21故所初值问题的解为y(x)eesinx.25.设(x)是以2为周期的连续函数，(x)(x),(0)0,(2)0将F(0)f(0)g(0)0代入，可知cF(x)2xe2xe4.设函数内具有二阶导数，且y0,x(1)求微分方程曳ysinx(x)ec0sx的通解(2)以上这些解中，有没有dx以2为周期的解？若有，求出，若无，说明理由。反函数1)试将xd2x所满足的微分方程d-xdy满足的微分方程;3的解。2解:dxysinx-dy0变换为(2)求变换后的微分方程满足初始条件..一...dx1(1)由反函数导数公式知——dyydx即y-dy1,两端关于x求导解：(1)先解对应的齐次方程：—ysinx0yecosxccecosxdxcosxycxedycosxcosx-cxecxesinx带入上式dxxdx,因为(x)(x)xxdxcosxcosxcxxcyxece(2)若有以2为周期的解，满足：fx2fx0cosx2fx2fxex2cfxdxd2x2ydyd/y0,所以d2xdy2dxydy2ycosxx2cexc代入原微分方程得sinx(*)(2)方程(*)所对应的齐次方程x关键是看x是否为周期函数：x0xdx2xdx2000,x不是周期函数，所以没有2为周期的解。y0的通解为YC1exC2ex6.已知曲线y=f(x)(x>0)是微分方程2y〃+y/-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线，此曲线解：yy(x)在点P(x,y)的切线方程为：Yyx且在原点处的切线斜率为试求：(1)曲线y=f(x)到x轴的最大距离。(2)计算0f(x)dx它与x轴的交点为由于yx0,y0解：y12y3xex12,2于是有Si齐次方程通解为:1xcg212y2上一，又因为S22yx0ytdt2SiS21特解代入原式得:0,bc2e根据已知条件特解为:1,所以Y?x2ex,bxex2y2yx0ytdt,两边求导并化简得：yy所以通解为：y1xc1e2x2c?exex,由已知得:0,f0解上述微分方程：设y,则上述方程化为yp业dydpPdyy所以c1c20所以yx2ex到x轴的最大距离，即求y的最大值。PC1y，即崇gyC〔xC2e，根据y01,y0C11,C20。所以曲线方程为:2x0,x0,f24e22.设曲线L的极坐标方程为r(),M(r,)为1任一点,M0(2,0)为L上一定limx22x..xxelim—0xe点，若极径OM°,OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M°M两点所以fx到x轴的最大距离为4e(2)2.f(x)dxxde0x2xdx02九、微分方程的几何和物理应用1.设函数y(x)(x0)二阶可导,f(x)0,y(0)1,过曲线yy(x)上任意点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间0,x上以yy(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2&S2恒为1,求此曲线yy(x)的方程。间弧长值的一半，求曲线L的方程。解：因为ds,1由已知可得:y2dx22.rrds12-r02r2dr0.1arcsin一rdrr\r21求导可得:d，设rsect,,1-arcsin-Crrsin一61rcsc一6x3y2xu,5udxdux—dxdux——3uu1,当udx0,u1时3.有一在原点处与设曲线在原点与x轴相切并在第一象限的光滑曲线，P(x,y)为曲线上的任一点。P点之间的弧长为Si,曲线在P点处的切线在P点与切线跟duuu1dx3一两边积分后得x的交点之间的长度为S2,且3Si22(x1)S2,求该曲线的方程。解：设曲线方程为yfxS1曲线在P点的切线方程为:因此与y轴的交点为：0,yyx,S2两边求导得出:3cx,方程通解为y2dx因此S24.设函数fx在1,yxcx3y,再由y5.一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积K0，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为的3小时内，融化了其体积的-,问雪堆全部融化需要多少小时。8.2解：设雪堆在时刻t的体积V2成正比，比例常数ro的雪堆开始融化,所以2..1y2xx122x1yy,解方程得出:上连续，若曲线yfx,围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积Vyfx所满足的微分方程，并求y2j一的解.9解：由题意可知Vtt2fxdx13t2ftxO301y2由已知可得dVdtKsdV23223一x33直线x1,xt2ft2表面积为S2r。drr2dr贝U3tf2xdxt2ft1两边对t求导,3f22tft2ft得x2y23y2xy,生dx_yx_yx2drr-dtr。Ktdrdt-V8KtC,由roro3K3123——「0831……一八，—r0t,雪球全部融化时,66,即雪球全部融化需要6小时。、、、36.有一房间容积为100m,开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%,为了改善房间的空气质量，用一台风量为10m3/分的排风扇通入含气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出碳含量的百分比？解：设t时刻二氧化碳的浓度为x,在时间间隔t,t100.04%dx0.00410xdt10dt100xdt100dxdxx41040.04%的二氧化碳的新鲜空10分钟后，房间中二氧化出，浓度改变dx0.004dt10xdt100dx坐，两边积分可得：10，一4lnx410t10104可降至mO以内。（设湖水中A的浓度是均匀的）。解：设从2000年初（令此时，t0）开始，第t年湖泊中污染物A的总量为mt,因为t0,x1210410所以x4104810t410e10,x0.07%3.7.有一容积为500m的水池,3原有100m的清水，现在每分钟放进2m3浓度为50%的某溶液，同时每分钟放出1m3溶液，试求当水池充满时池中溶液浓度。解：设t时刻溶液中溶质的量为x,在时间间隔t,tdt,质量改变dx浓度为m,则在时间间隔t,tVm0Vdt上，排入湖泊中A的量近似为edtm。刀——dr6的改变量为:一排出量为:dmmOx250%1x100一dtt,dxx/dx1,dt100t代入初始条件m0这是阶线性微分方程先解对应的齐次方程:12ct-t2100t2—C一，再解非齐次方程100t12t2100tC2100c12-t2100t100t因为t0,x水池充满时100t500,xt400分钟，溶液浓度为——10048%8.某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物的污水量为V,流入湖泊内不6含污染物A的污水量为V,流出湖泊的水量为6V,已知1999年底中湖中A的含3量为5m0,超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中含A污水的浓度不超过m&,问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A的含量才V,m,_,、、＞—dt-dt,则在时间间隔33-dt,分离变量解方程:3m0m一2t,tdt上,tCe^m22t9e'令mm0,t61n3,即至多需要经过t61n3年，湖泊中污染物可以降至m0以内。A的含量才9.已知某车间的容积为30306m3,其中的空气含0.12%的二氧化碳，现以含二氧化碳0.04%的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在30分钟后使车间空气中二氧化碳的含量不超过合均匀，且以相同流量排出）0.06%（假定输入的新鲜空气与原有空气很快混解:dxdt设每分钟应输入am3,a0.04%axdt4410aax540030t时刻浓度为306dxdx410x,在时间间隔t,tdt,浓度改变dx4105400dt4aax出5400dxlnx41045400出C4—a-dt104Ce54000,x12101044一410810e—a-15400t30,x6104_3250m10.有一平底容器，其内侧壁是由曲线x(y)(y0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前容器内无液体).(1)根据t时刻液面的面积，写出t与(y)之间的关系式;(2)求曲线x(y)的方程.解：液面的面积将以m2/min的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为：_22t,而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与(y)之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t,它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可^(1)设在t时刻，液面的高度为y,则由题设知此时液面的面积为2(y)4t,从而t2(y)4.y2,、.――2,、一(2)液面的高度为y时，液体的体积为0(u)du3t3(y)12.上式两边对y求导，得2(y)6(y)(y),即(y)6(y).y解此微分万程，得(y)Ce6,其中C为任意常数，y由(0)2知C=2,故所求曲线方程为：x2e6.