变化率与导数公开课用

牛顿莱布尼兹两人同时创立了微积分微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。3.1.1变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题的快慢程度．变化率问题第一次第二次0.62dm0.16dm问题一:气球膨胀率气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为当气球的空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？思考在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,问题二:高台跳水(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态.探究式子平均变化率的定义 若设Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为这里Δx看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同理Δy=f(x2)-f(x1)ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2–x1=称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.思考?观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率例1、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]432.1例2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化率。解△y=［5(2+△x)2+6］-(5×22+6)=20△x+5△x2所以平均变化率为1.一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一段时间[1，2]内的平均速度为（　　）A．－4　　B．－8　　C．－6　D．6C课堂练习2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数的改变量为（　　）A．f(x0+△x)　　B．f(x0)+△xC．f(x0)·△x　D．f(x0+△x)－f(x0)D（1）2(x1+x2)（2）4x0+2Δx5课堂练习小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:3.函数的平均变化率的几何意义：(1)求函数的改变量：Δf；(2)计算平均变化率表示函数图象上两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))连线（割线）的斜率。在高台跳水中，函数关系h=-4.9t2+6.5t+10如何求ｔ＝2时的瞬时速度？瞬时速度：物体在某一时刻的速度3.1.2导数的概念当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? △t<0时,在[2+△t,2]这段时间内 △t>0时,在[2,2+△t]这段时间内瞬时速度　（在局部）先求平均速度，然后取极限。⑴如何求瞬时速度？⑵lim是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示?思考１、函数的平均变化率怎么表示？思考导数的定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,导数的作用：在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率*求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是:注意：Δx可正也可负.一差、二比、三极限例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.练习(1)求函数f(x)＝eq\f(1,x)在x＝1处的导数(2)已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.f′(1)＝－1f′(1)＝2a＝2，∴a＝1练习：(1)求函数f(x)＝eq\f(1,x)在x＝1处的导数解：(1)∵Δy＝eq\f(1,x＋Δx)－eq\f(1,x)＝eq\f(－Δx,xx＋Δx)(2)已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.(2)∵Δy＝a(x＋Δx)2＋c－(ax2＋c)∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,xx＋Δx)∴limeq\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝limeq\o(,\s\do4(Δx→0))[－eq\f(1,xx＋Δx)]＝－eq\f(1,x2)∴f′(1)＝－eq\f(1,12)＝－1＝2axΔx＋a(Δx)2∴f′(x)＝limeq\o(,\s\do4(Δx→0))(2ax＋aΔx)＝2ax∴eq\f(Δy,Δx)＝2ax＋aΔx∴f′(1)＝2a＝2，∴a＝1计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。这说明:在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。练习：小结：1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度（3）求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限一、复习1、导数的定义其中：⑴其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。其几何意义是？3.1.3导数的几何意义PPnoxyy=f(x)割线切线T（曲线在某一点处）切线的定义当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。此处切线的定义与以前的定义有何不同？思考M△x△y割线与切线的斜率有何关系呢？即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，探究结论Q2Q3Q4T继续观察图像的运动过程，还有什么发现？当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.hto函数的导函数函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。故所求的斜率为-2.课堂练习:如图（见课本P80.A6）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。P80.B2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；练习:思考：物体作自由落体运动,运动方程为：其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：(1)物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2)物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.分析:小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δf=Δy=f(x2)-f(x1)＝f（x1＋Δx）－f(x1);(2)计算平均变化率3.函数的平均变化率的几何意义：表示函数图象上两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))连线（割线）的斜率。4.函数在x=x0的瞬时变化率*