易错点05 三角函数与解三角形 （解析版） -备战2021年新高考数学一轮复习易错题

易错点05三角函数与解三角形—备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】例1（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.例2（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】【解析】【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设，由题意，，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，，，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.例3（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．【易错警示】易错点1角的概念不清例1若、为第三象限角，且，则（）A．B．C．D．以上都不对【错解】A【错因】角的概念不清，误将象限角看成类似区间角．【正解】如取，可知A不对．用排除法，可知应选D．易错点2忽视对角终边位置的讨论致误例2若的终边所在直线经过点，则．【错解】∵，所以．【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论【正解】∵直线经过二、四象限，又点P在单位圆上，若的终边在第二象限，则，若的终边在第四象限，∴，综上可知．易错点3忽视函数的定义域对角范围的制约致错例3求函数的最小正周期．【错解】，，即函数的最小正周期为．【错因】忽视其定义域导致错误，不是的周期，因为当时，有意义，所以由周期函数定义知应有成立，然而根本无意义，故不是其周期．【正解】由于函数的定义域为，故作出函数的图象，可以看出，所求函数周期应为．易错点4对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致误例4若，则=（）A．B．C．D．【错解一】，无答案．【错解二】，故选D．【错因】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角看作锐角时，所在象限的相应余弦三角函数值的符号．【正解】，故选A．易错点5忽略隐含条件例5若，求的取值范围．【错解】移项得，两边平方得即【错因】忽略了满足不等式的在第一象限，上述解法引进了．【正解】即，由得∴易错点6因“忽视三角函数中内层函数的单调性”致错例6单调增区间为（）A．, B．,C．, D．,【错解】由题意，，解得，所以单调增区间为,，故选A．【错因】内层函数为减函数，因此不能直接套用的单调性来求．【正解】∵，即求函数的减区间．故函数的增区间为,，故选B．易错点7图象变换知识混乱例7要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．先将每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向右平移个单位．B．先将每个值缩小到原来的倍，值不变，再向左平移个单位．C．先把每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向左平移个单位．D．先把每个值缩小到原来的倍，值不变，再向右平移个单位．【错解】A、C、B【错因】变换成误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A或C；把平移到平移方向错了，平移的单位误认为是，误选B．【正解】由变形为常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到函数的图象，再将函数的图象纵坐标不变，横坐标向右平移单位．即得函数，故选D．易错点8已知条件弱用例8在不等边△ABC中，为最大边，如果，求A的取值范围．【错解】∵，则，由于cosA在（0°，180°）上为减函数且，，又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°．【错因】审题不细，已知条件弱用，题设是为最大边，而错解中只把看做是三角形的普通一条边，造成解题错误．【正解】由上面的解法，可得A＜90°，又∵为最大边，∴A＞60°，因此得A的取值范围是（60°，90°）．易错点9三角变换不熟练例9在△ABC中，若，试判断△ABC的形状．【错解】由正弦定理，得，即．∴2A＝2B，即A＝B．故△ABC是等腰三角形．【错因】由，得2A＝2B．这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏．【正解】同上得，∴2A＝，或．∵或．故△ABC为等腰三角形或直角三角形．易错点10解三角形时漏解例10已知在△ABC中，a＝，b＝,求、和边．【错解】由正弦定理,得sinA＝所以，，，所以，＝．【错因】上述解法中，用正弦定理求C时，丢了一个解，实际上，由sinA＝可得或，故或．【正解】由正弦定理,得sinA＝因为，，所以或，当时，，＝．当时，，＝．易错点11不会应用正弦定理的变形公式例11在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值．【错解】∵A＝60°，b＝1，，又，∴，解得c＝4．由余弦定理，得又由正弦定理，得．∴．【错因】公式不熟、方法不当，没有正确应用正弦定理．【正解】由已知可得．由正弦定理，得．．【变式练习】1.已知为第三象限角，则是第　　　象限角，是第　　　象限角．【解析】是第三象限角，即，当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角；而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上.2.函数y＝＋＋的值域是(　　)A．{－1，1} B．{1，3}C．{1，－3} D．{－1，3}【解析】由条件知终边不能落在坐标轴上，故要分四种情况讨论：当的终边分别落在第一、二、三、四象限时，上述函数的值域为{－1，3}．故选D.3.记，那么()A．B．　C．　　D．【解析】∵sin80°==，∴tan100°=－tan80°=－－=－．故选B．4.已知，，求的值．【解析】据已知（1），有，又由于，故有，从而即（2），联立（1）、（2）可得，可得．5.若，则函数的单调递增区间为.【解析】，所以由，可得函数的的单调增区间，又因为，所以函数的单调递增区间为.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解析】试题分析：函数，将函数的图象向右平移个单位长度得到，故答案为C．7.在中，．求的面积．【解析】根据正弦定理知：，即，得，由于即满足条件的三角形有两个故或.则或故相应的三角形面积为或．8.在△ABC中，若∶∶7∶8∶13，则角．【解析】由正弦定理可得，所以可设，由余弦定理，所以．9．（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）10.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km,,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm．（I）按下列要求写出函数关系式：①设，将 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短．【答案】（I）①②（Ⅱ）选择函数模型①，P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处．【解析】（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，，则故，又，所以．②，则，所以，所以所求的函数关系式为．（Ⅱ）选择函数模型①．．令得，又，所以．当时，，是的减函数；时，，是的增函数．所以当时．当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处．【典例分析】1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为A． B．C． D．【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：，又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得.所以函数最小正周期为故选C．【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则A． B．C． D．【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A．【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若α为第四象限角，则A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以，故选：D．方法二：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，根据余弦定理：，，可得，即，由，故.故选：A．5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【解析】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是A． B．C． D．【答案】A【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，，则.故选：A．【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=A． B．C．D．【答案】BC【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC．【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案为：.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9．【2020年高考全国III卷理数】16.关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．【2020年高考江苏】已知=，则的值是▲．【答案】【解析】故答案为：【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11．【2020年高考北京】若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．【答案】（均可）【解析】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.12．【2020年高考浙江】已知，则_______，_______．【答案】；【解析】，，故答案为：【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年高考江苏】将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是▲．【答案】【解析】当时.故答案为：【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】【解析】设，由题意，，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，，，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15．【2020年高考全国II卷理数】中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值．【解析】（1）由正弦定理和已知条件得，①由余弦定理得，②由①，②得.因为，所以.（2）由正弦定理及（1）得，从而，.故.又，所以当时，周长取得最大值.16．【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．【解析】（1）在中，因为，由余弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以（2）在中，因为,所以为钝角，而,所以为锐角.故则.因为，所以，.从而.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17．【2020年高考天津】在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【解析】（Ⅰ）在中，由余弦定理及，有．又因为，所以．（Ⅱ）在中，由正弦定理及，可得．（Ⅲ）由及，可得，进而．所以，．【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．【2020年高考北京】在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，故，由题意得.（Ⅱ）由得，由是锐角三角形得.由得.故的取值范围是.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 一：选条件①．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得．由①，解得．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．方案二：选条件②．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得，，．由②，所以．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．方案三：选条件③．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得．由③，与矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．