(完整版)无穷级数练习题

4PAGE\*MERGEFORMAT#、填空题无穷级数习题1、设幕级数2、幕级数(2n1)xn的收敛域为03、幕级数nnx2n1的收敛半径ri(3)n2nanxn的收敛半径为3,则幕级数nan(x1)n1的收敛区间为on14、幕级数5、级数n乜各的收敛域为1n46、级数”0響的和为7、1n1n(2)n12&设函数f(x)xx2(x)的傅里叶级数展开式为(ancosnxbnsinnx),则其系数b3的值为1,x0,9、设函数f(X)2则其以2为周期的傅里叶级数在点x处的1x,0x,敛于。10、级数1的和。n1n(n1)(n2)ao2n1(x2)2n11、级数的收敛域为n1n4参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：1、(2,4)2、(1,1)226、7、48、—2In333、R.34、1,1)5、(0,4)1219、一10、11、(0,4)xn的收敛域是o、n1、选择题1PAGE\*MERGEFORMAT#1、设常数20,而级数ann1收敛,则级数(n1an是((A)发散(B)条件收敛绝对收敛1}n2(D)收敛与有关2、设Pn，qnanan2n1.2L,则下列命题中正确的是((A)an条件收敛,Pn与qn都收敛。1(B)an绝对收敛，1Pn与nqn都收敛。1(C)an条件收敛,1Pn与nqn的敛散性都不一定。1(D)an绝对收敛，1Pn与nqn的敛散性都不定。13、设an0,n1,2L，若nan发散,(1)1an收敛，则下列结论正确的是()。(A)a；n1收敛，1a2n发散.n1(B)a2n1收敛,a2n1发散.n1(C)(a2n11a2n)收敛.(D)(a；nn1a2n)收敛.4、设为常数,sin(n(2n1n(A)(B)条件收敛.(C)发散.(D)收敛性与取值有关.5、级数(n11)n(1COS—)(常数n是((A)发散.(B)条件收敛.(C)绝对收敛.(D)收敛性与有关.6、设Un(11)nln(1)，则级数dn(A)Un与1nu2都收敛.1(B)Un与U；n1都发散.(C)Un收敛而1nu2发散.0(D)un发散而1u2收敛.1PAGE\*MERGEFORMAT#n17、已知级数(1)an2,n1a2n1n15，则级数an等于（n1(A)3.(B)7.(C)8.(D)9.&设函数f(x)x2(0x1)，S(x)bnsinn1其中bn20f(x)sinnxdx,1,2,3L，则S（(B)(D)9、设f(x)x,2x,其中an2anf(x)cosn1(B)-210、设级数(A)(n1xdxS(x)a0ancosnx,(n0,1,2,L)3(C)-4(D)则S(n收敛，则必收敛的级数为11)nF(B)n2Unn1(U2n1U2n).(D)(UnUn1).11、已知级数n1(1)ann1a2n，则级数ann1等于（(A)3.(B)7.8.(D)9.12、若级数an收敛，则级数1(A)nan1收敛.（B）（1)nan收敛.anan1收敛.113、若an(xn01）n在x1处收敛，则此级数在2处（（A）条件收敛.（B）绝对收敛.发散.(D)敛散性不能确定.14、设幕级数anXn与n0bnxn1的收敛半径分别为-5与-，则幕级数驾xn的收敛半33n1bn径为((A)5.(B)1(C)—3参考答案:1234567891011121314CBDCCCBCDCDBA三、解答题1、设f(x)在点x0的某一邻域内具有二阶连续导数，且1f()绝对收敛。n1n【分析一】limf(X)x0x0表明x0时f(x)是比x高阶的无穷小,若能进一步确定f(x)是x的p阶或高于p阶的无穷小，p1，从而也是-的np阶或高于p阶的无穷小，这就 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 了1f(丄)绝对收敛。nf(x)0及f(x)的连续性f(0)0,f(0)xx0邻域有二阶连续导数及洛必达法则lim与if(x)x0xx【证明一】由limx00。再由f(x)在lim0limf(X)2xx01-f(0)f(x)2x1-|f(0)■由函数极限与数列极限的关系limxf(-)n1-2n11f(0)1f()绝对收敛。1n2、设正项数列an单调减小，且1)nan发散，试问级数(」)n是否收敛?n1an1【分析与求解】因an单调下降有下界0极限limxana0。若a0,由莱布尼兹法则，并错级数1)nan收敛，与假设矛盾，于是a现在对正项级数1—)n可用根值判别法：因为an1limnn(—nn—收敛区间,13n(2)nn)nlim一—an1nan1a1所以原级数收敛。3、求幕级数n并讨论该区间端点处的收敛性。n【分析与求解】直接用求收敛半径的公式,先求3n(2)nlimn3(1于是收敛半径R3，收敛区间为(3,3).当x3时是正项级数:3n13n_3^3n(2)n1：」(nnn1而一发散，n1n3n丄1飞n一发散，即13ng(2)nnx3时原幕级数发散。3时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。3n3n(2)nn1(1)n(3n(2)n(2)nlimn3n(2)n(1)nn3n2n(2)n2n3n(2)nn2nlimn3n3n(2)n12一0,(-)n收敛,nn132nn13n(2)n原幕级数收敛。4、（1）验证函数y(x)3x3!6x6!（2）利用（1）的结果求幕级数【分析与求解】(1)首先验证该幕级数的收敛区间是原级数x3nn0(3n)!tnno(3n)!limn(3(n1))!limn），从而其次,3nx3n3n(2)nn1收敛，即x3时）满足微分方程3nx°(3n)!的和函数。）.这是缺项幕级数，令t(3n3)(3n2)(3n1)°）时原级数收敛。在收敛区间内对幕级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次:3n1y(x)n1益1)!y(x)3n2xn1(3n2)!y(x)y(x)y(x)x3，则).3n2xn1(3n2)!3n1x1(3n1)!3nx°(3n)!级数的线性性质x3n21((3n2)!3n1x(3n1)!23/xx(x2!3!456)(xxx(4!5!6!x3n(3n)!)x）.（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）x3nPAGE\*MERGEFORMAT#(2)因为幕级数的和函数n0(3n)!y(x)满足微分方程又知y(0)1,y(0)0.所以为求y(x)只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②该方程相应的齐次方程的特征方程为10.特征根为121<3)22相应齐次方程的通解为-.3——X2C2SiQx).21xye2(C1cos设非齐次方程的一个特解为yAex，代入方程①得3Aex非齐次方程①的通解为Xe2(C1.3cosx21xx)e.23令x0，由初始条件②因此5、求幕级数ny(0)y(0)3nXn0(3n)!(1)n1(11Cly(x)1,C2n(2n1)C10.)x2n的收敛区间与和函数3,C20.3f(x).【分析与求解】这是缺项幕级数，令tx2,考察antn，其中n1an(1)n1(1PAGE\*MERGEFORMAT#1p^ann2an1.antn的收敛半径为n1原幕级数收敛半径为1,收敛区间为(1,1)。F面求和函数:f1(x)n1)n12nX(1)n112(n1)Xn2n1)Xx2f2(X)n1)1n(2n1)2nX，f2（X）2n17f2(x)1)n1X2(n1)21X2(x1)1)n1,2A(1)n(nn02n1)1(1广亍n(nn021)注意f2(0)0,f2(0)0，积分两次得f2（X）X0f2(t)dtx122dt01t22arctanx,f2（X）X0f2(t)dtX2arctantdt02xarctanx22xarctanx21n(1x)(x1).因此,f(x)f1(x)f2(x)12xxarctanXX1n(1X2).的和。6、求级数011)号(n2nXt严【分析与求解】先将级数分解:第二个级数是几何级数，它的和已知n0(1)n乙2求第一个级数的和转化为幕级数求和,考察(X1)S(x)(1)nn(n1)xn2n0nn(1)xn0x)2(1x)3111川尹n(n1)S('2)124134(12)3427因此原级数的和4222273277、求级数1n22n(n21)的和。【分析与求解】先用分解法将原级数分解。丄(丄丄)n122n1n1n要熟记五个简单函数的幕级数展开式,因此n1/22(n1)x)n1(1)nn1n/x(1x1).11n22n1(n1)n12n2n1(1)n1/1、n11—()-1n(1—4n1n24211n22n1(n1)n32nn(1)n1(2)n(1)n1(n3n2n1n1n(111)-1-1n25J2288A1A2531n2.84与此级数和有关的是1n(1AiAA)12-1n2，4展为x的幕级数。)"扛(f(x)arctan1x1x【分析与求解】f(x)容易展开。n22n1(n1宀A1A2.1n(1x)，即f(x)1(1x)(1x)(1)()1x21(戶)21x(1x)2(1x)2(1x)2112’x由丄1t1tf(x)t2L11x2(1)ntnL(1)ntn(t1)，得n01).①(n0八n2n1)x(x在幕级数的收敛区间内可逐项积分得xx“0f(t)dt(1)nt2ndt,01n0f(x)f(0)(1)n2n1——x((1)nx2n1②n02n14n02n11x且收敛区间不变，当x1时，②式右端级数均收敛，而左端f(x)arctan在x11x连续，在x1无定义，因此arctan1__x(—必x2n1,x1,1)1x4n02n19、将函数f(x)丄仆14【分析与求解】f(x)f(x)-41x1x1-1n(1x)411—arctanx21-1n(1411积分得展开成x的幕级数。1x)arctanx2先求f(X)的展开式x211221x24nx04nx1(xDf(x)f(0)(x)dxXt4ndt0x4nm4n1(x1).10、设f(x)试将f(x)展开成x的幕级数，并求级数1x2arctanx,x21,丄的和。4n【分析与求解】关键是将arctanx展成幕级数，然后约去因子x，再乘上1x并化简即可。直接将arctanx展开办不到，且(arctanx)易展开，即1(arctanx)21x八n2n1)x,x1,积分得arctanxx0(arctant)dtxn1)0tdt(1)n2n1xo2n1x1,1.②因为右端级数在x1成立。1时均收敛，又arctanx在1连续，所以展开式在收敛区间端点现将②式两边同乘2arctanxx(1x2)2no2n(1)1x2n2nn2n2(1)xn02n11/112n]x2n1Vn1|丿L小，2n11(1)n22n2x,x[1,1],x0n114n2上式右端当x0时取值为1，:于是f(x)1(n_1)22n2X,x[1,1].n114nno2nn1(1)nx2n1in2n1上式中令x1(1)nn114n211[f(1)1]2[241]11、将函数f(x)2x(11)展成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数【分析与求解】的和。按傅氏系数公式，先求f(x)的傅氏系数an与bn。因f(x)为偶函数bn0(n1,2,3L).an1ni10f(x)cos〒xdx=21o(2x)cosndx2PAGE\*MERGEFORMAT#注意到为了求现由14cosn0a。f(x)在[f(x)22xdx一n2昇(1)n1]10(2x)dx1,1]1xdsinn021sinn0xdx22cosnn5.1~2n1n12、将函数f(x)4(2k1)20,2k1,2k.(n1,2,L)分段单调，连续且f(1)2(2n上式中令1(2n1)21)21(0【分析与求解】这就是将氏系数:f(1)―cos(2n1)，于是有傅氏展开式1)1(2n(2n)2x,x1)21(2n1)2x2)展开成周期为4的余弦级数。f(x)作偶延拓后再作周期4的周期延拓，于是得f(x)的傅0(n1,2,3L).2i「nxl2?0f(x)cosldx—22n0(x1)dsinxn024n2422cosx22n20nbn0((an1)n2n(x1)cosxdx2sin—xdx222n01)8(2k1)20,2k2k,1,k1,2,3LPAGE\*MERGEFORMAT#222a020f(x)dx0(x由于(延拓后)f(x)在f(x)13、求幕级数解：设anlimx记VnVn1Vn1)dx-(x22,2分段单调、1)2连续且12cos1(2n1)(2n20.f(1)f(1).于是f(x)有展开式」x,x0,2.n13n(2)n-xn的收敛区间,n并讨论该区间端关处的收敛性。3nan1anJ(2)nnlimx收敛区间3时，an1—发散2n3时,an0,n1,2,L,3n3n1(1)n(2)nn1(n1)lim1x311(2)n1(3)1(2)n133(3,3).3n3n(n2)n11(I)原级数在x3处发散。12n3n3)nnn((2)(1)n2nn3n(2)n_2123n1(故原级数在x2)n10,n3n(2n1,2,L,2)n,n2nn13n(2)n3处收敛收敛域内13"(2)nn231(3)1(丄收敛，又1n3,3).丄收敛。n1n14、将函数f(X)—展开成x的幕级数。X分析先将f(x)分解成部分分式，再利用等比级数间接展开。解：f(x)n(2x)(x1)2111111()32x31x3\x1xi21护°，2x2,n02(1)nxn,1x1.n0f(x)nn1)x2n1)1x1.12x15、将函数f(x)列anp展开成x的幂级数，并求级数1)nn02n1的和。分析直接展开较困难，先将f(X)展开，再递项积分得出f(x)的展开式f(x)2(12x)2(12x)2(12x)(1)n(4x2)nn014x2nn2n2(1)4xn0x-f(x)f(0)2(1)n4n°tdtn0-244nx2n14n02n1°2n1?2n13收敛n02n1(莱布尼兹判别法)2时，.0卅4"驴(1)n收敛112'2f(x)-2亠nx2n14n02n11(1)又f()arctanO024no2n1(1)n_no2n14'16、求幕级数(1)n12n1X的收敛域及和函数n1n(2n1)s(x).解：求收敛域，由于该幕级数缺项幕级数，则直接用比值判别法求之，设Un(x)n12n1(1)Xn(2n1),n1,2LlimXUn1(X)Un(X)limX2n3xn(2n1)(n1)(2n1)X2n1X2当X21，即X1时，原级数绝对收敛;当X21,即X1时，原级数发散。所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是（1,1）.当X1时,(1)n1n1n(2n绝对收敛（Q1）n(2n1)同理，当x1时，n（以绝对收敛,1n（2n1）因此，该级数的收敛域为1,1S(x)n12n(1)X1n(2n1)x1,1..n117、求幕级数(1)(1n1——1——)x2n(1)的收敛区间与和函数f(X)。n(2n1)解：此级数（1）是缺项的幕级数令Un(x)(1)n1(11)xn1n(2n1)1x2n,n1,2Ln(2n1)n(2n1)QlimUn1(X)lim(n1)(2n1)1nUn(x)n(n1)(2n1)当x21，即；x1时，级数(1)绝对收敛;当x21，即；x1时，级数(1)发散。级数(1)的收敛区间为(1,1)n(2nn(2n1)2X1)1(1)nn11(1n(2n1)2n)x(1)n112nx12n一x12n(2n1)(1)n记g(x)1)n12nx2x-2，1x1,1)S(x)1)n12n(2n1)x2n(例7)xarctamx(1x2)f(x)g(x)2S(x)x22arctanxlin(1x2),x(1,1)18、(1)讨论级数(n1)!nn1的敛散性,(2)已知级数2ann=1和b"都收敛,n1试证明级数anbn绝对敛。(1)Q乩Un(n2)!(n1)n2nn1n(n2)1(n1)!(n1)2(1(n1)!n1n1n收敛(2)证a；与bn都收敛n1n12anbn收敛anbn收敛n1n1即xn绝对收敛。n119、设有方程xnnx10，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正实根Xn，并证明当1时，级数xn2收敛。n1分析(1)存在性用根的存在定理，唯一的性用函数的严格可调性(2)用比较判别法证明Xn收敛。n1证(1)取fn(x)Xnnx10，则fn(x)在0,1上连续，且fn(0)10,f(1)n0nn(0,1)，使f(Xn)0，又fn(x)nXn1n0,x0,fn(x)在0,上严格递增方程xnnx10存在唯一正实根xn(0,1).由£nXn10且Xn(0,1)，有TOC\o"1-5"\h\z1X：1n10Xn:0Xn(1)nnn1又丄收敛nn收敛。n1nn120、设ananan24tannxdx4tann2*xdx4tannx(1tan2x)dxno00tannxdx.n01试证：(anan2)n1n04tannxseCxdxtannxd(tanx)tannx0丄(anan2)n1n1n1n(n1)11PAGE\*MERGEFORMAT#Snn1k(k1)&)(2)证由于因此21、求级数1(nan1)10伽皿jt01t21tndt011,—收敛n11收敛。1n(X2n1n3)的收敛域。【解】因系数an2(nn1,2L)，故tann,nlimxan1anarctantlimx2n(n1)21.因此当1x34时级数绝对收敛。当x2时，得交错级数1)1班；当x4时，得正项级数1~2，1n二者都收敛,于是原级数的收敛域为2,422、已知函数f(x)(1)So20f(x)exdx;(3)so2n22nf(x【解】用分段积分法,1x(1)s00xedxx,2x若12n)exdx(n1.试计算下列各题:2.2,3L)；(2冷(4)s42f(x2)exdx;Sn0分部积分法和换元积分法，分别可得2x1x2x(2x)edxxedxxedx1012exdxPAGE\*MERGEFORMAT#xxe11x.xedxxe02t(2)®x2tof(t)e2dte2(3)Snx2ntof(t)e2ndt(4)利用以上结果，有sSnno23、设有两条抛物线ynx22:exdx-1-1(1丄)21eeetof(t)edtSoee2nSon2of(t)e(IToe(ntdts)eSo；2，e2nSd.2n；eSo1~2e1)x12(ee22eSo(e1)~22e1e11)2；，记它们交点的横坐标的绝对值为an。(1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；(2)求级数§的和。n1an【解】(1)用Ln与Ln1分别表示两条抛物线21.21ynx与y(n1)x丄n与Ln1nn1⑵因为鱼414(丄an3n(n1)3n于是n_Sk4(1k1ak3122故Snnlim4-lirn1annk1ak3n1)(n1,2LL)，n111141-)L()(1)3nn13n114(1)-n13有两个交点(an，yn)与(an,yn)，如图5.2.令nx21(n1)x211容易求得an1，利用定积分还可求得两nn1"Jn(n1)抛物线围成的平面图形的面积。an21/“、21」Soanx-(n1)xdxannn12anan2xdxan41n(n1)3n(n1)、n(n1)"24、设Insinnxcosxdx,n0,1,2,L，求【解】由In4sinnxd(sinx)—0n1n1(sinx)1■40&(#)n1，有令s(x)In01(耳1n0Tl(T)-xn1，因其收敛半径n0n1R1，且s(0)0,故在(1,1)内有s(x)s(x)s(0)%丄dt01t1n(1x),1pxp1.(1,1),即得1/2n1.0773)1n(1舟)1n(2.2).从而Inn004sin'cosxdx寻)1n(2,2).n1xe25、已知fn(x)满足fn(x)fn(x)Xe(n为正整数)，且fn(1)，求函数项级数nfn(x)之和。n1【解】由已知条件可知fn(x)满足一阶线性微分方程nfn(x)fn(x)xn1ex,其通解为fn(x)e"'C).nnxexe由条件fn(1)，得C0,故fn(x).从而nxxen1nnnnxxefn(x)n1n1nn记s（x）-，其收敛域为n1nx故s(x)s(0)0s(t)dt—dt01tln(1x).由s(x)与ln(1x)在x1的连续性知，上述和函数公式在x1处也成立,于是，当1x1时，有fn(x)exs(x)n1ex1n(1x).3x6x9x3nx26、（1）验证函数y（x）1LL(x3!6!9!(3n)!xyyye；3n（1）利用（1）的结果求幕级数x的和函数。n0(3n)!【解】（1）因为幕级数）满足微分方程3z、“x6x9x,y(x)1-L3!6!9!3nx(3n)!的收敛域是（，），因而可在（）上逐项求导数，得1,1),且S(0)0,当x(1,1)时，有3n1x(3n1)!y(x)(x)x4x7x.3rx12L，y—L4!7!(3n2)!2n所以yyy1x.xLxX/Le(2!n!2n（2）与yyy1x—LxX/-Le(2!n!2!5!8!x).x).相应的齐次微分方程为yyy°,其特征方程为2特征根为1,22、3i.2因此齐次微分方程的通解为c1cosC2S^x2设非齐次微分方程的特解为Aex，将y代入方程yyyex可得于是，方程通解为yC2•4sinx2当x0时，有是幕级数27、求幕级数y(0)y(0)x3n0(3n)!CljC1Ci的和函数为y(x)|ecosx21X/1e().【解】将等式f(x)2nx1)ni2n1)的和函数f(x)及其极值。2n1)nxn(x1)逐项求导，得f(x)(1)x2n(x1).上式两边从0到x积分，有f(x)f(0)01t2dt12-1n(1x)(x1).由于f(0)1，故得到了和函数f(x)的表达式f(x)1^1n(1x2)(x1).令f(x)0,可求出函数f(x)有惟一驻点0，因为f(x)1x22、2(1x)f(0)可见f(x)在点x0处取得极大值，且极大值为f(0)1.x6PAGE\*MERGEFORMAT#x4x6x828、设级数L(242462468)的和函数为s(x)，求:(l)S(x)所满足的一阶微分方程；(II)S(x)的表在式。x6【解】(I)S(x)246易见S(0)0，且幕级数的收敛域为)，在()上逐项求导，得3S(x)冷2/xx(72xx—2S(X).因此S(x)是初值问题xyy(0)0的解。(II)方程y3xxy的通解为2sxdx3xe2xdxdxx2由初始条件y(0)0,求得C1.Ce2,eT1，因此和函数S(x)x2e2)■29、求幕级数1——1)x2n在区间(1,1)内的和函数2n1S(x).【解】不难发现S(0)0，从而，只需求当01时和函数S(x)的表达式,其中S(x)S")2n12n1x2n12n1x1xn1nx2(11)x2nx2nn12n12nx12n11Sdx)x1,1)2nx2x1x2PAGE\*MERGEFORMAT#逐项求导，得Si(x)2nxn12x2,1xx(1,1).将上式两端的x改写成t,并分别从1,1)求定积分，可得又因S1(0)S1(x)S1(0)丄dt01t2丄1n—21xx(1,1).0,于是S1(x)xIm12x,x1x(1,1).综合以上讨论，即得S(x)0,12x1n1x111x21.判别下列级数的敛散性:.1sin2；n1nln(1解：1)sinn11~~2n由比较审敛法知n2)ln(1^)~1n.1sin21n-(n，而n'n1n1—收敛,1nnn由比较审敛法的极限形式知3)..Un1lim-nun收敛。)，而ln(11-发散,n1n1丄)发散。n4)2.(nlimn(nnnn!1,由比值审敛法知1)!1)n1卫收敛。nnlimnUnlim却nn3n21，由根值审敛法知limn2n13n22n2n13n2收敛。判别下列级数是绝对收敛,(1)n1[3n卡；n13.n条件收敛，还是发散?2ncosn3n1)n1、、nlnn解：1)对于级数n由lim|U』n|Un|1)n1，知级数31)n2步绝对收敛,易知(1)n1n12|ncosn||3n|22)1一条件收敛，故、n2n由可u_，由(1)n1unlim旦nun］护-_］条件收敛。1，知级数32伶收敛，ncosn绝对收敛。n133)记Un一nInnUnf(X)xInX,f(x)1，而n1x调增加,由此可知UnUn1，又limnUn即为条件收敛。(x1)n3.求幕级数...的收敛区间。n0Jn解：收敛半径为Rlimn当x2时，得级数当x0时，得交错级数所求收敛区间为［0,2)。4•证明级数注：数列xn1-发散,1n1时,Un1发散,f(x)(1)n11故f(x)在区间(1,)内单收敛，但非绝对收敛,一nlnnann2||nim—an1n一n11，发散；..n1(1)n(U，收敛。n0•.n1^xn当|X|e时绝对收敛，当1n(11)n单调增加，且limxn-|x|e。e时发散。n!lim=nn当|x|e时幕级数绝对收敛,n!证：收敛半径当|x|e时，得级数n(n1n调增加，且limxnn2(e)nn1n发散。5.在区间(解：设s(x)(n1)n(n1)!当|x|e时幕级数发散，nn!n|Un1|e)，|Un|—e,—n|u_|Xn1,1)内求幕级数xn1x1),limn于是得IUn1I1Un的和函数。s(0)0,e(1丄)n,由此limunn一，因Xnn(1-)n单n0,故级数1PAGE\*MERGEFORMAT#s(x)1r~x，s(x)s(0)xs(x)dxx1dxx01ln(1x),xs(x)xln(1x)x1)o6.求级数解：设s(x)1n2(n21)2nnxn的和。1)，则s(x)其中n122nx从而因此f(x)xn1nn-，则nf(x)s(x)1n1nx1f(x)f(0)(x)dx0111x，1dxxln(1x),x-[ln(122xx)]112(n21)2n2x582x[lx2ln(1x)3In2o4ln(1x)7.把f(x)arctanx展开成解：f(x)11x2(1)n0f(x)f(0)因f(x)在点从而f(x)8•设(|X|1,x0)o的幕级数，并求级数n2n(|X|1),(1)n03n(2n1)的和。x0f(x)dx1处连续，而1)2n1nx2nn2n1)x]dx2n10(1)話(|X|1),1)n(|X|03n(2n1)302n12,an11(an2n1-在点x2n11处收敛,1)。2n1,2,L)证明PAGE\*MERGEFORMAT#1)liman存在；2)级数n(电1)收敛。n1an11证："因an12(ananan1an1(an11,an1a；2an故｛an｝是单调减少有下界的数列，所以liman存在。n2)由(1)知0电1an1anan1—anan1，an1n记Sn(akak1)a1k1an1，因lima.1存在，故limSn存在，所以nn(ann1an1)收敛，由比较审敛法知(旦-an19.设an04tanXdx，1求—(anan2)的值;n试证:对任意的常数证:1)1因为一(ann1-一4tannn00-1(ak1kan所以Snk1(ann1nan2)2)因为ananan21)收敛。0，级数收敛。n1n2)n04xsec2xdxak2)limSnn收敛,从而10•设正项数列｛an｝单调减少，且理由。tannx(1tan2x)dx1n(n1)'n1k1k(k1)an所以n玉收敛。1n(1)nann1n1解：级数—收敛。n1an1理由：由于正项数列｛an｝单调减少有下界，故若a0，则由莱布尼兹定理知n(n1)发散，试问liman存在，记n(1)nan收敛，与题设矛盾,anlimn是否收敛?an，贝Ua并说明因为limnan1，由根值审敛法知级数1an1收敛。11.已知11512［参见教材246页］，计算811lnx1xdx1x解：由ln(1x)1)n1nx(|X|1),得ln—1x11lnoxln(1x)ln(1x)12.计算解：由xdx5!373!7!1o2n2nr」x]dxo(2n1)22丄x2n1no2n128L9!11°L11!(1)l(1)n2n1sin0,no(2n1)!14n114nn0(4n1)!n0(4n3)!148L4n15!9!1n0(4n1)!3711L4n33!7!11!n0(4n3)!1sinxn31从而2nxo(2n曰疋1)!1f(1)收敛，即n1nn(1)X1X(2)试证：对任意常数0,级数玉收敛。n1n(1)解直接求anan2的表达式