2021年人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2《函数的极值与最大（小)值》（1）教学设计

5.3.2函数的极值与最大(小)值（1）本节课选自《2019人教A版 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的极值与最大(小)值学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 也具有一定的储备。函数的极值与最值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。。课程目标学科素养A.了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.B．初步掌握求函数极值的方法．C．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．1.数学抽象：求函数极值的方法2.逻辑推理：导数值为零与函数极值的关系3.数学运算：运用导数求函数极值4.直观想象：导数与极值的关系重点：求函数极值难点：函数极值与导数的关系多媒体教学过程教学 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 意图核心素养目标温故知新1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递____f′(x)＜0单调递____增;减2．判断函数y＝f(x)的单调性第1步：确定函数的______；第2步：求出导数f′(x)的____；第3步：用f′(x)的____将f(x)的定义域划分为若干个区间，列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 给出f′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．定义域;零点;零点;正负二、探究新知探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?放大,如图，可以看出，在的附近，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，.这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有.对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？以a，b为例进行说明.探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？（1）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，而且在点附近的左侧，右侧;（2）函数的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，而且在点附近的左侧，右侧1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝__，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_______，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，_____叫做函数y＝f(x)的极小值．0;f′(x)＜0;f′(x)＞0;f(a)(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝__，而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_______，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，______叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为______；极大值、极小值统称为_____．0;f′(x)＞0;f′(x)＜0;f(b);极值点;极值1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C　[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]三、典例解析例5.求函数的极值.解：因为的定义域为R，所以令0,解得：当变化时，，的变化情况如下表因此，当时，有极大值，极大值为=当时，有极小值，极小值为=-.函数的图像如图所示.问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？一般地，求函数y＝fx的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′x；2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个；3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f′x在各个开区间内的符号，判断fx在f′x＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.问题2：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]　不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．跟踪训练1求下列函数的极值：(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.[解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小值↗∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴x＝0不是y的极值点；x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的极值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。通过特例，体会导数与函数极值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和解决，帮助学生掌握运用导数求函数极值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。三、达标检测1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　)A．在(1，2)上函数f(x)为增函数B．在(3，4)上函数f(x)为减函数C．在(1，3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点D　[由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，当2＜x＜4时，f′(x)＜0，当4＜x＜5时，f′(x)＞0，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]2．设函数f(x)＝xex，则(　　)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点D　[令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故当x＝－1时，f(x)取得极小值．]3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]4．已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－eq\f(x,e)，则函数f(x)的极大值为______．2ln2　[f′(x)＝eq\f(2ef′e,x)－eq\f(1,e)，故f′(e)＝eq\f(2ef′e,e)－eq\f(1,e)，解得f′(e)＝eq\f(1,e)，所以f(x)＝2lnx－eq\f(x,e)，f′(x)＝eq\f(2,x)－eq\f(1,e).由f′(x)＞0得0＜x＜2e，f′(x)＜0得x＞2e.所以函数f(x)在(0，2e)单调递增，在(2e，＋∞)单调递减，故f(x)的极大值为f(2e)＝2ln2e－2＝2ln2.]通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。运用“问题探究式”“观察发现式”“讨论式”的教学方法，本节课在前一节所学利用导数求单调性的基础上，引导学生通过生活实例、观察图象，自己探究归纳、总结出函数的极值定义及利用导数求极值的方法。让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输。为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学。