PAGE\*MERGEFORMAT#1.2.1排列（一）学习目标1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.知识点一排列的定义从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.思考1让你安排这项活动需要分几步？答案分两步.第1步确定上午的同学；第2步确定下午的同学.思考2甲丙和丙甲是相同的排法吗？答案不是.一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.知识点二排列数及排列数公式思考1从1,2,3,4这4个数字中选出两个能构成多少个无重复数字的两位数？答案4×3＝12个.思考2从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？答案4×3×2＝24个.思考3从几个不同的元素中取出m个（m≤n）元素排成一列，共有多少种不同排法？答案n（n－1）（n－2）⋯（n－m＋1）种.排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数
表
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示法Amn乘积式Anm＝n（n－1）（n－2）⋯（n－m＋1）排列数公式阶乘式Anm＝n！n－m！性质Ann＝n！，0！＝1备注n，m∈N*，m≤n类型一排列的概念例1下列问题是排列问题的为.选2个小组分别去植树和种菜；选2个小组分别去种菜；某班40名同学在假期互发短信；从1,2,3,4,5中任取两个数字相除；10个车站，站与站间的车票.解析①植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；②不存在顺序问题，不是排列问题；③存在顺序问题，是排列问题；④两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；⑤车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题答案①③④⑤反思与感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1判断下列问题是否为排列问题会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？从集合M＝{1,2，⋯，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭2222圆方程ax2＋yb2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程ax2－yb2＝1?平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，22.若方程xa2＋yb2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则2222x2－y2＝1中，不管a>b还是a
b，a，b的大小关系一定；在双曲线1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题类型二排列数的计算或证明例2（1）用排列数表示（55－n）（56－n）⋯（69－n）（n∈N*且n<55）；(2)计算2A85＋7A48A88－A59mmm－1(3)求证An＋1－An＝mAn.解(1)∵55－n,56－n，⋯，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15个元素，∴（55－n）（56－n）⋯（69－n）＝A6159-n.（2）2A8＋7A885A8－A92×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×58×7×6×5×8＋7＝18×7×6×5×24－9＝1(3)方法一＝n！＝n－m！∵Anm＋1－Anm＝n＋1！n＋1－m！n＋1n＋1－n！mn－m！n＋1－mm－1n！n＋1－m！＝mAnn！n－m！∴Anm＋1－Anm＝mAnm－1方法二Anm＋1表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有Anm个.含有a1的可这样进行排列：先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有Anm－1种排法.故Anm＋1＝mAnm－1＋Anm，∴mAnm－1＝Anm＋1－Anm.反思与感悟1.连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其中最大的数是排列元素的总个数，而正整数的个数是所选取元素的个数，这种题型是排列数公式的逆用.应用排列数公式解题时，一般先写出它们的式子，再提取公因式，然后计算，这样会减少运算量，另外，应用排列数的定义解题，也是一种常用方法.跟踪训练2解不等式：Ax8<6Ax8－2.由Ax8<6Ax8－2，得8！8－x！<6×8！10－x！化简得x2－19x＋84<0，解之得712的最小正整数n的值为An答案10n！解析A57n＝n－7！＝n－5！>12Ann！n－7！n－5！得：（n－5）（n－6）>12.解得：n>9或n<2（应舍去）.∴最小正整数n的值为10.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是.答案18解析aa13由于lga－lgb＝lgb（a>0，b>0），从1,3,5,7,9中任取两个作为b有A52种，又3与9相同，39231与93相同，∴lga－lgb的不同值的个数有A25－2＝20－2＝18.一条铁路线上原有n个车站，为了适应客运的需要，在这条铁路线上又新增加了m（m>1）个车站，客运车票增加了62种，则n＝，m＝.答案152解析由题意得：A2n＋m－A2n＝62，（n＋m）（n＋m－1）－n（n－1）＝62.整理得：m（2n＋m－1）＝62＝2×31.∵m，n均为正整数，∴2n＋m－1也为正整数m＝2，2n＋m－1＝31，得：n＝15，m＝2.有3名司机，3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有种（填数字）.答案36解析司机，售票员各有A33种安排方法，由分步乘法计数原理知共有A33A33＝36（种）不同的安排方法.三、解答题某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法解如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？解由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图，共5种.同样甲第一次发球给丙，也有5种情况.由分类加法计数原理，共有5＋5＝10（种）不同传球方法
浙公网安备 33021202002483