图像的正交变换图像变换是一种为了达到某种目的（通常是为了从图像中获取某种重要信息）而采用的数学技巧。图像变换在图像增强、图像复原、图像编码压缩以及特征抽取方面有着广泛的应用。从实际操作来说，图像变换就是对原图像函数寻找一个合适的变换核的数学问题。数字图像处理的方法主要有两类：空间域处理法和频域法。空域法指对直接像素点及其值进行处理。频域法是指先将图像变换到频域，再进行滤波等处理，然后再经逆变换回到空间域，得到处理后的图像。图像正交变换用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等。一维线性移不变系统的输入输出关系，可以用卷积来
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示：一般用“*”表示卷积，写为：卷积的离散形式为:卷积的矩阵形式为:对于一个线性系统，对于输入信号矢量与信号输出矢量间的关系矩阵若是正交的且满足逆矩阵与共轭矩阵的转置相等，则该处理过程为酉变换，关系矩阵为酉矩阵。若一组向量集合彼此正交，即正交归一化，即每一向量为单位向量。物理意义：多维空间坐标的基轴方向互相正交。由满足前式的基向量组成矩阵为正交矩阵则满足其中为A的转置矩阵矩阵A对任一数据向量f进行运算，然后恢复f若A的每一个元素可能为复数，则正交的条件可用酉变换：用酉矩阵A对任意向量f的运算和恢复，即若A为酉矩阵，则满足下式若A不是复数时，就为正交变换，，故各种正交变换都是酉变换。离散傅立叶变换我们首先来看一维的离散傅立叶变换对：其中：离散傅里叶变换满足正交条件的原信号序列的傅氏变换记为F＝Wf，W为变换核矩阵。由此，傅里叶变换就表示为向量、矩阵的简式。为了把指数表示为，用复平面的单位圆来求的各元素。对前述N＝4情况，设每一个矩阵元表示成二维离散傅里叶变换科学计算可视化将计算数据用图形、二维灰度或伪彩色图像以及三维图形／图像来显示，以视觉效果增强对数据理解二维数据转为二维灰度图像（1）创建位图信息头，根据数据的行、列，分别置相关结构元素值。（2）调色板为灰度调色板（3）将数据规一化为0－255的整数（4）将数据与头信息合成位图句柄，进行显示和保存。例：图像函数和傅立叶频谱显示图像三维频谱幅值投影典型图像的傅立叶变换实际图像的傅立叶变换下图给出两幅实际图像和他们的傅里叶频谱图。图(a)的图像反差比较柔和，反映在傅里叶频谱上低频分量较多，频谱图中心值较大（中心为频域原点）。图(b)的图像中有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带。(a)(b)Ø 线性性质Ø 比例性质可分离性即二维离散傅立叶变换的可分离性，由此性质，可通过两次的一维傅立叶变换（或反变换）来实现一个二维傅立叶变换（或反变换）。实现步骤：l 先沿Y轴对求一维离散傅立叶变换，即中间结果l 在沿x轴对求一维离散傅立叶变换的最后结果//计算行FFTfor(i=0;i
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JEPG(JointPhotographicExpertsGroup)算法的核心。在JEPG算法中，输入图像被分为8×8(或16×16)模块，然后对每一模块计算二维DCT，接着对DCT系数进行处理，保留其中的低频(主要能量部分)，舍弃高频部分(幅值近似0的部分)。这一过程也就是让每一模块的DCT系数乘以模板：1111100011110000111000001100000010000000000000000000000000000000如左图所示模板，只保留了64个DCT系数中的15个，也即舍弃了77%的DCT系数。例：DCT压缩效果保留15个DCT系数，可以得到压缩前后的对比：可以看出，虽然舍弃了大部分系数，但由于保留了主要能量，因此图像依然保持着相当的清晰度。实现前例的MATLAB程序x2=im2double(x);T=dctmtx(8);B=blkproc(x2,[88],'P1*x*P2',T,T');%计算各8×8模块的DCTmask=[1111100011110000111000001100000010000000000000000000000000000000];%通过模板中1和0的位置，就可以对DCT系数进行取舍B2=blkproc(B,[88],‘P1.*x’,mask);%应用模板，舍弃大部分DCT低幅系数I2=blkproc(B2,[88],‘P1*x*P2’,T‘,T);%DCT反变换figure;imshow(x2);figure;imshow(I2);不同模板的压缩效果111110001111000011100000110000001000000000000000000000000000000011111110111111001111100011110000111000001100000010000000000000001110000011000000100000000000000000000000000000000000000000000000沃尔什变换前面介绍的FT、DCT都属于正弦型变化，其变换核函数都是正弦函数型的。还有几种常用于数字图像处理的变换，它们的基函数不是正弦型函数，而是方波的各种变形，通常，这些变换计算速度都很快。沃尔什(Walsh)变换，是由+1和-1两个数值的基本函数的级数展开而构成的，它也满足正交特性。由于Walsh函数是二值正交函数，与数字逻辑中的两个状态相对应，因而很适合计算机处理。一维沃尔什变换沃尔什变换是一种可分离变换。当N=2n时，变换核为：离散沃尔什变换W(u)为：bk(z)是z的二进制表达中的第k位。例如n=3，则对z=6（1102），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。核矩阵对于N=2、4、8，沃尔什变换核矩阵分别为：可以看出，沃尔什变换核是一个对称矩阵，其行和列是正交的。例：N=4的一维沃尔什变换由：可得：可见，沃尔什变换本质上是将离散序列f(x)的各项值的符号按照一定规律改变，进行加减运算，因此，它的运算速度相当快。沃尔什反变换沃尔什正、反变换核只相差1/N这个常数项，因此，计算沃尔什正变换的算法可以直接用来求反变换。沃尔什反变换核为：沃尔什反变换定义为：二维沃尔什变换二维沃尔什正变换核和反变换核由以下二式给出：这两个变换核完全相同，所以下面给出的二维沃尔什正变换和反变换也具有相同形式：可分离性沃尔什变换核是可分离的：因此，二维沃尔什变换可以分成两步一维沃尔什变换进行。二维沃尔什变换矩阵表示为：二维沃尔什反变换矩阵表示为：二维沃尔什变换基本函数下图给出N=4时沃尔什基本函数的图示，其中白色表示1，而阴影表示–1。例：N=4二维沃尔什变换(1)图像矩阵：变换核矩阵：二维沃尔什变换：例：N=4二维沃尔什变换(2)图像矩阵：变换核矩阵：二维沃尔什变换：由上述两个例子可以看出，沃尔什变换具有能量集中性质，图像越均匀，能量越集中，因此沃尔什变换也可用于图像压缩。沃尔什-哈达玛变换哈达玛(Hadamard)变换本质上是一种特殊排列的沃尔什变换，因此经常被称作沃尔什-哈达玛变换(DWT-DHT)。由于它的变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以用低阶矩阵求得，因此应用比沃尔什变换更为广泛。最小阶(N=2)的哈达玛矩阵是：用HN代表N阶哈达玛矩阵，下式给出计算高阶哈达玛矩阵的迭代关系：2、4、8阶哈达玛矩阵哈达玛变换数学表达二维哈达玛正变换核和反变换核：二维哈达玛正变换核和反变换核都是可分离的和对称的，并且具有相同形式。因此二维哈达玛变换正变换和反变换也具有相同形式：例：4阶哈达玛变换基本函数列率(sequency)以8阶哈达玛矩阵为例：矩阵右边的一列数表示相应的矩阵行的符号变换次数，注意，每一行的这个数都是不同的。这种符号的变化次数被称为这一行的列率(sequency)。有序哈达玛变换将哈达玛变换核矩阵的行重新排序，使得各行的列率递增。这样就产生了有序哈达玛变换核矩阵：
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