数列通项公式求法总结计划大全

数列通项公式的十种求法一、公式法二、累加法an1anf(n)例1已知数列{an}满足，1，求数列{an}的通项公式。an1an2n1a1ann2例2已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。an3nn1.）三、累乘法an1f(n)an例3已知数列{an}满足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。n(n1)（an32n152n!.）评注：本题解题的关键是把递推关系an12(n1)5nan转化为an12(n1)5n，an进而求出anan1La3a2a1，即得数列{an}的通项公式。an1an2a2a1例4已知数列{n}满足a1，a12a23a3Ln}的a1an(n1)an1(n2)，求{a通项公式。（ann!.）2评注：本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为an1n1(n2)，进而求出anan1La3a2，从而可得当n2时，an的表达anan1an2a2式，最后再求出数列{an}的通项公式。四、待定系数法an1panqan1panfnan2pan1qan（其中p，q均为常数）。例5已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式。（an2n15n）评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an35n转化为an15n12(an5n)，从而可知数列{an5n}是等比数列，进而求出数列{an5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。例6已知数列{an}满足an13an52n4，a11，求数列{an}的通项公式。（an133n152n2）评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an52n4转化为an152n123(an52n2)，从而可知数列{an52n2}是等比数列，进而求出数列{an52n2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。例7已知数列{an}满足an12an3n24n5，a11，求数列{an}的通项公式。（an2n43n210n18）评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an3n24n5转化为an13(n1)210(n1)182(an3n210n18)，从而可知数列{an3n210n18}是等比数列，进而求出数列{an3n210n18}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。五、递推公式为Sn与an的关系式(或Snf(an))解法：这种类型一般利用anS1(n1)SnSn1(n2)例8已知数列an前n项和Sn4an12.（1）求an1与an的关系；（2）求2n通项公式an.六例9已知数列{an}满足an13an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。解：an3an2n1两边除以3n1，得an1an21133n1n33n1，3an1an21则3n13n33n1，故1n1因此an2(n1)3n(13)2n11，3n31313223n则an2n3n13n1.322评注：本题解题的关键是把递推关系式an1an21，进而求出n13n3n133anan1)(an1an2an2an3)(nn1n13n2)(n2n333333an13an23n1转化为L(a2a1a1，即得数列an的通项3231)33n公式，最后再求数列{an}的通项公式。七、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）例10已知数列{an}满足an123na5n，a17，求数列{an}的通项公式。解：因为an123nan5，a17，所以an0，an10。在an123nan5式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg2⑩设lgan1x(n1)y5(lganxny)○11将⑩式代入○nnlg3lg2x(n1)y5(lganxny)，两边消去11式，得5lga5lgan并整理，得(lg3x)nxylg25xn5y，则lg3x5xxlg34，故xylg2lg3lg25yy164代入○11式，得lgan1lg31)lg3lg2lg3lg3lg2○124(n165(lgann16)444由lga1lg31lg3lg2lg7lg31lg3lg20及○12式，41644164得lganlg3lg3lg20，4n164lgan1lg3(n1)lg3lg2则41645，lg3nlg3lg2lgan4164所以数列{lganlg3lg3lg2lg3lg3lg2为首项，以5为公比n16}是以lg7416444的等比数列，则lganlg3nlg3lg2(lg7lg3lg3lg2)5n1，因此41644164lgan(lg7lg3lg3lg2)5n1lg3nlg3lg24164464111n11(lg7lg34lg36lg24)5n1lg34lg316lg24111n11[lg(73431624)]5n1lg(3431624)111n11lg(73431624)5n1lg(3431624)lg(7lg(75n15n1n5n115n113431624)5n15n4n15n1131624)则an75n15n4n15n1131624。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an123nan5转化为lgan1lg31)lg3lg2lg3lg3lg2(n165(lgan4n)，从而可知数列44164{lgalg3nlg3lg2}是等比数列，进而求出数列{lganlg3nlg3lg2}的n41644164通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。八、迭代法例11已知数列{an}满足an1an3(n1)2n，a15，求数列{an}的通项公式。解：因为an1an3(n1)2n，所以anan3n12n1[an3(n21)2n2]3n2n1n(n1)又a15，所以数列{an}的通项公式为a53n1n!22。n评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an1an3(n1)2n两边取常用对数得lgan13(n1)2nlgan，即lgan13(n1)2n，lganlganlgan1lga3lga2lga1n1n(n1)再由累乘法可推知lganLlg53n!22，从而lgan1lgan2lga2lga1an53n1n!2n(n1)2。九、数学归纳法例12已知数列{an}满足an1an(2n8(n1)3)2，a18，求数列{an}的通项1)2(2n9公式。解：由an1an8(n1)3)2及a18，得(2n1)2(2n9由此可猜测an(2n1)21，往下用数学归纳法 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 这个结论。(2n1)2（1）当n1时，a1(2111)218，所以等式成立。(21)29（2）假设当nk时等式成立，即ak(2k1)21，则当nk1时，(2k1)2由此可知，当nk1时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何nN*都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例13已知数列{an}满足an11(14an124an)，a11，求数列{an}的通项16公式。解：令bn124an，则an1(bn21)24故an11(bn211)，代入an11(14an124an)得24164bn21(bn3)2因为bn124an0，故bn1124an10则2bn1bn3，即bn11bn3，22可化为bn11(bn3)，32所以{bn3}是以b13124a13124132为首项，以1为公比的等2比数列，因此bn32(1)n1(1)n2，则bn(1)n23，即124an(1)n23，得2222an2(1)n(1)n1。3423评注：本题解题的关键是通过将124a的换元为bn，使得所给递推关系式转n化bn11bn3形式，从而可知数列{bn3}为等比数列，进而求出数列{bn3}的22通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。