2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及答案一、二次函数1.新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏.某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y(盒)与销售单价x(元)有如下关系：y=-2x+320(80
分析
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】(1)用每件的利润x80乘以销售量即可得到每天的销售利润，即wx80yx802x320,然后化为一般式即可；一一、一.一..2(2)把(1)中的解析式进行配万得到顶点式w2x1203200,然后根据二次函数的最值问题求解；2(3)求w2400所对应的自变量的值，即解万程2x12032002400.然后检验即可.【详解】wx80yx802x320,2x2480x25600,2w与x的函数关系式为：w2x480x25600;,、22w2x480x256002x1203200,Q20,80x160,，当x120时，w有最大值.w最大值为3200.答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元.2(3)当w2400时，2x12032002400.解得：X100,X2140.•••想卖得快，x2140不符合题意，应舍去.答：销售单彳应定为100元.2.某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚.已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照(2)的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？乂元【答案】(1)y=-20X+500,(x>^；(2)当x=15.5时，w的最大值为1805元;(3)当x=13时,w=1680,此时，既能销售完又能获得最大利润.(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式：y=kx+b即可求解；(2)由题意得：w=y(x-6)=-20(x-25)(x-6),•1-20<0,故w有最大值，即可求解；(3)当x=15.5时，y=190,50X190-12000,故：按照(2)的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50(500-20x)>12000解彳导:x<13当x=13时，既能销售完又能获得最大利润.【详解】解：(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式：y=kx+b得:20015kb30010kb解得:k20b500即：函数的表达式为：y=-20x+500,(x>e；(2)设：该品种蜜柚定价为x元时，每天销售获得的利润w最大,贝U：w=y(x-6)=—20(x—25)(x—6),-.1~20V0,故w有最大值，当x=-=—=15.5时，w的最大值为1805元；2a2(3)当x=15.5时，y=190,50X19012000,故：按照(2)的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x元时，既能销售完又能获得最大利润w,由题意得：50(500-20x)>1200(0解彳导:xW13w=-20(x-25)(x-6),当x=13时，w=1680,此时，既能销售完又能获得最大利润.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优
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.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)^3.如图，过A1,0、B3,0作x轴的垂线，分别交直线y4x于c、D两点.抛物线2yaxbxc经过O、C、D二点.1求抛物线的表达式；2点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；3若VAOC沿CD方向平移(点C在线段CD上，且不与点D重合)，在平移的过程中VAOC与VOBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值.x213x；(2)3或3或垄；(3)L32223(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)由题意，可知MN//AC,因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有44cMN=AC=3,设点M的横坐标为x,则求出MN=|-x2-4x|;解万程|gx2-4x|=3,求出x的值，即点M横坐标的值;(3)设水平方向的平移距离为t(0q<2),利用平移性质求出S的表达式：S-(t-61)2一；当t=1时，s有最大值为一.【详解】4313，3(1)由题意，可得C(1,3),D(3,1).••・抛物线过原点，••・设抛物线的解析式为：y=ax2+bxab3,解得9a3b1••・抛物线的表达式为：y4x2£x.TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark29"\o"CurrentDocument"33(2)存在.设直线OD解析式为y=kx,将D(3,1)代入，求得k1,直线OD解析式为y^x.33设点M的横坐标为x,则M(x,—x),N(x,—x2—x),MN=|yM—yN|=|—x-HYPERLINK\l"bookmark41"\o"CurrentDocument"3333(4x22)|=|4x2-4x|.333由题意，可知MN//AC,因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3,.-.|4x2-4x|=3.3若4x2-4x=3,整理得:34x2-12x-9=0,解得：x上或x233.232，，存在满足条件的点M,点M的若4x2-4x=-3,整理得：4x2-12x+9=0,解得：x3横坐标为：3或332或332.222(3)•••C(1,3),D(3,1),，易得直线OC的解析式为y=3x,直线OD的解析式为ylx.3如解答图所示，设平移中的三角形为△A′QC,点C在线段CD上.设O'C与x轴交于点E,与直线OD交于点P;设A'C与x轴交于点F,与直线OD交于点Q.设水平方向的平移距离为t(04V2),则图中AF=t,F(1+t,0),Q(1+t,11t),33C(1+t,3-t).设直线O'C的解析式为y=3x+b,将C(1+t,3-t)代入得：b=-4t,.•.直线O'C的解析式为y=3x-4t,E(4t0).3联立y=3x-4t与y1x,解得:3过点P作PG±x轴于点G,则PGS=S\OFQ-S\OEP—OF?FQ—OE?PG1(1+t)(3—?—t?—t中,中,4.2已知抛物线yx6xc.2)问3)问本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度.第(解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3,由此列出方程求解；第(解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法.(1)若该抛物线与x轴有公共点，求c的取值范围;PA,QB都垂直于x轴，垂足分(n)设该抛物线与直线y2x1交于M,N两点，若MN2^5,求C的值;(出)点P,点Q是抛物线上位于第一象限的不同两点,别为A,B,若OPAOQB,求c的取值范围.21【答案】(I)c…9；(n)c2；(出)c的取值范围是一c74(1)抛物线与x轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可MN的长度，列方程即可求解(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出⑶由OPAOQB可知，PQ两点的坐标特点，设坐标得到设点P的坐标为(m,n),则点Q的坐标为(n,m),代入二次函数，得到n,m的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.【详解】解：(I),「抛物线yx26xC与X轴有交点，，一元二次方程X26xc0有实根。b24ac0,即624(1)C0.解得c…9(n)根据题意，设Mx1,2x11,Nx2,2x212yx6xc由y。d，消去y,得x24x1c0①.y2x1由(4)24(1c)124c0,得c3.方程①的解为*2V3-~c,x22V3""c2222MN2x1x22x112x215x1x220(3c)20(3c)20,解得c2(出)设点P的坐标为(m,n),则点Q的坐标为(n,m),且m0,n0,mn,2m6mcn2，两式相减，得n2m27(mn)0,即(mn)(mn7)0n26ncmmn7,即n7m2m7m7c0,其中0m72一21由•0,即74(1)(c7)-0,得c…一.当c—时,7一,不合题意。又7c0,得c7.，c的取值范围是214【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式，数形结合思想的应用及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题.5.如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3(awJ0)x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使4CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.⑶在⑴中抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得4QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.(4)如图2,若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)存在符合条件的点P,其坐标为P(-1,，10)或P(T,一加)或P(—1,6)或P(—1,5);(3)存在，Q(—1,2);(4)3TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark132"\o"CurrentDocument"63315HYPERLINK\l"bookmark103"\o"CurrentDocument"E——11-,824【解析】【分析】(1)已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为(0,3),根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论：①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ±y轴于Q,如果设PM=CP=x,那么直角三角形CPQ中CP=x,OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x,因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x,由此可得出P的坐标.②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).③当CM=CP时，因为C的坐标为(0,3),那么直线y=3必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标；(3)根据轴对称-最短路径问题解答；(4)由于四边形BOCE^是规则的四边形，因此可将四边形BOCE^割成规则的图形进行计算，过E作EF，x轴于F,S四边形boce=Sabfe+S梯形foce直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝又•值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长.在4BFE中，BF=BO-OF,因此可用E的横坐标表示出BF的长.如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值.即可求出此时E的坐a9a解得：标.【详解】(1)二.抛物线y=ax2+bx+3(aw。与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),b303b30a1b2，所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+3;号图1(2)如答图1,;抛物线解析式为：y=-x2-2x+3,其对称轴为x=-=-1,2，设P点坐标为(-1,a),当x=0时，y=3,••C(0,3),M(-1,0)・•・当CP=PM时，(―1)2+(3—a)2=a2,解得a=5,35、，P点坐标为：P1(T,—)；3•・当CM=PM时，(—1)2+32=a2,解得，a=±710,••P点坐标为：P2(-1,J10)或P3(-1,-布)；•・当CM=CP时，由勾股定理得：(—1)2+32=(—1)2+(3—a)2,解得a=6,•.P点坐标为：P4(-1,6).综上所述存在符合条件的点p,其坐标为p(-1,VTq)或P(-1,-J10)或P( 1,6)或P(-1,5);3(3)存在，Q(-1,2),理由如下：如答图2,点C(0,3)关于对称轴x=-1的对称点C'的坐标是(-2,3),连接AC,直线AC与对称轴的交点即为点Q.设直线AC函数关系式为：y=kx+t(k^D.将点A(1,0),C'(-2,3)代入，得2kk解得t1所以，直线AC函数关系式为:y=—x+1.将x=-1代入，得y=2,即：Q(-1,2);(4)过点E作EF±x轴于点F,设E(a,a22a+3)(-3±x轴于点Q,使得△BPg^OAB?如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)假；(2)2V2；(3)y=-x2+2x或y=—x2—2x;(4)P(1,1)或P(—1,—3)或P(1,—3)或(—1,1).【解析】分析：(1)当4>0时，抛物线与x轴有两个交点，由此可得出结论；(2)根据抛物线三角形”定义得到yx22,由此可得出结论；(3)根据抛物线三角形”定义得到y=-x2+2bx,它与x轴交于点(0,0)和(2b,0)；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，由抛物线顶点为(b,b2),以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到.21_..、一r,,,人b-2b,解方程即可得到结论；2(4)分两种情况讨论：①当抛物线为y=-x2+2x时，②当抛物线为y=—x2—2x时.详解：(1)当4>0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有抛物线三角形”，故此命题为假命题；TOC\o"1-5"\h\z—x1⑵由题意得：yx2,令y=0,得：x=盘，S=-2V22=一;HYPERLINK\l"bookmark115"\o"CurrentDocument"x2(3)依题意：y=—x2+2bx,它与x轴交于点(0,0)和(2b,0);当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形.•.y=-x2+2bx=(xb)2b2,••・顶点为(b,b2),由直角三角形斜边上的中线等于斜HYPERLINK\l"bookmark54"\o"CurrentDocument"12||边的一半得到：b2-2b,bb,解得：b=0(舍去)或b=±12:.y=—x2+2x或y=—x2—2x.(4)①当抛物线为y=—x2+2x时.•・•△AOB为等腰直角三角形，且△BPg^OAB,・•.△BPQ为等腰直角三角形，设P(a,—a2+2a),，Q((a,0),则|—a2+2a|=|2-a|,即a(a2)a2.-a一2wqa1,'''a=—\P(1,1)或(一1,一3).②当抛物线为y=—x2—2x时..「△AOB为等腰直角三角形，且△BPg^OAB,・•.△BPQ为等腰直角三角形，设P(a,—a2—2a),，Q((a,0),贝U|—a2-2a|=|2+a|,即a(a2)|a2.,「a+2a1,a=±]，P(1,-3,)或(-1,1).综上所述：P(1,1)或P(—1,—3)或P(1,—3,)或(一1,1).点睛：本题是二次函数综合题.考查了二次函数的性质以及抛物线三角形”的定义.解题的关键是弄懂抛物线三角形”的定义以及分类讨论.7.(10分)(2015?佛山)如图，一小球从斜坡。点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=-x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画.仃片I11>T°123(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；(2)小球的落点是A,求点A的坐标；(3)连接抛物线的最高点P与点。、A得△POA,求4POA的面积；(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合)，4MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.【答案】(1)(2,4);(2)【解析】试题分析：(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；(2)联立两解析式，可求出交点A的坐标;(3)作PQ±x轴于点Q,AB^x轴于点计算即可求解；(4)过P作0A的平行线，交抛物线于点相等，根据同底等高的两个三角形面积相等,1—线PM的解析式为y=2x+b,将P(2,4)B.根据2POA=SaPOQ+Sm弟形PQBA-S\BOA,代入数值M,可得代入,物线的解析式联立，得到方程组连结OM、AM,由于两平行线之间的距离△MOA的面积等于4POA的面积.设直求出直线PM的解析式为y=x+3.再与抛,解方程组即可求出点M的坐标.(2)联立两解析式可得:P的坐标为(2,4);试题解析：(1)由题意得，y=-x2+4x=-(x-2)2+4,故二次函数图象的最高点故可得点A的坐标为(？，.)；(3)如图，作PQLx轴于点Q,AB±x轴于点B.Sapoa=S^poq+S^梯形pqba—Saboa二2Jx2x4+C(4+4)X(7111772-2)69=4+21=T.(4)过P作OA的平行线，交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积.111设直线PM的解析式为y=/x+b,•••P的坐标为(2,4),内.•-4=彳X2+b解得b=3,111・•・直线PM的解析式为y=%+3.，点M的坐标为考点：二次函数的综合题8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2,0）,且经过点（4,1）,如图，直线y=1x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=-1.4（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）知F（xo,yo）为平面内一定点，M（m,n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2-x+1.（2）点P的坐标为（竺，-1）.（3）413定点F的坐标为（2,1）.【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2,0）,可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2,由抛物线过点（4,1）,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B；连接AB'交直线l于点巳此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B'的坐标，根据点A、B'的坐标利用待定系数法可求出直线AB'的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出(1—---yo)m2+(2-2xo+2yo)m+xo2+y02-2yo-3=0,由m的任意性可得出关22于xo、yo的方程组，解之即可求出顶点F的坐标.详解：（1）;抛物线的顶点坐标为（2,0）,设抛物线的解析式为y=a（x-2）2.;该抛物线经过点（4,1）,1=4a,解得：a=—,4，抛物线的解析式为y=l（x-2）2=—x2-x+1.44（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：1y=-x412y=-x4x1=11，y[=x2=4y2=1•••点A的坐标为(1,1)4作点B关于直线l的对称点所示).B的坐标为(4,1).B',连接AB'交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值(如图1•・•点B(4,1),直线l为y=-1,•••点B的坐标为(4,-3).设直线AB'的解析式为y=kx+b(kwQ,(1,1)、B，(44-3)代入y=kx+b,得:4k1b=—.4,解得:b=313k=—124b3•・・直线AB的解析式为y』+4,123当y=-1时，有x+—=-1123解得：x=28,13点P的坐标为(磊，-1).(3)二•点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,(m-xo)2+(n-yo)2=(n+1)2,m2-2xom+xo2-2yon+yo2=2n+1..M(m,n)为抛物线上一动点，n=—m2-m+1,4TOC\o"1-5"\h\z.2212212一m-2xom+xo-2yo(—m-m+1)+yo=2(—m-m+1)+1,母……11O」整理得：(1—-—-yo)m2+(2-2xo+2yo)m+xo2+yo2-2yo-3=O.-m为任意值，,11c22y0=02xo2yo=O,HYPERLINK\l"bookmark31"\o"CurrentDocument"22Xoy02yo3=0x0=2••?y0=1，定点F的坐标为（2,1）.点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于xo、yo的方程组.9.在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为中国结”。（1）求函数y=6\+2的图像上所有中国结”的坐标；（2）求函数y=k（kwQk为常数）的图像上有且只有两个中国结”，试求出常数k的值x与相应中国结”的坐标；（3）若二次函数y=（k23k2）x2（2k24k1）xk2k（k为常数）的图像与x轴相交得到两个不同的中国结”，试问该函数的图像与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个中国结”？【答案】（1）（。,2）;（2）当k=1时，对应中国结”为（1,1）（―1,—1）;当k=—1时，对应中国结”为（1,—1）,（—1,1）;（3）6个.【解析】试题分析：（1）因为x是整数，xwo时，J3x是一个无理数，所以xwo时，J3x+2不是整数，所以x=o,y=2,据此求出函数y=J3x+2的图象上所有中国结”的坐标即可.（2）首先判断出当k=1时，函数y=-（kwQk为常数）的图象上有且只有两个中国x一k结”：（1,1）、（-1、-1）;然后判断出当kwi时，函数y=-（kwQk为常数）的图x象上最少有4个中国结”，据此求出常数k的值与相应中国结”的坐标即可.（3）首先令（k2—3k+2）x2+（2k2―4k+1）x+k2—k=0,则[（k—1）x+k][（k—2）x+（k—1）]=0,求出xi、x2的值是多少；然后根据xi、x2的值是整数，求出k的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个中国结”即可.试题解析：（1）=”是整数，xwo时，，3x是一个无理数，，xw时，V3x+2不是整数，•1-x=0,y=2,即函数y=J3x+2的图象上中国结”的坐标是（0,2）（2）①当k=1时，函数y=k（kwQk为常数）的图象上有且只有两个中国结”：x（1,1）、（-1、-1）；k②当k=-1时，函数y=-（kwqk为常数）的图象上有且只有两个中国结：x（1,-1）、（-1,1）.③当kw土时，函数y=k（kwQk为常数）的图象上最少有4个中国结”：x（1,k）、（-1,-k）、（k,1）、（-k,-1）,这与函数y=-（kwQk为常数）的x图象上有且只有两个中国结”矛盾，综上可得，k=1时，函数y=k（kwQk为常数）的图象上有且只有两个中国结”：（1,x1）、（-1、-1）;kk=-1时，函数y=-（kWQk为常数）的图象上有且只有两个中国结：（1,-1）、x（-1、1）.（3）令（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k=0,贝打（k—1）x+k][（k—2）x+（k—1）]=0,x1,•{*22x21x11整理，可得x1x2+2x2+1=0,1.x2(x1+2)=-1,-x1>x2都是整数,｛x2x1或｛1或｛x2①当｛乂23时,11,11时,• .k=3;2X1②当｛x2•・k=k—1,综上，可得无解;(2k2-4k+1)x+k2—kk=—,x1=—3,x2=12y=(k2-3k+2)x2+(二[(3)2-3*3+2]x2+[2223、x(一)234X—+1]x+2「x+3424①当x=-2时,y=--x2-—x+-=4241-x(-43+—4②当x=-1时,y=-1x2-1x+3424-1x(-1)24X(-1)=1③当x=0时，y=—,4x轴所围成的平面图形中x轴上的中国结”有3个:另外，该函数的图象与(—2,0)、(1、0)、(0,0).综上，可得若二次函数y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的中国结”，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有6个中国结”：(-3,0)、(-2,0)、(-1,0)(-1,1)、(0,0)、(1,0)考点：反比例函数综合题10.如图，已知抛物线yax2bxc的顶点为A4,3,与y轴相交于点B0,5,对称轴为直线l,点M是线段AB的中点.74(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；(3)设动点p,Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形时，求P,Q两点的坐标.2【答案】(1)y-x4x5；(2)M2,1,y2x5；(3)点P、Q的坐标分另ij为6,1或2,1、4,3或4,1.【解析】【分析】一—一1,，2(1)函数表达式为：yax43,将点B坐标代入上式，即可求解；(2)A4,3、B0,5,则点M2,1,设直线AB的表达式为：ykx5,将点A坐标代入上式，即可求解；(3)分当AM是平行四边形白^一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.【详解】2斛：(1)函数表达式为：yax43,将点B坐标代入上式并解得：a故抛物线的表达式为:4x5;(2)A4,3、B0,5,则点M2,1,设直线AB的表达式为：ykx5,将点A坐标代入上式得：34k5,解得：k2,故直线AB的表达式为：y2x5；2(3)设点Q4,s、点Pm,—m4m5,①当AM是平行四边形的一条边时，点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,12同样点Pm,-m24m5向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q4,s,22_即：m24,-m4m54s,解得：m6,s3,故点P、Q的坐标分别为6,1、4,3；②当AM是平行四边形的对角线时，12由中点th理得：42m4,31—m4m5s,2解得：m2,s1,故点P、Q的坐标分别为2,1、4,1；故点P、Q的坐标分别为6,1,4,3或2,1、4,3,2,1或4,1.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中(3),要主要分类求解，避免遗漏.11.(12分)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=」x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到6OB的水平距离为3m,到地面OA的距离为-m.2(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？y=（2）两排灯的水平距离最小是4J3m1-x2+2x+4,拱顶D到地面OA的距离为10m；【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上,利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））,然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值.试题解析:1）由题知点B（0,4）,C17_，一3,—在抛物线上2C所以17,解得3bc-x22x46所以，当b2a6时，y三t10答：y22x4,拱顶D到地面OA的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或(10,0)),八一22当x=2或x=10时，y——36,所以可以通过(3)令y8,即Xi62.3,x212-X66232x48,可得x212x240,解得6x1x243答：两排灯的水平距离最小是4.3考点：二次函数的实际应用.12.如图，二次函数yx24x5图象的顶点为D,对称轴是直线l,一次函数2y—x1的图象与x轴交于点A,且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是;(2)直线l与直线AB交于点C,N是线段DC上一点(不与点D、C重合)，点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P,Q,使得DPQ与DAB相似.①当n27——时，求DP的长;5②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个DPQ与DAB相似，请直接写出n的取值范围.921【答案】(1)2,9；(2)①DP9行；②9n一.55【解析】【分析】(1)直接用顶点坐标公式求即可；(2)由对称轴可知点C(2,9),A(-5,0),点A关于对称轴对称的点(13,TOC\o"1-5"\h\z5220),借助AD的直线解析式求得B(5,3);①当出0时，N(2,27),可求HYPERLINK\l"bookmark303"\o"CurrentDocument"55DA=9^5,DN=18,CD=36,当PQ//AB时，△DPM△DAB,DP=975；当PQ与AB不255平行时，DP=9j5;②当PQ//AB,DB=DP时，DB=3J5,DN=24,所以N(2,空)，55则有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，92)与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(xi,0),在x轴上有一动点E(t,0)过点E作平行于C(X2,0)，且X2-xi=4,直线AD//x轴，y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别(1)求抛物线的解析式；(2)当0vtw时，求4APC面积的最大值；(3)当t>2时，是否存在点P,使以A、P、求出此时t的值；若不存在，请说明理由.Q为顶点的三角形与^AOB相似？若存在,【答案】(1)【解析】1#-2工+3;(2)12;(3)t=3或t=3或t=14.试题分析：(1)首先利用根与系数的关系得出:求出工1网的值，然后把点B,C的坐标代入解析式计算即可；(2)(2)分0Vt<6时和66时试题解析：解：(1)由题意知x1、x2是方程mx2—8mx+4m+2=0的两根,.x1+x2=8,叼+解得:工产2x,二60).•.B(2,0)、C(6,贝U4m—16m+4m+2=0•••该抛物线解析式为:(2)可求得A(0,3)设直线AC的解析式为：y=kx+b,b-36k+b=0，直线AC的解析式为:1「y=--x+3,SaapcfSaapf+Sacpf要构成△APC,显然tw£分两种情况讨论:l与AC交点为F,则：F(t,-jt+3),bil'--'I--：三一一：■'此时最大值为：1412-Pd，甲(3)如图，连接②当6Wt嘲8,设直线l与AC交点为M,则：M(t,c-勺123-2t+3),.-.PM-t—亍-豪)(t-6)当t=8时，取最大值，最大值为：12,综上可知，当0vtw时，4APC面积的最大值为12;AB,贝U^AOB中，/AOB=90,AO=3,BO=2,Q(t,3),P(t①当2vtw时,AQ=t,PQ=一：厂-若：△AOBs^AQP,则:AO二BUAQ-FQ'若△aobs^pqa则：PQAQ3_2即：12"t,--rt+2t4..t=0（舍）或t=2（舍），19②当t>6时，AQ=tPQ']t^—2t,若：△AOBs^AQP,则：1日3_2••t=0（舍），或t=—,若△AOBs^PQA,则：2_3即：t=l2qt2t••t=0（舍）或t=14,|1632t=下或t=?"或t=14.考点：二次函数综合题.14.如图，抛物线F三-Z+Ax+c交，轴于点用，交y轴于点看,已知经过点儿B的直线的表达式为F=X+3.(1)求抛物线的函数表达式及其顶点二的坐标；(2)如图①，点尸(见01是线段AQ上的一个动点，其中3。＜0,作直线BP—区轴，交直线AB于中，交抛物线于石，作欧//用轴，交直线AB于点尸，四边形M阳为矩形.设矩形更加的周长为L,写出上与M的函数关系式，并求贽为何值时周长L最(3)如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使点出$,Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形.若存在，直接写出所有符合条件的点ff的坐标；若不存在，请说明理【答案】(1)抛物线的表达式为y=-x2-2x+3,顶点C坐标为(-1,4);(2)L=-4m2-12m=-4(m+：)2+9;3当m=—-时，最大值L=9;-V(3)点Q的坐标为(-1,TH),(-1,-旧)，(-1,3+7F),(-1,3-斤).【解析】试题分析：(1)由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；(2)由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF从而可表示出矩形DEFG的周长L,利用二次函数的性质可求得最大值；(3)分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点.试题解析：(1)直线y=x+3与x轴相交于A(-3,0),与y轴相交于B(0,3)抛物线y=-x2+bx+c经过A(-3,0),B(0,3),所以，二一,b-—2■《所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3,.y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,所以，顶点坐标为C(-1,4)(2)因为D在直线y=x+3上，D(m,m+3).因为E在抛物线上，•1-E(m,-m2-2m+3).DE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m.由题意可知，AO=BO,/DAP=/ADP=/EDF=/EFD=45,°•.DE=EEL=4DE=-4m2-12m.3L=-4m2-12m=-4(m+—)2+9.-wa=-4<0,，二次函数有最大值当m=——时，最大值L=9.(3)点q的坐标为(-i,TH),(-i,-相)，(-i,3+7n),(-1,3-斤)考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形.1315.如图1,抛物线y12ax—xc与x轴交于点A和点B1,0，与y轴交于点C0,—,抛物线y1的顶点为G,GMx轴于点m.将抛物线y1平移后得到顶点为l的抛物线y2.(1)求抛物线y2的解析式;24b且对称轴为直(2)如图2,在直线l上是否存在点T,使TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标:若不存在，请说明理由；⑶点p为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q,点Q关于直线l的对称点为R,若以P,Q,R为顶点的三角形与AMC全等,求直线PR的解析式.TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark211"\o"CurrentDocument"111【答案】(1)抛物线y2的斛析式为y2—x—x一；(2)T点的坐标为424HYPERLINK\l"bookmark376"\o"CurrentDocument"3.1373.1377713Ti(1,3),T2(1,3),T3(1,1)；(3)PR的解析式为y-x士或HYPERLINK\l"bookmark378"\o"CurrentDocument"'44824HYPERLINK\l"bookmark283"\o"CurrentDocument"1y—x-.HYPERLINK\l"bookmark130"\o"CurrentDocument"4-21a、c的值，进而求出yi,分析：（1）把B1,0和C0,—代入y1ax—xc求出42再根据平移得出y2即可;3⑵抛物线y2的对称轴Ex1,设T1,t,已知A3,0,C0,-,过点T作TEy4轴于E,分三种情况时行讨论等腰三角形的底和腰，得到关于t的方程，解方程即可；TOC\o"1-5"\h\zC、儿12131211(3)设Pm,-m-m-，则Qm,二m-m-，根据对称性得24424…1211—一R2m,-m—m—，分点p在直线的左侧或右侧时，结合以P,Q,R构成的三角形424与AMG全等求解即可.详解：(1)由题意知，3c-4a-c02-，一1解得a1,4TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark372"\o"CurrentDocument"1213所以,抛物线y的解析式为y1-x21x-；424因为抛物线y1平移后得到抛物线y2,且顶点为B1,0,所以抛物线、2的解析式为y2即：y2(2)抛物线y的对称轴l为x1，设T1,t，已知A3,0,C过点T作TEy轴于E,2则TC2TE2CE21223t-t225516TA222TB2AB2t2t216,AC2当TC15316，AC时,即t23.2521615316，解得t13.137或124当TCAC时，得t216,137；4153…——,无解;16当TCAC时，得t225162一•一t16,解得t377一;8综上可知在抛物线y2的对称轴l上存在点TAC是等腰三角形，此时T点的坐标为3：1373.而丁T11,',T21,',T31,77812(3)设Pm,-m4因为Q,R关于x1对称,所以R2m,1m21m1TOC\o"1-5"\h\z424情况一：当点P在直线的左侧时，12131211dPQ-m-m-一mm_1m,424424QR22m,又因为以P,Q,R构成的三角形与AMG全等，当PQGM且QRAM时，m0,3_可求得P0,一，即点p与点C重合4〜1所以R2,-,4设PR的解析式ykxb,b3,则有412kb-.4-，一1解得k1,2TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark215"\o"CurrentDocument"3即PR的解析式为y-x3,HYPERLINK\l"bookmark223"\o"CurrentDocument"4当PQAM且QRGM时，无解,情况二：当点P在直线l右侧时，12111213.PQmm--m-mm1,424424QR2m2,一—5_1同理可得P2,5,R0,-HYPERLINK\l"bookmark243"\o"CurrentDocument"44一，11Pr的解析式为y-x一,HYPERLINK\l"bookmark225"\o"CurrentDocument"24HYPERLINK\l"bookmark219"\o"CurrentDocument"13综上所述，PR的解析式为y-x—或yHYPERLINK\l"bookmark230"\o"CurrentDocument"24点睛：本题主要考查了二次函数综合题,此题涉及到待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识，解答（1）问的关键是求出a、c的值，解答（2）、（3）问的关键是正确地作出图形，进行分类讨论解答，此题有一定的难度.
浙公网安备 33021202002483