杨辉三角的奥秘及应用这个
表
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就称为杨辉三角1119368412612684369111121133114641151010511615201561172135352171828567056288………………………………111与二项式展开系数的关系1211331（a+b)1=1a+1b14641151010512+2ab+1b221a（a+b)=161520156132233（a+b)=1a+3ab+3ab+1b4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b441a（a+b)=5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b551a（a+b)=（a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6（a+b)n展开式的系数就是杨辉三角的第n行杨辉三角这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：杨辉中国南宋末年数学家、数学教育家。大约在13世纪中叶至后半叶活动于苏、杭一带。字谦光，钱塘（今杭州）人。其生卒年及生平无从详考。杨辉的数学著作甚多有《日用算法》《杨辉算法》等“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右.杨辉三角基本性质1.三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加2.杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距1离”的两个数相等113.每一行的第二个数就是这121行的行数1331146414.所有行的第二个数构成等15101051差数列16152015615.第n行包含n+1个数17213535217118285670562881193684126126843691………………………………11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………n(n?1)1a?n11212113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………与数字11的幂的关系y?11n1111121131111112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………0与数字2的幂的关系231121+1221++211+++3311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………20杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。斜行和水平行之间的关系11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和斐波那契数列换一角度“斜”向看：斜线的和依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．a1=1,a2=1,a3＝2，……111有：an=an-1+an-2(n≥3)231158121133114641151010511615201561斐波那契数与植物花瓣3……百合和蝴蝶花5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8………………………翠雀花13………………………金盏和玫瑰21……………紫宛34、55、89……………雏菊第2k行的数字特征1所有数的和是偶数1112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………第2n行的数字特征11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………行数整除所有的数都是质数11第2行1211331第3行1464115101051第5行1615201561172135352171第7行18285670562881193684126126843691………………………………行数为质数的数都能被行数整除在弹球游戏中的应用11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………在弹球游戏中的应用弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（AG区奖品最好，BF区奖品次之，CE区奖品第三，D区奖品最差）。ABCDEFG11221214441331888815101051323232323232161520156164646464646464ABCDEFG杨辉三角的实际应用“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．B处的杨辉三角数与A到B的走法有什么关系?．AB图1结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案(6)．一般地,每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系A111AA1233B1CBDB6
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