平面向量的坐标及其运算第一课时高中数学人教A版必修第二册（新课标）整体概览本节将要研究哪类问题？本节主要研究平面向量的坐标及运算的第一课时平面向量的坐标平面上向量的运算与坐标的关系．问题1 阅读课本，回答下列问题：新知探究平面上的两个非零向量与，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量与垂直，记作⊥．为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直．我们已经从平面向量基本定理知道，给定平面内两个不共线的向量（即给定一组基底）后，平面内的任意一个向量都能用这两个向量
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示如果平面向量的基底{，}中，⊥，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．新知探究问题2 如图所示，已知，是平面内两个相互垂直的单位向量，将图中的向量与都用，表示？e1e2ab新知探究一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量，，对于平面内的向量，如果 ，则称（x，y）为向量的坐标，记作（x，y）因此，图中的坐标为（2，2），的坐标为（3，－2）．e1e2ab新知探究问题3 平面向量的坐标是如何统一确定的，如何求平面上向量的坐标？如图所示，e1e2abOxy在平面上指定一点O作为原点，以的方向为x轴的正方向，以的方向为y轴的正方向，以（或）的模为单位长度建立平面直角坐标系，对于平面上任意一个向量，如果我们把它的始点平移到原点O，那么的终点对应的坐标就是向量的坐标．新知探究问题3 平面向量的坐标是如何统一确定的，如何求平面上向量的坐标？图中，＝（4，2），＝（－3，－1），特别地，为了方便起见，以后谈到平面上向量的坐标时，总是默认为已经按照上述方式指定了单位向量，，并建立了平面直角坐标系；同时，谈到平面直角坐标系时，默认为已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时：如果平面上一点A的坐标为（x，y）（通常记为A（x，y）），那么向量OA对应的坐标也为（x，y），即OA＝（x，y）；反之，这一结论也成立．新知探究问题3 平面向量的坐标是如何统一确定的，如何求平面上向量的坐标？因此，为了求出平面上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：（2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标．（1）将向量用单位向量，表示出来；新知探究例1 如图所示，求出向量，的坐标．abOxy解：因为的始点在原点，因此由的终点坐标可知＝（5，－1），又因为 ，所以的坐标为（－4，1）．新知探究问题4 平面上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？假设直线上两个向量，满足 ， ，即 ， ，当 时，有 ，由，是相互垂直的单位向量可知x1=x2且y1=y2；反之，结论也成立．这就是说，直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等．另外，因为 ，所以 ．同样， ．新知探究解：例2 已知平面向量＝（－2，3），＝（3，－3），求下列向量的坐标．（1） （2） （3）＝（－4，6）－（15，－15）＝（－19，21）；（1） ＝（－2，3）＋（3，－3）＝（1，0）；（2） ＝2（－2，3）－5（3，－3）（3） ＝（3，－3）＝（1，－1）．新知探究问题5 利用上述平面向量的运算与坐标之间的关系，是否可以求出它们之间的距离？如果向量＝（x，y），当与，都不共线时，若的始点在原点，则过的终点分别作x轴与y轴的垂线，可以构造出一个边长分别为|x|与|y|的矩形，而||正好等于矩形的对角线长，因此||＝ ，当与，共线时，上述结论显然也成立．新知探究例3 已知＝（3，1），＝（－23，2），求||、||．解：由已知可得：||＝ ＝2，||＝ ＝4．归纳小结问题6 （1）什么事实正交基底，正交分解？平面向量的坐标是什么？（2）两向量间的距离公式是什么？（1）给定平面内两个不共线的向量（即给定一组基底）后，平面内的任意一个向量都能用这两个向量表示如果平面向量的基底{，}中，⊥，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量，，对于平面内的向量，如果 ，则称（x，y）为向量的坐标，记作（x，y）归纳小结问题6 （1）什么事实正交基底，正交分解？平面向量的坐标是什么？（2）两向量间的距离公式是什么？（2）||＝ ．目标检测已知点A（1，－3）， 的坐标为（3，7），则点B的坐标为（ ）解析：1设点B的坐标为（x，y），由A．（4，4）B．（－2，4）C．（2，10）D．（－2，－10） ＝（3，7）＝（x，y）－（1，－3）＝（x－1，y＋3）＝（3，7），得B（4，4）．A目标检测已知a＝（1，－1），b＝（3，0），则3a－2b等于（ ）解析：23a－2b＝3（1，－1）－2（3，0） ＝（3，－3）－（6，0） ＝（－3，－3）．A．（5，3）B．（4，－1）C．（－2，－1）D．（－3，－3）D目标检测已知向量a＝（x＋3，x2－3x－4）与 相等，其中A（1，2），B（3，2），则x＝________．解析：3易得 ＝（2，0），由a＝（x＋3，x2－3x－4）与 相等得解得x＝－1．－1谢谢大家敬请各位老师提出宝贵意见！再见
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