2021届长春市高三理科数学二模试卷及答案

1/9长春市2021届高三质量监测（二)理科数学3月一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22cosisin33z，则复数z的虚部是1313A.B.C.2222D.2.设全集2R,{|40},{|1}UAxxBxx≥≤，则右图阴影部分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的集合为，A.(1,2]B.[1,2]C.[2,1)D.(,1]3.已知,mn是平面内的两条直线，则“直线lm且ln”是“l”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件的4.党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华微信搜索<试卷答案公众号>关注免费获取最新试卷及答案.民族几千年的贫困问题，取得历史性成就.同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年，下图为2013年至2019年每年我国农村减贫人数的条形图.根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为①平均每年减贫人数超过1300万;②每年减贫人数均保持在1100万以上:③打破了以往随着脱贫工作深入推进,难度越来越大,脱贫人数逐年递减的规律;④历年减贫人数的中位数是1240(万人).A.1B.2C.3D.45．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为1213A.B.C.D.45256.已知nS为等差数列{}na的前n项和，若2515,65aS，则14aaA.24B.26C.28D.307.已知直线l将圆22:210Cxyxy平分，且与直线230xy垂直，则l的方程为A.20B.230C.240D.220xyxyxyxy8.四边形ABCD中，2,0,||2ABDCABBCAB,则ADDC2/9A.1B.1C.2D.29.现有如下信息:(1）黄金分割比（简称:黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为512.(2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.(3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得sin126B.4AC.515151251.D24.10.已知抛物线22(0)ypxp上一点0(2,)Ay，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点M，满足2FAAM，则抛物线方程为2222AB.C..86D.12432yxyxyxyx11.已知函数()2sin()(0,||)fxx的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述:①2;②3;③若123xx，则12()()fxfx;④若123xx，则12()()0fxfx.其中正确的命题是A.②③B.①④C.①③D.①②12.已知函数2()xxxefxee与函数3()121gxxx的图象交点分别为：111(,)Pxy，222(,),,(,)(N)kkkPxyPxyk，则1212()()kkxxxyyyA.2B.0C.2D.4二、本题共4小题，每小题5分.13.已知点(,)Pxy满足约束条件404xyxyx，则2zxy的最小值为.14.写出一个符合“对12,Rxx，当12xx时，1212()[()()]0xxfxfx”的函数.15.已知焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为2yx，则该双曲线的离心率为.3/916.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图)，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高,球冠表面积2SRh，其中R为球的半径，h球冠的高)，设球冠底的半径为r,周长为C，球冠的面积为S，则rR的值为(结果用S、C表示）﹒三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答.(一）必考题:共60分.17.随着互联网行业、微信搜索<试卷答案公众号>关注免费获取最新试卷及答案.传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著．某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如右图所示(其中x表示开设网店数量，y表示这x个分店的年销售额总和）．现已知55118850,2000iiiiixyy，求解下列问题：(Ⅰ)经判断，可利用线性回归模型拟合y与x的关系，求解y关于x的回归方程;(II)按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w(单位:万元）满足25140wyx，请根据:(Ⅰ)中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大.参考公式：线性回归方程ybxa，其中aybx，1221iniiiinxynxybxxn.18.已知三棱柱111-ABCABC,ABAC,1AA⊥平面ABC，124AAABAC,M为棱AB上一点，若3AMBM.(Ⅰ)求证：平面11ABC⊥平面11BCM；4/9(II)求平面11AACC与平面11BCM所成锐二面角的余弦值.19.已知等比数列{}na满足：122320,80aaaa.(Ⅰ)求{}na的通项公式；(II)令2lognnba，其前n项和为nS，若11nnbS≤恒成立，求的最小值.20.已知函数2(),()ln.fxaxgxx(Ⅰ)当1a时，求()()fxgx的最小值；(II)若曲线()yfx与()ygx有两条公切线，求a的取值范围.21.已知椭圆2222:1(0)>xyCabab的离心率为12，3(1,)2P为椭圆上一点，,AB为椭圆上不同两点，O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(II)线段AB的中点为M，当AOB面积取最大值时，是否存在两定点,GH，使||||GMHM为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.22.[选修4-4坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中,曲线1C的参数方程为cossinxtyt(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos3.(I)求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程;(II)曲线1C与2C相交于A、B两点，求||||OAOB的值.23．[选修4-5不等式选讲]已知函数()|1|fxx.(Ⅰ)解不等式()(4)8fxfx≥;(II)若||1,||1,0aba，求证：()||()bfabafa.5/9长春市普通高中2021届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【试题解析】D复数z的虚部为23sin32，故选D.2.【试题解析】A易知阴影部分为集合()(1,2]UABð，故选A.3.【试题解析】B若m与n不相交，则“直线lm且ln”不能推出“l”；反之，如果“l”，无论m与n是否相交，都能推出“直线lm且ln”，故“直线lm且ln”是“l”的必要不充分条件，故选B.4.【试题解析】C由图易知①②③正确，④中位数应为1289（万），④错，故选C.5.【试题解析】C设事件A“第1次抽到代数题”，事件B“第2次抽到几何题”，则321(|)342PBA，故选C.6.【试题解析】C由题意533565,13Saa，所以142328aaaa，故选C.7.【试题解析】D由题意知，直线l过点1(,1)2，斜率为2，所以直线:220lxy，故选D.8.【试题解析】B由题意知||1,0DCDCBC，所以()1ADDCABBCCDDCABDCCDDC，故选B9.【试题解析】D由题意，设ABC△为36A的黄金三角形，有51,2abcb，所以22251cos3624bcabc，所以51sin126cos364，另外36AB，108C，也可获得此结果，故选D.10.【试题解析】C由2FAAM知A为线段FM上靠近F的三等分点，所以0(,0),(,3)22ppFMy，有22(2)2,12,2422pppyx，故选C.11.【试题解析】C由图知，125,221212，2()2,0,126kk，故①正确，②错误；③中，12,26xx而直线6x是函数()fx的对称轴，故③正确，④错误，故选C.12.【试题解析】D由题意化简，()1xxxxeefxee，可知()fx的图象与()gx的图象都关于点(0,1)对称，又2224()0(1)xxefxe，所以()fx在(,0),(0,)上单调递减，由2()3(4)gxx可知，()gx在(,2),(2,)上单调递减，在(2,2)上单调递增，由图象可知，()fx与()gx的图象有四个交点，微信搜索<试卷答案公众号>关注免费获取最新试卷及答案.且都关于点(0,1)对称，所以所求和为4，故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】6【解析】可行域为6/9由2zxy得2yxz，过（2,2）点时有最小值6.14.【答案】例如x【解析】可得此函数为单调递减函数，写出一个减函数即可.15.【答案】52【解析】注意到双曲线的焦点在y轴上，可得2521()2abeba.16.【答案】242CSCS【解析】2222()SRhRRRr①,22224CrCr②①②两式对应相除得222222222222()()2[()1]42SRRRrSRRRrSRRRCrCrCrrr设Rmr得2222222222222[1]114SSSSmmmmmmmmmmCCCCSC所以242rCSCRS.三、解答题17.(本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由题意，521885020400ˆ90,4,859080iixxb，ˆ40085460a，所以ˆ8560yx.（6分）（2）由（1）知，22171125585805()24wxxx，所以当8x或9x时能获得总利润最大.（12分）18.(本小题满分12分)【试题解析】解：（1）证明：11111111111AAABCAAACACAABBACABCACBMACBMABACBMAABB平面平面平面，即平面111111111111111ACBMBMABCABBMBCMABCBMBCM平面平面平面平面.（6分）（2）以A为原点，AB方向为x轴，AC方向为y轴，1AA方向为z轴，建立空间直角坐标系.1(4,0,2)B，1(0,4,2)C，(3,0,0)M，11(4,4,0)BC，1(1,0,2)BM平面11BCM的法向量为1(2,2,1)n，平面11AACC的法向量为2(1,0,0)n即平面11AACC与平面11BCM所成锐二面角的余弦值为1212||2cos3||||nnnn，即平面11AACC与平面11BCM所成锐二面角的余弦值为23.（12分）19.(本小题满分12分)7/9【试题解析】解：（1）由题意112112080aaqaqaq，可知4q，进一步解得14a.即{}na的通项公式为4nna.（6分）（2）22loglog42nnnban，212(1)22nSnnnnn，2221111111nnbnSnnnn，由*nN，利用基本不等式以及对勾函数的性质可得11203nn≥得61123nnbS≤则的最小值为623.（12分）20.(本小题满分12分)【试题解析】解：（1）当1a时，令2()()()lnFxfxgxxx，1()2Fxxx（0x）2121()2xFxxxx，令()0Fx且0x可得22x，min21111()(ln2)ln222222FF.（4分）（2）方法一：由函数()fx和()gx的图象可知，当()()fxgx时，曲线()yfx与()ygx有两条公切线.即2lnaxx在(0,)上恒成立，即2lnxax在(0,)上恒成立，设2ln()xhxx，312ln()xhxx令312ln()0xhxx，xe即max1()2hhee，因此，12ae.（12分）法二：取两个函数相切的临界条件：20000ln12axxaxx解得0xe，12ae，由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，12ae.（12分）21.(本小题满分12分)【试题解析】解：（1）由12e可设2at，ct，则3bt，则方程化为2222143xytt，又点3(1,)2P在椭圆上，则22914143tt，解得1t，8/9因此椭圆C的方程为22143xy.（4分）（2）当直线AB的斜率存在时，设AB直线的方程为ykxm，联立直线AB和椭圆C的方程消去y得，2234()120xkxm，化简得：222(34)84120kxkmxm，222212112221118412||||||()4||()42223434AOBkmmSmxxmxxxxmkk△22222222242222222||2||4(3)(34)9312343423||34233434(34)mmkmmkmkkkmmmkmkkk当221342mk时，S取得最大值3，即此时22234mk，又122834kmxxk，121226()234myykxxmk，则1212(,)22xxyyM，即2243(,)3434kmmMkk令22434334kmxkmyk，则221322xy，因此平面内存在两点G、H使得||||22GMHM.当直线AB的斜率不存在时，设(2cos,3sin)A，则(2cos,3sin)B23sincos3sin2AOBS△，即当4取得最大值3.此时AB中点M的坐标为(2,0)，满足方程221322xy，即||||22GMHM.（12分）22.(本小题满分10分)【试题解析】（1）曲线1C的普通方程为cossin0yx，即极坐标方程为（R）.曲线2C的直角坐标方程为2223xyx，即22(1)4xy.（5分）（2）曲线2C的极坐标方程为22cos30，代入，可得123，则12||||||3OAOB.（10分）23.(本小题满分10分)【试题解析】（1）()(4)|1||3|8fxfxxx≥，则(,5][3,)x.（5分）（2）要证()||()bfabafa成立，即证|1|||abba成立，即证22221baba成立，只需证222(1)(1)0abb成立即证22(1)(1)0ab成立，由已知||1,||1ab得22(1)(1)0ab显然成立.（10分）