离散数学课后习题答案左孝凌版

---离散数学课后习题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 (左孝凌版)1-1，1-2解：a)是命题，真值为T。b)不是命题。c)是命题，真值要根据具体情况确定。d)不是命题。e)是命题，真值为T。f)是命题，真值为T。g)是命题，真值为F。h)不是命题。i)不是命题。（1）解：原子命题：我爱北京天安门。复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。（2）解：a)(┓P∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（3）解：a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。Q(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。R∧Q:我在看电视边吃苹果。c)设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。(5)解：a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Qb)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Qc)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Qd)设P：a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q：四边形ABCD的对边平行。PQf)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨Q）→Ra)(6)解：b)P:天气炎热。Q:正在下雨。P∧Qc)P:天气炎热。R:湿度较低。P∧Rd)R:天正在下雨。S:湿度很高。R∨Se)A:刘英上山。B:李进上山。A∧Bf)M:老王是革新者。N:小李是革新者。M∨Ng)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓Mh)P:我不看电视。Q:我不外出。R:我在睡觉。P∧Q∧Ri)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q1-3（1）解：a)不是合式 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。这个过程可以简记为：A；(A∨B)；(A→(A∨B))同理可记b）A；┓A；(┓A∧B)；((┓A∧B)∧A)c）A；┓A；B；(┓A→B)；(B→A)；((┓A→B)→(B→A))d）A；B；(A→B)；(B→A)；((A→B)∨(B→A))（3）解：a）((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))b）((B→A)∨(A→B))。（4）解：a)是由c)式进行代换得到，在c)中用Q代换P,(P→P)代换Q.d)是由a)式进行代换得到，在a)中用P→(Q→P)代换Q.e)是由b)式进行代换得到，用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.（5）解：a)P:你没有给我写信。R:信在途中丢失了。PQb)P:张三不去。Q:李四不去。R:他就去。(P∧Q)→Rc)P:我们能划船。Q:我们能跑步。┓(P∧Q)d)P:你来了。Q:他唱歌。R:你伴奏。P→(QR)（6）解：P:它占据空间。Q:它有质量。R:它不断变化。S:它是物质。这个人起初主张：(P∧Q∧R)S后来主张：(P∧QS)∧(S→R)这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。（7）解：a)P:上午下雨。Q:我去看电影。R:我在家里读书。S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))b)P:我今天进城。Q:天下雨。┓Q→Pc)P:你走了。Q:我留下。Q→P1-4（4）解：a)PQRQ∧RP∧(Q∧R)P∧Q(P∧Q)∧RTTTTTFTFTTFFFTTFTFFFTFFFTFFFTFFFTFFFFFFFTTFFFFFFTFFFFFFF所以，P∧(Q∧R)(P∧Q)∧Rb)PQRQ∨RP∨(Q∨R)P∨Q(P∨Q)∨RTTTTTFTFTTFFFTTFTFFFTFF　F　ＴＴＴＦＴＴＴＦＴＴＴＴＴＴＴＦ　　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｆ　　　Ｆ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｔ　　　Ｆ所以，P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R　ｃ）Ｐ　Ｑ　ＲＱ∨ＲＰ∧（Ｑ∨Ｒ）Ｐ∧ＱＰ∧Ｒ（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）Ｔ　Ｔ　ＴＴ　Ｔ　ＦＴ　Ｆ　ＴＴ　Ｆ　ＦＦ　Ｔ　ＴＦ　Ｔ　ＦＦ　Ｆ　ＴＦ　Ｆ　ＦＴＴＴＦＴＴＴＦＴＴＴＦＦＦＦＦＴＴＦＦＦＦＦＦＴＦＴＦＦＦＦＦＴＴＴＦＦＦＦＦ所以，P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R)　ｄ）PQ┓P┓Q┓P∨┓Q┓(P∧Q)┓P∧┓Q┓(P∨Q)TTTFFTFFFFTTFTFTFTTTFTTTFFFTFFFT所以，┓(P∧Q)┓P∨┓Q,┓(P∨Q)┓P∧┓Q（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为PQRF1F2F3F4F5F6TTTTFTTFFTTFFFTFFFTFTTFFTTFTFFFTFTTFFTTTFFTTFFTFTFFFTFFFTTFTTTFFFFFTFTTTF1:(Q→P)→RF2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)F3:(P←→Q)∧(Q∨R)F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)F6:┓(P∨Q∨R)(6)PQ12345678910111213141516FFFTFTFTFTFTFTFTFTFTFFTTFFTTFFTTFFTTTFFFFFTTTTFFFFTTTTTTFFFFFFFFTTTTTTTT解：由上表可得有关公式为1.F2.┓(P∨Q)3.┓(Q→P)4.┓P5.┓(P→Q)6.┓Q7.┓(PQ)8.┓(P∧Q)9.P∧Q10.PQ11.Q12.P→Q13.P14.Q→P15.P∨Q16.T(7)证明：a)A→(B→A)┐A∨(┐B∨A)A∨(┐A∨┐B)A∨(A→┐B)┐A→(A→┐B)b)┐(AB)┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))┐((A∧B)∨┐(A∨B))(A∨B)∧┐(A∧B)或┐(AB)┐((A→B)∧(B→A))┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))┐(┐(A∨B))∨(A∧B)(A∨B)∧┐(A∧B)c)┐(A→B)┐(┐A∨B)A∧┐Bd)┐(AB)┐((A→B)∧(B→A))┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))(A∧┐B)∨(┐A∧B)e)(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)(┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D(((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D((C∧(AB))→D)f)A→(B∨C)┐A∨(B∨C)(┐A∨B)∨C┐(A∧┐B)∨C(A∧┐B)→Cg)(A→D)∧(B→D)(┐A∨D)∧(┐B∨D)(┐A∧┐B)∨D┐(A∨B)∨D(A∨B)→Dh)((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))(┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C(┐(A∧B)∧┐(┐D∧B))∨C┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C((A∨┐D)∧B)→C(B∧(D→A))→C（8）解：a)((A→B)(┐B→┐A))∧C((┐A∨B)(B∨┐A))∧C((┐A∨B)(┐A∨B))∧CT∧CCb)A∨(┐A∨(B∧┐B))(A∨┐A)∨(B∧┐B)T∨FTc)(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)(A∨┐A)∧(B∧C)T∧(B∧C)B∧C（9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨CB∨C，但AB不成立。2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧CB∧C，但AB不成立。3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。习题1-5（1）证明：a)(P∧(P→Q))→Q(P∧(┐P∨Q))→Q(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q(P∧Q)→Q┐(P∧Q)∨Q┐P∨┐Q∨Q┐P∨TTb)┐P→(P→Q)P∨(┐P∨Q)(P∨┐P)∨QT∨QTc)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)因为(P→Q)∧(Q→R)(P→R)所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。d)((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))((a∨c)∧b)∨(c∧a)((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)所以((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。（2）证明：a)(P→Q)P→(P∧Q)解法1：设P→Q为T（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T命题得证解法2：设P→(P∧Q)为F，则P为T，(P∧Q)为F，故必有P为T，Q为F，所以P→Q为F。解法3：(P→Q)→(P→(P∧Q))┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))T所以(P→Q)P→(P∧Q)b)(P→Q)→QP∨Q设P∨Q为F，则P为F，且Q为F，故P→Q为T，(P→Q)→Q为F，所以(P→Q)→QP∨Q。c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q成立。（3）解：a)P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。b)a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。c)a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。d)a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。（4）解：a)如果天下雨，我不去。设P：天下雨。Q：我不去。P→Q逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨b)仅当你走我将留下。设S：你走了。R：我将留下。R→S逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5）试证明PQ，Q逻辑蕴含P。证明：解法1：本题要求证明(PQ)∧QP,设(PQ)∧Q为T，则(PQ)为T，Q为T，故由的定义，必有P为T。所以(PQ)∧QP解法2：由体题可知，即证((PQ)∧Q)→P是永真式。((PQ)∧Q)→P(((P∧Q)∨(┐P∧┐Q))∧Q)→P(┐((P∧Q)∨(┐P∧┐Q))∨┐Q)∨P(((┐P∨┐Q)∧(P∨Q))∨┐Q)∨P((┐Q∨┐P∨┐Q)∧(┐Q∨P∨Q))∨P((┐Q∨┐P)∧T)∨P┐Q∨┐P∨P┐Q∨TT（6）解：P：我学习Q：我数学不及格R：我热衷于玩扑克。　如果我学习，那么我数学不会不及格：P→┐Q如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习:┐R→P但我数学不及格:Q因此我热衷于玩扑克。R即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧QR证：证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q)∨R(P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))┐Q∨P∨R∨┐PT　所以，论证有效。证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T，则因Q为T，(P→┐Q)为T，可得P为F，由(┐R→P)为T，得到R为T。故本题论证有效。（7）解：P：6是偶数Q：7被2除尽R：5是素数如果6是偶数，则7被2除不尽P→┐Q或5不是素数，或7被2除尽┐R∨Q5是素数R所以6是奇数┐P即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R┐P证：证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P┐((┐P∨┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)∨┐P((P∧Q)∨(R∧┐Q)∨┐R)∨┐P((┐P∨P)∧(┐P∨Q))∨((┐R∨R)∧(┐R∨┐Q))(┐P∨Q)∨(┐R∨┐Q)T　所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T，则有R为T，且┐R∨Q为T，故Q为T，再由P→┐Q为T，得到┐P为T。（8）证明：a)P(┐P→Q)设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为Tb)┐A∧B∧CC假定┐A∧B∧C为T，则C为T。c)CA∨B∨┐B因为A∨B∨┐B为永真，所以CA∨B∨┐B成立。d)┐(A∧B)┐A∨┐B设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。命题得证。e)┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐AB∨C设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T，则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。f)(A∧B)→C，┐D，┐C∨D┐A∨┐B设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。（9）解：a)如果他有勇气，他将得胜。P：他有勇气Q：他将得胜原命题：P→Q逆反式：┐Q→┐P表示：如果他失败了，说明他没勇气。b)仅当他不累他将得胜。P：他不累Q：他得胜原命题：Q→P逆反式：┐P→┐Q表示：如果他累，他将失败。习题1-6(1)解：a)(P∧Q)∧┐P(P∧┐P)∧Q┐(T∨Q)b)(P→(Q∨┐R))∧┐P∧Q(┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q)(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)┓P∧Q┐(P∨┐Q)c)┐P∧┐Q∧(┐R→P)┐P∧┐Q∧(R∨P)(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)(┐P∧┐Q∧R)∨F┐P∧┐Q∧R┐(P∨Q∨┐R)(2)解：a)┐PP↓Pb)P∨Q┐(P↓Q)(P↓Q)↓(P↓Q)c)P∧Q┐P↓┐Q(P↓P)↓(Q↓Q)(3)解：P→(┐P→Q)┐P∨(P∨Q)T┐P∨P(┐P↑┐P)↑(P↑P)P↑(P↑P)P→(┐P→Q)┐P∨(P∨Q)T┐P∨P┐(┐P↓P)┐((P↓P)↓P)((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)(4)解：P↑Q┐(┐P↓┐Q)┐((P↓P)↓(Q↓Q))((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))(5)证明：┐(B↑C)┐(┐B∨┐C)┐B↓┐C┐(B↓C)┐(┐B∧┐C)┐B↑┐C(6)解：联结词“↑”和“↓”不满足结合律。举例如下：a)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↑Q)↑R为T，P↑(Q↑R)为F故(P↑Q)↑RP↑(Q↑R).b)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↓Q)↓R为T，P↓(Q↓R)为F故(P↓Q)↓RP↓(Q↓R).(7)证明：设变元P，Q，用连结词,┐作用于P，Q得到：P，Q，┐P，┐Q，PQ，PP，QQ，QP。但PQQP，PPQQ，故实际有：P，Q，┐P，┐Q，PQ，PP（T）（A）用┐作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：P，Q，┐P，┐Q，┐（PQ），T，F，PQ（B）用作用于（A）类，得到：PQ，P┐PF，P┐Q┐（PQ），P（PQ）Q，P（PP）P，Q┐P┐（PQ），Q┐QF，Q（PQ）P，QTQ,┐P┐QPQ，┐P（PQ）┐Q，┐PT┐P,┐Q（PQ）┐P，┐QT┐Q,（PQ）（PQ）PQ.因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。对（B）类使用┐运算得：┐P，┐Q，P，Q，PQ，F，T，┐（PQ），仍在（B）类中。对（B）类使用运算得：PQ，P┐PF，P┐Q┐（PQ），P┐（PQ）┐Q，PTP，PF┐P，P（PQ）Q，Q┐P┐（PQ），Q┐QF，Q┐（PQ）┐P，QTQ,QF┐Q，Q（PQ）P，┐P┐QPQ，┐P┐（PQ）Q，┐PT┐P,┐PFP,┐P（PQ）┐Q，┐Q┐（PQ）P，┐QT┐Q,┐QT┐Q,┐Q（PQ）┐P，┐（PQ）T┐（PQ），┐（PQ）FPQ，┐（PQ）（PQ）FTFF，T（PQ）PQF（PQ）┐（PQ）（PQ）（PQ）PQ.故由（B）类使用运算后，结果仍在（B）中。由上证明：用,┐两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故{,┐}不是功能完备的，更不能是最小联结词组。已证{,┐}不是最小联结词组，又因为PQ┐（PQ），故任何命题公式中的联结词，如仅用{,┐}表达，则必可用{,┐}表达，其逆亦真。故{,┐}也必不是最小联结词组。(8)证明{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词组。证明：若{∨}，{∧}和{→}是最小联结词，则┐P（P∨P∨……）┐P（P∧P∧……）┐PP→(P→(P→……)对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，与等价表达式矛盾。所以{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词。(9)证明{┐,→}和{┐,}是最小联结词组。证明：因为{┐,∨}为最小联结词组，且P∨Q┐P→Q所以{┐,→}是功能完备的联结词组，又{┐},{→}都不是功能完备的联结词组。所以{┐,→}是最小联结词组。又因为P→Q┐(PQ)，所以{┐,}是功能完备的联结词组，又{┐},{}不是功能完备的联结词组，所以{┐,}是最小联结词组。习题1-7(1)解：P∧(P→Q)P∧(┐P∨Q)(P∧┐P)∨(P∧Q)P∧(P→Q)(P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)(P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)(2)解：a)(┐P∧Q)→R┐(┐P∧Q)∨RP∨┐Q∨R(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P)b)P→((Q∧R)→S)┐P∨(┐(Q∧R)∨S)┐P∨┐Q∨┐R∨S(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P)c)┐(P∨┐Q)∧(S→T)(┐P∧Q)∧(┐S∨T)(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)d)(P→Q)→R┐(┐P∨Q)∨R(P∧┐Q)∨R(P∨R)∧(┐Q∨R)e)┐(P∧Q)∧(P∨Q)(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)(3)解：a)P∨(┐P∧Q∧R)(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R)(P∨Q)∧(P∨R)b)┐(P→Q)∨(P∨Q)┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)(P∧┐Q)∨(P∨Q)(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q)c)┐(P→Q)┐(┐P∨Q)P∧┐Q(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P)d)(P→Q)→R┐(┐P∨Q)∨R(P∧┐Q)∨R(P∨R)∧(┐Q∨R)e)(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q)(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)(4)解：a)(┐P∨┐Q)→(P┐Q)┐(┐P∨┐Q)∨(P┐Q)(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)1，2，3P∨Q=0b)Q∧(P∨┐Q)(P∧Q)∨(Q∧┐Q)P∧Q=30，1，2(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐P∨Q)c)P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R))P∨(P∨(Q∨(Q∨R))P∨Q∨R=01，2，3,4,5,6,7=(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)d)(P→(Q∧R))∧(┐P→(┐Q∧┐R))(┐P∨(Q∧R))∧(P∨(┐Q∧┐R))(P∧┐P)∨(P∧(Q∧R))∨((┐Q∧┐R)∧┐P)∨((┐Q∧┐R)∧(Q∧R))(P∧Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧┐R)=0,71，2，3,4,5,6(P∨Q∨┐R)∧(P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨┐R)∧(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨R)e)P→(P∧(Q→P)┐P∨(P∧(┐Q∨P)(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P)T∨(T∧┐Q)T0,1,2,3=(┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(P∧Q)f)(Q→P)∧(┐P∧Q)(┐Q∨P)∧┐P∧Q(┐Q∨P)∧┐(P∨┐Q)F0,1，2，3=(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐P∨Q)∧(┐P∨┐Q)(5)证明：a)(A→B)∧(A→C)(┐A∨B)∧(┐A∨C)A→(B∧C)┐A∨(B∧C)(┐A∨B)∧(┐A∨C)b)(A→B)→(A∧B)┐(┐A∨B)∨(A∧B)(A∧┐B)∨(A∧B)A∧(B∨┐B)A∧TA(┐A→B)∧(B→A)(A∨B)∧(┐B∨A)A∨(B∧┐B)A∨FAc)A∧B∧(┐A∨┐B)((A∧┐A)∨(A∧┐B))∧BA∧B∧┐BF┐A∧┐B∧(A∨B)((┐A∧A)∨(┐A∧B))∧┐B┐A∧┐B∧BFd)A∨(A→(A∧B)A∨┐A∨(A∧B)T┐A∨┐B∨(A∧B)┐(A∧B)∨(A∧B)T(6)解：AR↑(Q∧┐(R↓P)),则A*R↓(Q∨┐(R↑P))AR↑(Q∧┐(R↓P))┐(R∧(Q∧(R∨P)))┐R∨┐Q∨┐(R∨P)┐(R∧Q)∨┐(R∨P)A*R↓(Q∨┐(R↑P))┐(R∨(Q∨(R∧P))┐R∧┐Q∧┐(R∧P)┐(R∨Q)∧┐(R∧P)(7)解：设A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。若A去则C和D中要去一个。A→(CD)B和C不能都去。┐(B∧C)C去则D要留下。C→┐D按题意应有：A→(CD)，┐(B∧C)，C→┐D必须同时成立。因为CD(C∧┐D)∨(D∧┐C)故(A→(CD))∧┐(B∧C)∧(C→┐D)(┐A∨(C∧┐D)∨(D∧┐C))∧┐(B∧C)∧(┐C∨┐D)(┐A∨(C∧┐D)∨(D∧┐C))∧(┐B∨┐C)∧(┐C∨┐D)(┐A∨(C∧┐D)∨(D∧┐C))∧((┐B∧┐C)∨(┐B∧┐D)∨(┐C∧┐D)∨┐C)(┐A∧┐B∧┐C)∨(┐A∧┐B∧┐D)∨(┐A∧┐C∧┐D)∨(┐A∧┐C)∨(┐B∧┐C∧D)∨(┐C∧D∧┐B∧┐D)∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)∨(┐C∧D∧┐C)∨(┐D∧C∧┐B∧┐C)∨(┐D∧C∧┐B∧┐D)∨(┐D∧C∧┐C∧┐D)∨(┐D∧C∧┐C)在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得(┐A∧┐C)∨(┐B∧┐C∧D)∨（┐C∧D）∨(┐D∧C∧┐B)故分派的方法为：B∧D,或D∧A,或C∧A。(8)解：设P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。由题意得(PQ)∧(RS)∧(ES)((P∧┐Q)∨(┐P∧Q))∧((R∧┐S)∨(┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))((P∧┐Q∧R∧┐S)∨(P∧┐Q∧┐R∧S)∨(┐P∧Q∧R∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))因为(P∧┐Q∧┐R∧S)与(┐P∧Q∧R∧┐S)不合题意，所以原式可化为((P∧┐Q∧R∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))(P∧┐Q∧R∧┐S∧E∧┐S)∨(P∧┐Q∧R∧┐S∧┐E∧S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧E∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E∧S)(P∧┐Q∧R∧┐S∧E)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E)因R与E矛盾，故┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E为真，即A不是第一，B是第二，C不是第二，D为第四，A不是第二。于是得：A是第三B是第二C是第一D是第四。习题1-8(1)证明：a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R┐P(1)┐RP(2)┐Q∨RP(3)┐Q(1)(2)T,I(4)┐(P∧┐Q)P(5)┐P∨Q(4)T,E(6)┐P(3)(5)T,Ib)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨GM∨N(1)(H∨G)→JP(2)(H∨G)P(3)J(1)(2)T,I(4)J→(M∨N)P(5)M∨N(3)(4)T,Ic)B∧C，(BC)→(H∨G)G∨H(1)B∧CP(2)B(1)T,I(3)C(1)T,I(4)B∨┐C(2)T,I(5)C∨┐B(3)T,I(6)C→B(4)T,E(7)B→C(5)T,E(8)BC(6)(7)T,E(9)(BC)→(H∨G)P(10)H∨G(8)(9)T,Id)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)┐S(1)(┐Q∨R)∧┐R(2)┐Q∨R(1)T,I(3)┐R(1)T,I(4)┐Q(2)(3)T,I(5)P→QP(6)┐P(4)(5)T,I(7)┐(┐P∧┐S)P(8)P∨┐S(7)T,E(9)┐S(6)(8)T,I(2)证明：a)┐A∨B，C→┐BA→┐C(1)┐(A→┐C)P(2)A(1)T,I(3)C(1)T,I(4)┐A∨BP(5)B(2)(4)T,I(6)C→┐BP(7)┐B(3)(6)T,I(8)B∧┐B矛盾。(5),(7)b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)A→(B→F)(1)┐(A→(B→F))P(2)A(1)T,I(3)┐(B→F)(1)T,I(4)B(3)T,I(5)┐F(3)T,(6)A→(B→C)P(7)B→C(2)(6)T,I(8)C(4)(7)T,I(9)┐F→(D∧┐E)P(10)D∧┐E(5)(9)T,I(11)D(10)T,I(12)C∧D(8)(11)T,I(13)(C∧D)→EP(14)E(12)(13)T,I(15)┐E(10)T,I(16)E∧┐E矛盾。(14),(15)c)A∨B→C∧D，D∨E→FA→F(1)┐(A→F)P(2)A(1)T,I(3)┐F(1)T,I(4)A∨B(2)T,I(5)(A∨B)→C∧DP(6)C∧D(4)(5)T,I(7)C(6)T,I(8)D(6)T,I(9)D∨E(8)T,I(10)D∨E→FP(11)F(9)(10)T,I(12)F∧┐F矛盾。(3),(11)d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)B→E(1)┐(B→E)P(2)B(1)T,I(3)┐E(1)T,I(4)┐B∨DP(5)D(2)(4)T,I(6)(E→┐F)→┐DP(7)┐(E→┐F)(5)(6)T,I(8)E(7)T,I(9)E∧┐E矛盾e)(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→C┐A(1)(A→B)∧(C→D)P(2)A→B(1)T,I(3)(B→E)∧(D→F)P(4)B→E(3)T,I(5)A→E(2)(4)T,I(6)┐(E∧F)P(7)┐E∨┐F(6)T,E(8)E→┐F(7)T,E(9)A→┐F(5)(8)T,I(10)C→D(1)T,I(11)D→F(3)T,I(12)C→F(10)(10)T,I(13)A→CP(14)A→F(13)(12)T,I(15)┐F→┐A(14)T,E(16)A→┐A(9)(15)T,I(17)┐A∨┐A(16)T,E(18)┐A(17)T,E(3)证明：a)┐A∨B，C→┐BA→┐C(1)AP(2)┐A∨BP(3)B(1)(2)T,I(4)C→┐BP(5)┐C(3)(4)T,I(6)A→┐CCPb)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)A→(B→F)(1)AP(2)A→(B→C)P(3)B→C(1)(2)T,I(4)BP(5)C(3)(4)T,I(6)(C∧D)→EP(7)C→(D→E)(6)T,E(8)D→E(5)(7)T,I(9)┐D∨E(8)T,E(10)┐(D∧┐E)(9)T,E(11)┐F→(D∧┐E)P(12)F(10)(11)T,I(13)B→FCP(14)A→(B→F)CPc)A∨B→C∧D，D∨E→FA→F(1)AP(2)A∨B(1)T,I(3)A∨B→C∨DP(4)C∧D(2)(3)T,I(5)D(4)T,I(6)D∨E(5)T,I(7)D∨E→FP(8)F(6)(7)T,I(9)A→FCPd)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)B→E(1)BP(附加前提)(2)┐B∨DP(3)D(1)(2)T,I(4)(E→┐F)→┐DP(5)┐(E→┐F)(3)(4)T,I(6)E(5)T,I(7)B→ECP(4)证明：a)R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q┐P(1)R→┐QP(2)R∨SP(3)S→┐QP(4)┐Q(1)(2)(3)T,I(5)P→QP(6)┐P(4)(5)T,Ib)S→┐Q，S∨R，┐R，┐PQP证法一：(1)S∨RP(2)┐RP(3)S(1)(2)T,I(4)S→┐QP(5)┐Q(3)(4)T,I(6)┐PQP(7)(┐P→Q)∧(Q→┐P)(6)T,E(8)┐P→Q(7)T,I(9)P(5)(8)T,I证法二：（反证法）(1)┐PP（附加前提）(2)┐PQP(3)（┐P→Q）∧（Q→┐P）(2)T，E(4)┐P→Q(3)T,I(5)Q(1)(4)T,I(6)S→┐QP(7)┐S(5)(6)T,I(8)S∨RP(9)R(7)(8)T,I(10)┐RP(11)┐R∧R矛盾（9）（10）T，Ic)┐(P→Q)→┐(R∨S)，((Q→P)∨┐R)，RPQ(1)RP(2)(Q→P)∨┐RP(3)Q→P(1)(2)T,I(4)┐(P→Q)→┐(R∨S)P(5)(R∨S)→(P→Q)(4)T,E(6)R∨S(1)T,I(7)P→Q(5)(6)(8)(P→Q)∧(Q→P)(3)(7)T,I(9)PQ(8)T,E(5)解：a)设P：我跑步。Q：我很疲劳。前提为：P→Q，┐Q(1)P→QP(2)┐QP(3)┐P(1)(2)T,I结论为：┐P，我没有跑步。b)设S：他犯了错误。R：他神色慌张。前提为：S→R，R因为（S→R）∧R（┐S∨R）∧RR。故本题没有确定的结论。实际上，若S→R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。c)设P：我的程序通过。Q：我很快乐。R：阳光很好。S：天很暖和。（把晚上十一点理解为阳光不好）前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S(1)P→QP(2)Q→RP(3)P→R(1)(2)T,I(4)┐R∨SP(5)┐R(4)T,I(6)┐P(3)(5)T,I结论为：┐P，我的程序没有通过习题2-1,2-2（1）解：a)设W（x）：x是工人。c：小张。则有¬W（c）b)设S（x）：x是田径运动员。B（x）：x是球类运动员。h：他则有S（h）B（h）c)设C（x）：x是聪明的。B（x）：x是美丽的。l：小莉。则有C（l）B（l）d）设O（x）：x是奇数。则有O（m）¬O（2m）。e)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。则有（x）（Q（x）R（x））f)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。则有（x）（R（x）Q（x））g)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。则有¬（x）（R（x）Q（x））h)设P（x，y）：直线x平行于直线yG（x，y）：直线x相交于直线y。则有P（A，B）¬G（A，B）（2）解：a)设J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。则有（x）（J（x）L（x））b)设S(x)：x是大学生。L(x)：x是运动员。则有（x）（L（x）S（x））c)设J(x)：x是教练员。O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。则有（x）（J（x）O（x）V（x））d)设O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。j：金教练则有¬O（j）¬V（j）e)设L(x)：x是运动员。J(x)：x是教练员。则¬（x）（L（x）J（x））本题亦可理解为：某些运动员不是教练。故（x）（L（x）¬J（x））f)设S（x）：x是大学生。L（x）：x是运动员。C（x）：x是国家选手。则有（x）（S（x）L（x）C（x））g)设C（x）：x是国家选手。V（x）：x是健壮的。则有（x）（C（x）V（x））或¬（x）（C（x）¬V（x））h)设C（x）：x是国家选手。O（x）：x是老的。L（x）：x是运动员。则有（x）（O（x）C（x）L（x））i)设W（x）：x是女同志。H（x）：x是家庭妇女。C（x）：x是国家选手。则有¬（x）（W（x）C（x）H（x））j）W（x）：x是女同志。J（x）：x是教练。C（x）：x是国家选手。则有（x）（W（x）J（x）C（x））k）L（x）：x是运动员。J（y）：y是教练。A(x,y)：x钦佩y。则有（x）（L（x）（y）（J（y）A（x，y）））l）设S（x）：x是大学生。L（x）：x是运动员。A(x,y)：x钦佩y。则（x）（S（x）（y）（L（y）¬A(x,y)））习题2-3（1）解：a）5是质数。b）2是偶数且2是质数。c）对所有的x，若x能被2除尽，则x是偶数。d）存在x，x是偶数，且x能除尽6。（即某些偶数能除尽6）e）对所有的x，若x不是偶数，则x不能被2除尽。f）对所有的x，若x是偶数，则对所有的y，若x能除尽y，则y也是偶数。g）对所有的x，若x是质数，则存在y，y是偶数且x能除尽y（即所有质数能除尽某些偶数）。h）对所有的x，若x是奇数，则对所有y，y是质数，则x不能除尽y（即任何奇数不能除尽任何质数）。（2）解：（x）(y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(!z)(L(z)∧R(x,y,z)))或（x）(y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(z)(L(z)∧R(x,y,z)∧┐(u)(┐E(z,u)∧L(u)∧R(x,y,u))))（3）解：a)设N(x):x是有限个数的乘积。z(y):y为0。P(x):x的乘积为零。F(y):y是乘积中的一个因子。则有(x)((N(x)∧P(x)→(y)(F(y)∧z(y)))b)设R(x):x是实数。Q(x,y):y大于x。故(x)(R(x)→(y)(Q(x,y)∧R(y)))c)R(x):x是实数。G(x,y):x大于y。则(x)(y)(z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z)（4）解：设G(x,y):x大于y。则有(x)(y)(z)(G(y,x)∧G(0,z)→G(x·z,y·z))（5）解：设N(x):x是一个数。S(x,y):y是x的后继数。E(x,y)：x=y.则a)(x)(N(x)→(!y)(N(y)∧S(x,y)))或(x)(N(x)→(y)(N(y)∧S(x,y)∧┐(z)(┐E(y,z)∧N(z)∧S(x,z))))b)┐(x)(N(x)∧S(x,1))c)(x)(N(x)∧┐S(x,2)→(!y)(N(y)∧S(y,x)))或(x)(N(x)∧┐S(x,2)→(y)(N(y)∧S(y,x)∧┐(z)(┐E(y,z)∧N(z)∧S(z,x))))（6）解：设S(x):x是大学生。E(x):x是戴眼睛的。F(x):x是用功的。R(x,y):x在看y。G(y):y是大的。K(y):y是厚的。J(y):y是巨著。a:这本。b:那位。则有E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)（7）解：设P(x,y):x在y连续。Q(x,y):x>y。则P(f,a)((ε)(δ)(x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|x-a|)→Q(ε,|f(x)-f(a)|))))习题2-4(1)解：a)x是约束变元，y是自由变元。b)x是约束变元，P(x)∧Q(x)中的x受全称量词的约束，S(x)中的x受存在量词的约束。c)x，y都是约束变元,P(x)中的x受的约束，R(x)中的x受的约束。d)x，y是约束变元，z是自由变元。(2)解：a)P(a)∧P(b)∧P(c)b)R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c)c)(P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c)d)(┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c))e)(R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c))(3)解：a)(x)(P(x)∨Q(x))(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))，但P(1)为T，Q(1)为F，P(2)为F，Q(2)为T,所以(x)(P(x)∨Q(x))(T∨F)∧(F∨T)T。b)(x)(P→Q(x))∨R(a)((P→Q(2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a)因为P为T，Q(2)为T，Q(3)为T，Q(6)为F，R(5)为F，所以(x)(P→Q(x))∨R(a)((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨FF(4)解：a)(u)(v)(P(u，z)→Q(v))S(x，y)b)(u)(P(u)→(R(u)∨Q(u))∧(v)R(v))→(z)S(x,z)(5)解：a)((y)A(u，y)→(x)B(x，v))∧(x)(z)C(x，t，z)b)((y)P(u，y)∧(z)Q(u，z))∨(x)R(x，t)习题2-5（1）解：a)P(a,f(a))∧P(b,f(b))P(1,f(1))∧P(2,f(2))P(1,2)∧P(2,1)T∧FFb)(x)(y)P(y,x)(x)(P(1,x)∨P(2,x))(P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))(T∨F)∧(T∨F)Tc)(x)(y)(P(x,y)→P(f(x),f(y)))(x)((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2)→P(f(x)f(2))))(P(1,1)→P(f(1),f(1)))∧(P(1,2)→P(f(1),f(2)))∧(P(2,1)→P(f(2),f(1)))∧(P(2,2)→P(f(2),f(2)))(P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1))(T→F∧(T→F)∧(F→T)∧(F→T)F∧F∧T∧TF（2）解：a)(x)(P(x)→Q(f(x),a))(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))(F→Q(2,1))∧(T→Q(1,1))(F→F)∧(T→T)Tb)(x)(P(f(x))∧Q(x,f(a))(P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1))(T∧T)∨(F∧F)Tc)(x)(P(x)∧Q(x,a))(P(1)∧Q(1,a))∨(P(2)∧Q(2,a))(P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1))(F∧T)∨(T∧F)Fd)(x)(y)(P(x)∧Q(x,y))(x)(P(x)∧(y)Q(x,y))(x)(P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2)))(P(1)∧(Q(1,1)∨Q(1,2)))∧(P(2)∧(Q(2,1)∨Q(2,2)))(F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F))F(3)举例说明下列各蕴含式。a)((x)(P(x)∧Q(a))(x)P(x)Q(a)b)(x)(P(x)Q(x)),(x)Q(x)P(a)c)(x)(P(x)Q(x)),(x)(Q(x)R(x))(x)(P(x)R(x))d)(x)(P(x)Q(x)),(x)P(x)(x)Q(x)e)(x)(P(x)Q(x)),(x)P(x)(x)Q(x)解：a）因为((x)(P(x)∧Q(a))(x)P(x)∨Q(a)故原式为(x)P(x)∨Q(a)(x)P(x)Q(a)设P（x）：x是大学生。Q（x）：x是运动员前提或者不存在x，x是大学生，或者a是运动员结论如果存在x是大学生，则必有a是运动员。b)设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大学生。a：论域中的某人。前提：对论域中所有x，如果x不是研究生则x是大学生。对论域中所有x，x不是大学生。结论：对论域中所有x都是研究生。故，对论域中某个a，必有结论a是研究生，即P（a）成立。c）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾读过大学。R（x）：x曾读过中学。前提对所有x，如果x是研究生，则x曾读过大学。对所有x，如果x曾读过大学，则x曾读过中学。结论：对所有x，如果x是研究生，则x曾读过中学。d）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。前提对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。对所有x，x不是研究生结论必存在x，x是运动员。e）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。前提对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。对所有x，x不是研究生结论对所有x，x是运动员。（4）证明：(x)(A(x)→B(x))(x)(┐A(x)∨B(x))(x)┐A(x)∨(x)B(x)┐(x)A(x)∨(x)B(x)(x)A(x)→(x)B(x)（5）设论域D={a，b，c}，求证(x)A(x)∨(x)B(x)(x)(A(x)∨B(x))证明：因为论域D={a，b，c}，所以(x)A(x)∨(x)B(x)(A(a)∧A(b)∧A(c))∨(B(a)∧B(b)∧B(c))(A(a)∨B(a))∧(A(a)∨B(b))∧(A(a)∨B(c))∧(A(b)∨B(a))∧(A(b)∨B(b))∧(A(b)∨B(c))∧(A(c)∨B(a))∧(A(c)∨B(b))∧(A(c)∨B(c))(A(a)∨B(a))∧(A(b)∨B(b))∧(A(c)∨B(c))(x)(A(x)∨B(x))所以(x)A(x)∨(x)B(x)(x)(A(x)∨B(x))（6）解：推证不正确，因为┐(x)(A(x)∧┐B(x))┐((x)A(x)∧(x)┐B(x))（7）求证(x)(y)(P(x)→Q(y))(x)P(x)→(y)Q(y)证明：(x)(y)(P(x)→Q(y))(x)(y)(┐P(x)∨Q(y))(x)┐P(x)∨(y)Q(y)┐(x)P(x)∨(y)Q(y)(x)P(x)→(y)Q(y)习题2-6（1）解：a)(x)(P(x)→(y)Q(x,y))(x)(┐P(x)∨(y)Q(x,y))(x)(y)(┐P(x)∨Q(x,y))b)(x)(┐((y)P(x,y))→((z)Q(z)→R(x)))(x)((y)P(x,y)∨((z)Q(z)→R(x)))(x)((y)P(x,y)∨(┐(z)Q(z)∨R(x)))(x)((y)P(x,y)∨((z)┐Q(z)∨R(x)))(x)(y)(z)(P(x,y)∨┐Q(z)∨R(x))c)(x)(y)(((zP(x,y,z)∧(u)Q(x,u))→(v)Q(y,v))(x)(y)(┐((z)P(x,y,z)∧(u)Q(x,u))∨(v)Q(y,v))(x)(y)((z)┐P(x,y,z)∨(u)┐Q(x,u)∨(v)Q(y,v))(x)(y)((z)┐P(x,y,z)∨(u)┐Q(x,u)∨(v)Q(y,v))(x)(y)(z)(u)(v)(┐P(x,y,z)∨┐Q(x,u)∨Q(y,v))（2）解：a)((x)P(x)∨(x)Q(x))→(x)(P(x)∨Q(x))┐((x)P(x)∨(x)Q(x))∨(x)(P(x)∨Q(x))┐(x)(P(x)∨Q(x))∨(x)(P(x)∨Q(x))Tb)(x)(P(x)→(y)((z)Q(x,y)→┐(z)R(y,x)))(x)(┐P(x)∨(y)(Q(x,y)→┐R(y,x)))(x)(y)(┐P(x)∨┐Q(x,y)∨┐R(y,x))前束合取范式(x)(y)((P(x)∧Q(x,y)∧R(y,x))∨(P(x)∧Q(x,y)∧┐R(y,x))∨(P(x)∧┐Q(x,y)∧R(y,x))∨(┐P(x)∧Q(x,y)∧R(y,x))∨(┐P(x)∧┐Q(x,y)∧R(y,x))∨((P(x)∧┐Q(x,y)∧┐R(y,x))∨(┐P(x)∧Q(x,y)∧┐R(y,x)))前束析取范式c)(x)P(x)→(x)((z)Q(x,z)∨(z)R(x,y,z))┐(x)P(x)∨(x)((z)Q(x,z)∨(z)R(x,y,z))(x)┐P(x)∨(x)((z)Q(x,z)∨(u)R(x,y,u))(x)(┐P(x)∨(z)Q(x,z)∨(u)R(x,y,u))(x)(z)(u)(┐P(x)∨Q(x,z)∨R(x,y,u))前束合取范式(x)(z)(u)((P(x)∧Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(P(x)∧Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(P(x)∧┐Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(P(x)∧┐Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(┐P(x)∧Q(x,z)∧┐R(x,y,u))∨(┐P(x)∧┐Q(x,z)∧R(x,y,u))∨(┐P(x)∧┐Q(x,z)∧┐R(x,y,u)))前束析取范式d)(x)(P(x)→Q(x,y))→((y)P(y)∧(z)Q(y,z))┐(x)(┐P(x)∨Q(x,y))∨((y)P(y)∧(z)Q(y,z))(x)(P(x)∧┐Q(x,y))∨((u)P(u)∧(z)Q(y,z))(x)(u)(z)((P(x)∧┐Q(x,y))∨(P(u)∧Q(y,z)))前束析取范式(x)(u)(z)((P(x)∨P(u))∧(P(x)∨Q(y,z))∧(┐Q(x,y)∨P(u))∧(┐Q(x,y)∨Q(y,z)))前束合取范式习题2-7(1)证明：(2)a)①(x)(┐A(x)→B(x))P②┐A(u)→B(u)US①③(x)┐B(x)P④┐B(u)US③⑤A(u)∨B(u)T②E⑥A(u)T④⑤I⑦(x)A(x)EG⑥b)①┐(x)(A(x)→B(x))P（附加前提）②(x)┐(A(x)→B(x))T①E③┐(A(c)→B(c))ES②④A(c)T③I⑤┐B(c)T③I⑥(x)A(x)EG④⑦(x)A(x)→(x)B(x)P⑧(x)B(x)T⑥⑦I⑨B(c)US⑧⑩B(c)∧┐B(c)T⑤⑨矛盾c）①(x)(A(x)→B(x))P②A(u)→B(u)US①③(x)(C(x)→┐B(x))P④C(u)→┐B(u)US③⑤┐B(u)→┐A(u)T②E⑥C(u)→┐A(u)T④⑤I⑦(x)(C(x)→┐A(x))UG⑥d)(x)(A(x)∨B(x)),(x)(B(x)→┐C(x)),(x)C(x)(x)A(x)①(x)(B(x)→┐C(x))P②B(u)→┐C(u)US①③(x)C(x)P④C(u)US③⑤┐B(u)T②④I⑥(x)(A(x)∨B(x))P⑦A(u)∨B(u)US⑧A(u)T⑤⑦I⑨(x)A(x)UG⑧(2)证明：a)①(x)P(x)P（附加前提）②P(u)US①③(x)(P(x)→Q(x))P④P(u)→Q(u)US③⑤Q(u)T②④I⑥(x)Q(x)UG⑤⑦(x)P(x)→(x)Q(x)CPb)因为(x)P(x)∨(x)Q(x)┐(x)P(x)→(x)Q(x)故本题就是推证(x)(P(x)∨Q(x))┐(x)P(x)→(x)Q(x)①┐(x)P(x)P（附加前提）②(x)┐P(x)T①E③┐P(c)ES②④(x)(P(x)∨Q(x))P⑤P(c)∨Q(c)ES④⑥Q(c)T③⑤I⑦(x)Q(x)EG⑥⑧┐(x)P(x)→(x)Q(x)CP(3)解：a)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。I（x）：x是整数。本题符号化为：(x)(Q(x)→R(x))∧(x)(Q(x)∧I(x))(x)(R(x)∧I(x))①(x)(Q(x)∧I(x))P②Q(c)∧I(c)ES①③(x)(Q(x)→R(x))P④Q(c)→R(c)US③⑤Q(c)T②I⑥R(c)T④⑤I⑦I(c)T②I⑧R(c)∧I(c)T⑥⑦I⑨(x)(R(x)∧I(x))EG⑧b)设P（x）：x喜欢步行。Q（x）：x喜欢乘汽车。R（x）：x喜欢骑自行车本题符号化为：(x)(P(x)→┐Q(x)),(x)(Q(x)∨R(x)),(x)┐R(x)(x)┐P(x)①(x)┐R(x)P②┐R(c)ES①③(x)(Q(x)∨R(x))P④Q(c)∨R(c)US③⑤Q(c)T②④I⑥(x)(P(x)→┐Q(x))P⑦P(c)→┐Q(c)US⑥⑧┐P(c)T⑤⑦I⑨(x)┐P(x)EG⑧c)每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有的大学生是优等生，小张不是理工科学生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科学生。设G（x）：x是大学生。L（x）：x是文科学生。P（x）：x是理工科学生。S（x）：x是优秀生。c：小张。本题