二次函数知识点总结

百度文库-让每个人平等地提升自我PAGE\*MERGEFORMAT#二次函数知识点一、二次函数概念：.二次函数的概念：一般地，形如yax，bxc（a,b,c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数yaxbxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.\二、二次函数的基本形式2一二次函数基本形式：yax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0,0y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0.a0问卜0,0y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0.2yaxc的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0\向上0,cy轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c.a0问卜0,cy轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c.2yaxh的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴/性质a0向上h,0X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0.a0问卜h,0X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0.百度文库-让每个人平等地提升自我PAGE\*MERGEFORMAT#2ryaxhk的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴\性质a0向上h,k/X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有取小值k.a0何卜//h,kX=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k.三、二次函数图象少移1.平移步骤：k,确定其顶点坐标h,k；k处，具体平移方法如下:方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h_2y=ax2向右（h>0）［或左（h<0）】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下（k<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或下（k<0）I平移|k|个单位向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|个单位Ay=ax2+k向右（h>0）【或左（h<0）】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k2.平移规律在原有函数的基础上’h值正右移，负左移;k值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”\方法二：yax2bxc沿y轴平移：向上（下）平移m个单位,ax2bxc变成ax2bxcm(或yax2bxcm)yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位,ax2bxc变成a(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c)从解析式上看,者，即yaxb2a五、二次函数2yax2yax2四、二次函数yaxhbx2axc的比较bxc是两种不同的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达形式，后者通过配方可以得到前修，其中hbxc图象的画法b2a4acb24a百度文库-让每个人平等地提升自我PAGE\*MERGEFORMAT#五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya（xh）2k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点x1,0,x2,0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.\画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数yax2bxc的性质21.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为bb4acb一,顶点坐标为'一，2a2a4ax产旦时，y随x的增大而减小；当2a-b■时，y随x的增大而增大；当2ax时，y有最小2a值4acb24a2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为—,顶点坐标为2ab4acb22a4a■b■时，y随2ax的增大而增大；当x旦时，y随x的增大而减小；当x2a七、二次函数解析式的表示方法--时，y有最大值2a24acb4a.一般式:.顶点式:.两根式:2axa(xa(xbxch)2k(a,b,(a,hxi)(xx2)(ac为常数，a0）；k为常数，a0）；0,xi,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,八、1.有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.1次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0.⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.⑴在a0的前提下，当b0时，—0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;2a当b0时，-b-0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，—0,即抛物线对称轴在/y轴的右侧.2a⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即百度文库-让每个人平等地提升自我PAGE\*MERGEFORMAT#0时,b2a0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;当b0时，_b_0,即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，_b_0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.bab的符号的判定：对称轴x——在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概括的说就是2a“左同右异”总结：TOC\o"1-5"\h\z3.常数项c\⑴丁当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；/⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;/⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.\总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.\二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称\二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达.关于x轴对称\22yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是.关于y轴对称22yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是.关于原点对称TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark48"\o"CurrentDocument"22yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是yaxbxc；HYPERLINK\l"bookmark59"\o"CurrentDocument"22yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxh.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180。）2口2b2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxc一；2a百度文库-让每个人平等地提升自我PAGE\*MERGEFORMAT#22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk.5.关于点m,n对称二八\22yaxhk关于点m,n对称后，得到白解析式是yaxh2m2nk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：.二次函数与一元二次方程白^关系（二次函数与x轴交点情况）：\一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：\①当b24ac0时，图象与x轴交于两点AX,0,Bx2,0（xix?）,其中的x1，x?是一元二次方程ax2bxc0a0的两根.这两点间的距离ABx⑷।a②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0..抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）;.二次函数常用解题方法总结：TOC\o"1-5"\h\z⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；//⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；/⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标^0抛物线与x轴有两个交点二次二项式的值可止、可零、可负一兀二次方程有两个/、相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根.百度文库-让每个人平等地提升自我次方程之间的内在联系y=2xy=2(x-4)66y=-2x2x2y=2y=2x2y=2x2+2y=x2y=-x2y=2x2y=2x2y=2(x-4)2x2y=-2交占八、、百度文库-让每个人平等地提升自我PAGE\*MERGEFORMAT#卜一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型.考查二次函数的定义、性质，有关 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 常出现在选择题中，如：22已知以x为自变重的一次函数y(m2)xmm2的图像经过原点，则m的值是.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是(.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如:百度文库-让每个人平等地提升自我PAGE\*MERGEFORMAT#5已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点，对称轴为x―,求这条抛物线的解析式。3.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark64"\o"CurrentDocument"23已知抛物线yaxbxc(aw0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是一~2(1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标^5.考查代数与几何的综合能力常见的作为专项压轴题。\【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1(1)二次函数yax2bxc的图像如图1,则点M(b,-)在()aA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象如图2所示，？则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0;④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系，是解决问题的关键.例2,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(Xi,0),且1Q③4a+cO,其中正确结论的个数为()A1个B.2个C.3个D.4个 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线TOC\o"1-5"\h\zx=2,则抛物线的顶点坐标为()/A(2,-3)'、B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)/答案：C\//例4、(2006年烟台市)如图(单位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2,时，y分别是多少？(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=—x2+x--.\22(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10)，交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点(x1x2),百度文库-让每个人平等地提升自我PAGE\*MERGEFORMAT#交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OBM使锐角/MCO>kCO若存在，请你求出(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.⑴解：如图二•抛物线交x轴于点A(xi,0),B(x2,O)贝Uxi-X2=3<0,又O,xiACOi2,,，一一，例7、已知函数y—x2bxc的图象经过点A(c,—2),II2段被墨水污染了无法辨认的文字。求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是(i)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程,并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第(i)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A(c,—2)”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(D小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。［解答］(i)根据bxC的图象经过点A(c,-2),图象的对称轴是x=3i2—c2得bbcc2,b解得c3,2.F所以所求二次函数解析式为k23x22.图象如图所示。(2)在解析式中令y=0,/日i得一2x23x20,解得xi3J5,x23V5.所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+J5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(35,0).百度文库-让每个人平等地提升自我PAGE\*MERGEFORMAT#令X=3代入解析式，得y二2一一一5所以抛物线y-X23x2的顶点坐标为（3,-）,22所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3,5）等等。\2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDMt最大面积.【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）？与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）152030…y（件）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数.（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；\（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？？此时每日销售利润是多少元？15kb25.【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b.则,解得k=-1,b=40,?即一次函数表达2kb20式为y=-x+40.（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225.产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，？“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.例3.你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.立的平面直角坐标系如右图所示）（）A.1.5mB,1.625mC.1.66mD.1.67m分析：本题考查二次函数的应用答案：B1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为（建