直线和圆锥曲线相交，和中点弦有关的三类问
题
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经常出现。（1）已知中点坐标求弦所在直线方程（2）已知直线方程，求弦中点的坐标（3）求过定点的弦的中点的轨迹方程作者：东阿实验
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程浩过定点的直线和圆锥曲线相交，相交弦的中点的轨迹方程也是圆锥曲线。如果此定点也是中点，那么可以直接写出中点弦所在的直线方程。过椭圆x2a2+y2b2=1内一定点(x0,y0)的弦的中点的轨迹方程公式是𝐱(𝐱−𝐱𝟎)𝐚𝟐+𝐲(𝐲−𝐲𝟎)𝐛𝟐=0也是一个椭圆，椭圆中心是(x0/2,y0/2)。如果此定点(x0,y0)正好也是中点，那么中点弦所在的直线方程为𝐱𝟎(𝐱−𝐱𝟎)𝐚𝟐+𝐲𝟎(𝐲−𝐲𝟎)𝐛𝟐=0例子1：如果椭圆x236+y29=1的弦AB被点M(4,2)平分，求弦AB所在的直线方程4(x−4)36+2(y−2)9=0化简后为x+2y-8=0中点弦所在的直线方程的斜率k为−𝐛𝟐𝐱𝐚𝟐𝐲=(𝐲−𝐲𝟎)(𝐱−𝐱𝟎)=k下面看已知直线方程y=kx+m和椭圆方程如何求中点坐标−𝐛𝟐𝐱𝐚𝟐𝐤=y=kx+m(𝐤+𝐛𝟐𝐚𝟐𝐤)𝐱=−𝐦(𝐚𝟐𝐤𝟐+𝐛𝟐𝐚𝟐𝐤)𝐱=−𝐦𝐱=−𝐦𝐚𝟐𝐤𝟐+𝐛𝟐𝐚𝟐𝐤=−𝐚𝟐𝐤𝐦𝐚𝟐𝐤𝟐+𝐛𝟐=−𝐤𝐦𝐤𝟐+𝐛𝟐𝐚𝟐𝐱=−𝐤𝐦𝐤𝟐+𝐛𝟐𝐚𝟐双曲线是𝐱=−𝐤𝐦𝐤𝟐−𝐛𝟐𝐚𝟐例子，直线y=x+1被椭圆𝐱𝟐+𝟐𝐲𝟐=𝟒所截的弦的中点坐标是________解答：椭圆𝐱𝟐+𝟐𝐲𝟐=𝟒，x24+y22=1x==−𝐤𝐦𝐤𝟐+𝐛𝟐𝐚𝟐=−𝟏∗𝟏𝟏𝟐+𝟐𝟒=−𝟐𝟑，y=x+1=𝟏𝟑，所以中点坐标是(−𝟐𝟑，𝟏𝟑)例子，过椭圆x29+y24=1内一点M（2,0），引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是________。解答：x(x−2)9+y(y−0)4=0，化简后得(x−1)2+y249=1下面看双曲线的情况过双曲线x2a2-y2b2=1内一定点(x0,y0)的弦的中点的轨迹方程公式是x(x−x0)a2-y(y−y0)b2=0也是一个双曲线，双曲线中心是(x0/2,y0/2)。中点弦所在的直线方程x0(x−x0)a2-y0(y−y0)b2=0一双曲线方程为x2-y22=1，求以(2,1)为中点的弦所在直线的方程。2(x−2)-1∗(y−1)2=04(x-2)-(y-1)=0既是4x-y-7=0下面看抛物线的情况过抛物线y2=2px内一定点(x0,y0)的弦的中点的轨迹方程公式是y(y-𝐲𝟎)=p(x-𝐱𝟎)如果此定点又是中点，则中点弦所在的直线方程是𝐲𝟎(y-𝐲𝟎)=p(x-𝐱𝟎)例子，求以（1，-1）为中点的抛物线y²＝8x的弦所在的直线方程(−𝟏)∗[y−(−𝟏)]=4(x-𝟏)，化简后得4x+y-3=0例子，求直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的弦的中点坐标。𝐲−𝐲𝟎𝐱−𝐱𝟎=py=k𝐲=𝐩𝐤𝐲=𝐩𝐤=𝟐𝟏=𝟐所以y=2，x=y+1=3公式总结如下：左边是轨迹方程，右边是直线方程𝐱(𝐱−𝐱𝟎)𝐚𝟐+𝐲(𝐲−𝐲𝟎)𝐛𝟐=0𝐱𝟎(𝐱−𝐱𝟎)𝐚𝟐+𝐲𝟎(𝐲−𝐲𝟎)𝐛𝟐=0𝐱(𝐱−𝐱𝟎)𝐚𝟐-𝐲(𝐲−𝐲𝟎)𝐛𝟐=0𝐱𝟎(𝐱−𝐱𝟎)𝐚𝟐-𝐲𝟎(𝐲−𝐲𝟎)𝐛𝟐=0y(y-𝐲𝟎)=p(x-𝐱𝟎)𝐲𝟎(y-𝐲𝟎)=p(x-𝐱𝟎)椭圆中点横坐标𝐱=−𝐤𝐦𝐤𝟐+𝐛𝟐𝐚𝟐双曲线中点横坐标𝐱=−𝐤𝐦𝐤𝟐−𝐛𝟐𝐚𝟐抛物线坐标𝐲=𝐩𝐤
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