高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

等差数列与等比数列综合题例已知等差数列满足：，，的前n项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。例设为数列的前项和，，，其中是常数．（I）求及；（II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．解（Ⅰ）当，（）经验，（）式成立，（Ⅱ）成等比数列，，即，整理得：，对任意的成立，例等比数列{}的前n项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求解：（Ⅰ）依题意有由于，故又，从而5分（Ⅱ）由已知可得故从而10分例已知数列满足，.令， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：是等比数列；(Ⅱ)求的通项公式。（1）证当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。（2）解由（1）知当时，当时，。所以。例设数列的前项和为，已知（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求的通项公式解由题意知，且两式相减得即①（Ⅰ）当时，由①知于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即当时，由由①得因此得例在数列中，,（I）设，求数列的通项公式;（II）求数列的前项和解：（I）由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得=例已知数列的前项和为，，且（为正整数）（Ⅰ）求出数列的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.解：（Ⅰ），①当时，.②由①-②，得..又，，解得.数列是首项为1，公比为的等比数列.（为正整数）（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意可知，对于任意的正整数，恒有，.数列单调递增，当时，数列中的最小项为，必有，即实数的最大值为1例各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有；⑴求常数的值；⑵求数列的通项公式；⑶记，求数列的前项和。解：（1）由及，得：（2）由①得②由②—①，得即：由于数列各项均为正数，即数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是（3）由，得：例在数列（1）（2）设（3）求数列解（1）（2）对于任意=，数列是首项为，公差为1的等差数列.（3）由（2）得，，即设则两式相减得，整理得，从而例已知数列的首项，前n项和.（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）记，为的前n项和，求的值.解：（1）由①，得②，②-①得：.（2）由求得.∴，∴.例等比数列{}的前n项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求解：（Ⅰ）依题意有由于，故又，从而（Ⅱ）由已知可得故从而例已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.（1）求q的值；（2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由.解：（1）依题意，得2am+2=am+1+am∴2a1qm+1=a1qm+a1qm–1在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，∴2q2=q+1，解得q=1或.（2）若q=1，Sm+Sm+1=ma1+(m+1)a1=(2m+1)a1，Sm+2=(m+2)a1∵a1≠0，∴2Sm+2≠Sm+Sm+1若q=，Sm+1=Sm+Sm+1==∴2Sm+2=Sm+Sm+1故当q=1时，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列；当q=时，Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.例6已知数列中，，且对时有．（Ⅰ）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前n项和（Ⅰ）证明：由条件，得，则．即，所以，．所以是首项为2，公比为2的等比数列．，所以．两边同除以，可得．于是为以首项，－为公差的等差数列．所以．（Ⅱ），令，则．而．∴．，∴．令Tn＝，①则2Tn＝．②①－②，得Tn＝，Tn＝．∴．例7已知数列满足，且当，时，有(1)求证：数列为等差数列；(2)试问是否为数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由.证明：（1）由得即上式两边同时除以得又，是首项为5，公差为4的等差数列（2）又（1）知，即，令，解得所以是数列的第11项例8设数列满足且（Ⅰ）求的值，使得数列为等比数列；（Ⅱ）求数列和的通项公式；（Ⅲ）令数列和的前项和分别为和，求极限的值．（Ⅰ）令，其中为常数，若为等比数列，则存在使得．又．所以．由此得由及已知递推式可求得，把它们代入上式后得方程组消去解得．下面验证当时，数列为等比数列．，，从而是公比为的等比数列．同理可知是公比为的等比数列，于是为所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得，，解得，．（Ⅲ）令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为；令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为．由第（Ⅱ）问得，．．由于数列的公比，则．，由于，则，于是，所以例9数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有2；(Ⅲ)正数数列中，.求数列中的最大项.（Ⅰ）解：由已知：对于，总有①成立∴（n≥2）②①--②得∴∵均为正数，∴（n≥2）∴数列是公差为1的等差数列又n=1时，，解得=1∴.()（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.∴(Ⅲ)解：由已知，易得　猜想n≥2时，是递减数列.令∵当∴在内为单调递减函数.由.∴n≥2时,是递减数列.即是递减数列.又,∴数列中的最大项为.例10设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。解：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2)（方法一）=,设，则=,所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。例12数列HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT中，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT（HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT是常数，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT），且HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT成公比不为HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的等比数列。（I）求HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的值；（II）求HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的通项公式。解：（=1\*ROMANI）HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，因为HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT成等比数列，所以HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，解得HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT或HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT．当HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT时，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，不符合题意舍去，故HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT．（=2\*ROMANII）当HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT时，由于HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，所以HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT。又HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，故HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT．当n=1时，上式也成立，所以HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT例13已知数列HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的前HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT项和为HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，对一切正整数HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，点HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT都在函数HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的图像上，且过点HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的切线的斜率为HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT．（1）求数列HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的通项公式．（2）若HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，求数列HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的前HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT项和HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT．（3）设HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，等差数列HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的任一项HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，其中HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT是HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT中的最小数，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，求HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的通项公式.解：（1）HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT点HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT都在函数HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的图像上，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT,当HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT时，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT当ｎ＝1时，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT满足上式，所以数列HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的通项公式为HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT（2）由HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT求导可得HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT过点HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的切线的斜率为HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT.HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT.HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT①由①×4，得HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT②①-②得：HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT（3）HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT,HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT.又HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，其中HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT是HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT中的最小数，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT.HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT是公差是4的倍数，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT.又HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT,解得ｍ＝27.所以HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，设等差数列的公差为HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，则HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，所以HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的通项公式为HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT例14已知HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT是数列HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的前HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT项和，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，且HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，其中HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT.(1)求数列HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的通项公式HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT；(2)求HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT.解：①HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT　　　　　HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT又HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT也满足上式，HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT（HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT）HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT数列HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT是公比为2，首项为HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT的等比数列HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT②HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMATHYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT②HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT　HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT　HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT　HYPERLINK"http://www.7caiedu.cn/"SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT