相似三角形题型归纳总结非常全面

4相似三角形题型归纳一、比例的性质:比例的性质示例剖析(1)基本性质：—=—<=>-=-ω∕xz∕≠0)baaCXy23T=亍O(Xy≠0)23Xy(3)更比性质：f=l7θ巴或bdCa—=—(abed≠0)ba扌諾O亠彳或2諾5Ho）23>3x2(4)合比性质：-=-<≠>^-=——(W≠0)hdbdA2x÷y2+3Z…_。_(v≠0)y3y3(5)分比性质：a-c(hd≠0)bdbdy_3oy—x_3—2(20)X2X2⑹合分比性质：；=o"+Hbda-bc_d(bd≠0.a≠b,c≠d)X2x+y2+3ZC一=Fo—(y≠O,x≠y)y3X-y2-3(7)等比性质：aCmZrfc、—=—=・・・=—(b+d+∙+"h0)bdHa+c+--+mClnl.IAXzz>=——(Z?+d+•・・+/Z≠0)∕?+J+・・・+打b234已知-=-=->则当χ+y+zHθ时，XyZ2_3_4_2+3+4XyZx+y+zβ二、成比例线段的概念：比例的项：在比例式CΓ.b=C∖d（即纟=上）中，6d称为比例外项，b,C称为比例内项.特别地，hCl在比例式a∖b=b.c（即上=?）中，b称为a,c的比例中项，满足b2=ac・bC成比例线段：四条线段6b,Gd中，如果Q和b的比等于C和d的比，即-=那么这四条线bd段α,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.黄金分割：如图，若线段M上一点C,把线段M分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是和BC的比例中项（即AC2=ABBC）,则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段A3的黄金分割点，其中AC=^IΛB≈Q.61SΛB,BC=^^AB≈03S2AB,AC⅛AB22的比叫做黄金比.（注意：对于线段A3而言，黄金分割点有两个.）•••ACB三.平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截•所得的对应线段成比例.简称为平行线分线段成比例立AB^DEac"dfBC_EF如AFBEACASAE_AFAE_AF莎一TEAB"AC—=SΔEFT∕BCF'FΛABC^AA,BfCfZB=Z趴ZC=ZCrZA=ZAf9ΛABC^AA,BfC,AB_BC_ACA7F=BV=A7C7δA'【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如&B）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为二=二，7l=tlγr全全2.平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如AEAFAEEF=ΔABCΛAfB,CfAM、AHADAABCBCAMfA!H,AfD,∆A,BfCBtCAB_BC_ACAM_AH_ADA7B7=B7C7=AV==AfMr=A7T=A^ΛABCΛAfBfCABBCACAB+BC+ACIA7S7"B7C7"A7F"ArBt+BrCf+AfC"EBFcABΛ△BCB'C9>ZA=ZAfZB=ZB9∕∖ABCSMBCA'B'B'CA∙cABC^BCABACA,B,A,C'ZA-ZAΛABC^>∆A,B,C,ΔDE//BCOHADESAABCOAD-AE-DEABACBCABΛAB〃CDθ∕∖AOBsHCODO竺=竺=竺CDOCODDG_AN∕∖ABCAADGS^ABCBC=AMZBAC=90°∆ADG^>ΛEBD^AFGC^ΔABCEMFCAEΛAAAZAED=ZBΛABC^>∕∖AEDAEAC=ADAB/CAE^AB~AD_ACDE~BCBAZACD=ZBΔABC^ΛACDdACADCDn/\AC2=ADAB\ABACBCz≥BCA/\ZAED=ZB^ABC^∕∖AED/\AEADDE\AEAC=ADAB、\厂ABACBCBLδ3/3/AB1.BDZxABCSMDEABDE=BCCDED丄BDAC丄ECAB_BC_ACCD=^DE=^CEBDAABCs*DESAACEEZABC=ZCDE=ZACEΔABCSzDEABDE=BCCDABBCACCD^^DE^CECBDΛABCs*DE^ΔACEλdACMBCSMDE&=忑CBDBC=CDABAC~BC^'CEΛBBCZABC=ZACEZ^ABC^AACEΔABCZBACABBDAC=CDAAABD^ACAD^ΔCBΛZB=ZCADZC=ZBADAB2=AD2+BD2AC2=AD2+CD2BC2==AB2+AC2CCE//ADBAECE//ADZI=ZEZ2=Z3ADZBACZ1=Z2AE=ACCE〃AD性=竺竺=竺DCAECDACCD条件变为比例形式:走W由于S论180。-45。MCQ△加.ΔABCABACABBDAC=CDΛFVEAW/nBMCBMCENBM.ENBMEF//BCEF//BC一NFMCNFMCUbC≠0a+bIx=kV==3kz=5k%+3y-zk+9k-5k5=——C-IbX一3y+Zk-9k-5k3H-2X:y=2:3x+y5y-X1X_1X+13y3y32y3y+ιx:y:z=1:3:5X+3y—zx-3y+z-=-=-λ^~^v+3γ=加=动=4cXyZ3x-yD2a-c+3eb+c-ac+a-bX1—≠—a+b—c(a+b)(b+c)(a+c)y]2b—d÷3∕abCabc4“_c_幺_2a+cK"7"7"3b+d2a—c+3e_22b-d+3f"3a+h+c≠Ob+c-ac+a-ba+h-c(b+c-U)+(c+a-b)+(a+h-c)====1abCa+h+c(a+h)(h+c)(a+C)=8UhCUbC==—丄AnDFUbC7〃IZ矿百Q〃BE〃CFAB=4b+c=2a,a+c=2b,u十b=2ca+h+c=O(U+b)(b+C)(U+C)(-c)・(一“)∙(-b)EF=DE=ADV∙.-=-^≡∖AD//IiEBCSMBE—-—I1//1.//Ii2221DE^EF121^//厂U・<*_Cf_C・AB_SHABE_'EiEDBQL//V/∙∙UABE=Z3∆DEB°ΔCω='ZEB∙∙Z=T=Td∆CBfc∙'厶旳Ar)7ΛG=0.6cmBG=1.2cmCn=I.5CmCH=ΔABC-=-AE=3BD3AC=AC=3BD=3CD=2CE=£5TZADC=90QAD//BCZDFC=ZAEBΛADF^ΛCAEAD=SDC=6AD〃BCZDAF=ZACEZDFC=ZAEBZDFA=ZAEC^ADF^ACAEAD=SDC=6AC=Io.123×6=—2AF=5ZSgE沁⅞=⅛CE弓BC弓ΛABCZxDEFZA=90o"=90。AC=5BC=13DF=IOEF=26ZC=85oZE=85。—=—AB=IAC=1.5BC=2EF=SDE=IOFD=∖6ZA=46o4=80。Z£=45。BCDFVAD=AC・•・ZFDC=ZACBYDE・••EB=ECZABC=ZFCD∙∙AABCsLCD(3)由等腰直角三角形得到心加MAC条件变为防—倍"巴题型一亀脳：字和“8”字模型例题1(1)如图4-1,已知口A3CD中，过点B的直线顺次与AC.AD及CD的延长线相交于点QF、G,若BE=5.EF=2,则FG的长为・解析:(2)如图4・2,已知在口ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P∙Q两点，∙∙∙ΔΛEFsMEB,AGFD^AGBC9.∖-=-=l9：.2L=AI)~AF=1CBEB5CBCB5•FGDF3,即FG3得FG=IO.5.BGCB5FG+75(2)!3由DC〃AB,得APPC：AM1==—9AB3AP==IAC,4同理2AQ=^AC,5PQ^ACΛAC^ACfQC=IAC,故AP:P2：eC=l：^：|=5：3：12巩固4(1)如图4」在ZXABC中，M、E把&C边三等分，MN∕∕EF∕∕BC.MN.EF把Z∖ABC分成三部分，则自上而下部分的面积比为.(2)如图42AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F,且AB=I,CD=3、则EF:CD的值为.(3)如图43已知在平行四边形ABCD中.M为的中点，DM,D3分别交&C于P,Q两点，则AP↑PQ∙.QC=图44图4・3解析：(!)1:3:5：(2)1:(3)∙.∙^=Cβ=lAC,AP=AM=£PCCD2^P=IACΛPρ=^l-l-l∣AC=iAC,.∖AP.PQ.QC=2Λ.3.题型三与内接矩形有关的相似问题例题2(2)如图5-1,∆ΛBC中，正方形MGH的两个顶点F、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC.AB上，BC=I5,BC边上的高AD=IO,求SiImGH.(2)如图5・2,已知ZVlBC中，四边形DFGF为正方形，D9F在线段AC,BC上，F,G在AB^如果S*,=Sδcdλ-=1,Sλbeg=3,求ZXABC的而积・ΛΛ解析：（1）设正方形EFGH的边长为x,AD.HG的交点为M,则^7TT=^77F,'~^∩~=⅛,解得，x=6,故SiiSiiEFCH=6:=36ADBC1015（2）设正方形边长为X,则AF=-,C∕=LBG=-・XXX2由Z∖CQEsAC4B,得—,•••才J=J,解得χ=2,CHAB2+a.8+χXXΛAB=6,CH=3、：.S^C=GABg巩固2：如图，已知AABC中.AC=3,BC=4,ZC=90°,四边形DEGF为正方形，其中D、E在边&C、3C上，F、G在AB上，求正方形的边长.AEC解析：法一：由勾股左理可求得AB=5，由ABCH=ACBC可得CH=2.4・由MDEsMAB可得令恰,设正方形的边长沙则汁弓产解得心善25法二：设CE=4R,贝HDE=5k,:∙GE=WBE=-k3y,即俯知4,解得"存—等题型四■"五“A字和“8”字模型的构造例题3如图，ZVlBC中，D为BC边的中点，延长4D至&延长AB交CE的延长线于P・若AD=IDE.求证：AP=3AB・解析：如图，过点D作PC的平行线，交AB于点H.•：HD〃PC、AAUAnAD=2DEd—=—=2nAH=2PH,PHDERHRDHD〃PC、BD=CD=——=——=IaBH=PH,PHCD:∙AP=AH+PH=3PH、AH=BH十AB=2PH=2BH,：.AB=BH=PH,:∙AP=3PH=3AB.还可用如下辅助线来证此题:巩固3：如图，已知线段AB∕∕CD.AD与BC相交于点K,E是线段力D上一动点.（1）若BK=^KC,求竺的值；2AB（2）连接BQ若肚平分ZABC.则当AE=AD时，猜想线段处、BC、CD三者之间有怎2样等量关系请写岀你的结论并予以证明.再探究：当AE=^AD（H>2）,而英余条件不变时,线段人&BC.CD三者之间又有怎样的等量关系请直接写出你的结论，不必证明.5CKO解析：(1)YBK=-KC,：.一又∖9CD∕∕AB,2BK5:∙HKC»£\KBA・ABBK5(2)当3F平分ZABC,AE=IAD时，AB=BC+CD↑2证明：取BD的中点为F,连接FF交BC于G点，由中位线左理，得F%4B〃C6∙∙∙G为BC的中点，ZGEB=ZEBA,又S",5SBG*KiJGF=-CD,EF=LABEF=EG+GF,即：-AB=-BC+^-CDI..AB=BCYD;22222当AE=-AD(n>2)^fBC+CD=(n-∖)AB・题型六斜“A”和斜“8”模型例题4r例题5如图，在AABC中，AD丄BC于D,C王丄AB于&Z∖ΛBC的而积是2∖BDE面积D的4倍，AC=6,求DE的长・解析：VAD丄BC,CE丄AB，ZABD=ZCBE,∙∙∙MBDsMBE,RFRCΛ-∈=--,VZEBD=ZCBa9AbBEDsHBCA,BDABDEAC"巩固4：（1）如图，ZXABC是等边三角形，点6E分别在BC,AC上，且BD=CE,AD与BF相交于点F.求证：①BD'=ADDF；②AFAD=AEAC：③BFBE=BDBC・⑵如图，四边形沁是菱形,杠丄AD交BD于E,交BC于F∙求证:ADWDE皿AZABC=ZACB=ZBAC=60d解析：（1）T等边ΔABC∙：•AB=BC，TBD=CE∙∙∙ΛABD^ABCE・.∖ZBAD=ZCBe9∙∙∙ZBFD=ZBAD+ZABE=ZCBE+ZABE=ZABCRDDF：.Z∖ABDsMFD:∙∙∙BD2=ADDF・ADBD=AC9证明ZMFESMCD即可.证明Z∖BFDSHBCE即可.（2）方法一：取DE中点M,连接&M,ITAF丄AD，M为DF中点：•MA=MD='DE,∙∙∙Z1=Z2,又T2Z2=Z3t∙Zl=Z3t9••♦:∙∕∖DAMs∕∖DBA,：.DAr=DMDB,：.AD2=-DEDB・2方法二：取BD中点N,连接AM由等腰三角形的性质可知：AN丄BD,又VZEAD=90%：.AAND^ΛEAD.：.AD2=DNDE,又VDN=-BD9：.AD2=-DEBD・22 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf :考査斜“A"和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A”和斜“8冷也要会找巩固5：在等边8BC中，点D为AC上一点,连结BD,直线/与AB,BD,BC分别相交于点E、P、F.且ZβPF=60°∙（1）如图8-2,写出图中所有与相似的三角形，并选择英中一对给予证明.（2）若直线/向右平移到图8-2、图8-3的位垃时（苴它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由.⑶探短如图8」当嘶足什么条件时（其它条件不变），PyM写出探究结果,并说明理由.（说明：结论中不得含有未标识的字母）解析：(I)∕∖BPFs∕∖EBF与厶BPFSHBC»以Z∖BPFs2VfBF为例，证明如卜:•:乙BPF=ZEBF=3、ZBFP=ZBFE,:仏BPFSHEBF・(2)均成立，均为厶BPFS厶EBF,厶BPFs∕∖BCD・(3)BD平分ZABC时，PF=-PE・2证明：VSD平分ZABC,∙∙∙ZABP=ZPBF=30∙/ZBPF=60>：•/BFP=90,/.PF=LPB、2又ABEF=60-30=30=ZABP,:∙BP=EP,ΛPF=-PE・2題型七射影定理例题6如图，已知AD、CF是AABC的两条髙，EF丄AC与E,交CB延长线于G,交AD于H,求证：EF2=EHEG・解析：VCF丄AB,EF丄AC9：.EF2=AECE,又由ADLBC可知，ZAEH=ZCEG=90。，ZEΛH=ZEGC,FHCA:∙MEHsMEC、ECEG巩固6：(1)如图9」，在ZXABC中，CQ丄AB于D,DElAC于E,DF丄BC于F.求：.EHEG=EAEC9：.EFl=EHEG・证：ACEF^ACBA.(2)如图92在RtZVlBC中，AD是斜边BC上的髙，DE丄AC于&DF丄AB于F,求.rAB4FB・FDuE：——=・AC4ECEDA解析：(1)分别在AADC与△(?£>B中由射影左理得到：CD2=CECA,CD==CFCB，CECF∙∙∙CECA=CFCB,即——，∖AECf=ABCA.J∙ΔECFSABC4・CBCA⑵由射眈理可以依次得到务=鹽升熬于是仅需证明AB_FD而由于Z∖BD4sZvqc,DF、DE分别是AB与AC上的髙，所以有AB_DF^AC=^DE得证.”九三垂直模型例题7如图，M为线段的中点，AE与BD交于点C,ZDME=ZA=ZB=a,且DM交AC于F,ME交BC于G.(I)求证：∆AMFsHBGM・(2)连接FG,如果a=45。，AB=4√Σ,AF=3,求FG的长.解析：(1)由题意得，^DME=ZA=ZB=at：.ZAMF+ZBMG=∖S0o-a.ZAMF+ZA∕⅞f=180o-α,：.ZBMG=ZAFM9又ZA=ZB=a»:∙HAMFs^bgM.(2)∙.∙AAMF^∕∖BGMtΛ-=->TM为的中点，ΛAM=BM=-AB.BGBM28•：AB=4∖∕2»ΛF=3♦Λ∙BG=；,4V«=45%ΛZACB=90o,AC=BC=4,ACF=AC-AF=I,CG=BC-BG=-,3.∙.FG=SlCF2+CG-=|.巩固7：(1)如图Io4,矩形ABCD中，由8个而积均为1的小正方形组成的(型 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如图放程，则矩形MCD的周长为•(2)如图10-2,在直角坐标系中，矩形MCo的边OA在X轴上，边OC在y轴上，点3的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折，使得B点落在D点的位置，且AD交y轴于点F,则D点坐标为・解析：(1)ΔABEs∕∖ECFs厶FDG,—=—=2,FDFG:∙AB=2DF,：.AB=ICF,—=—=—=1,ECEFCF：.AB=CE9BE=CF,：.CE=ICF.又V£F=4>ΛCE=-√5>CF=-√5>∙*∙BC=-√5AB=-√5>555V5•••矩形MCD的周长为8√J.（2）过D点做DF丄λ∙轴于F点，BC与FD的延长线交于G点CGGDCD\DF=ΛF=75=3设CG=X,贝IJDF=3x,AF=1+λ∙,GD=3—3小由于AF=3GD,列得方程：I+x=3(3-3x),4412解得A=-,故CG=-tDF=W■求得D点坐标为（-£，yj.巩固8：如图11-1,ZXABC和ZVMF是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90。,△D£F的顶点F与ZXABC的斜边BC的中点重合.将Z∖DEF绕点F旋转到如图11-2,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与线段CA的延长线相交于点Q.（1）求证：MPEsMEQ・解析：(1)9：AB//CD..ME_AM*£D"CD解析：(1)：AM=BM,：∆ABC和是两个全等的等腰直角三角形,ΛZβ=ZC=ZDEF=45o>∙∙∙ZBEP+ZCEQ=135。,ZC0E+ZCEQ=135。，：•ZBEP=ZCQE,XVZfi=ZC=45o,∙∙∙MPEsMEQ・RPRF连接PQ•••∕∖BPEsMEQ,/=—,CECQ•：BP=a,CQ=^a,BE=CE,：.BE=CE=-√2t∕>22/.BC=3∖∕2a♦:∙AB=AC=3cι>/.AQ=二“，PA=2a»2在R(∆AP0中，PQ=JAQ$+AP，=*.题型十三平行模型例题8（例题9已知：如图，在梯形ABCD中，AB∕∕CD,M是&3的中点，分别连接AC、BD.MD.MC,且&C与MD交于点E,D3与MC交于F.求证：EF//CD；若AB=a,CD=b,求EF的长..AM_BM*CD"CD(2)VAM//EF//CD9•丄=丄+丄•EFAMCDUb巩固9：如图所示，在ZVWC中，ZBAC=I20°,AD平分ABAC交BC于点D.求证:111ADABAC解析：分别过B、C两点做AD的平行线，分别交C&、BA的延长线于QF两点・ADBEFC由于£B〃AD〃FC,有—:由于ZEBA=ZEA£)=60。，ZEAB=I80o-ZBAC=60°所以为正三角形，同理AMC亦为正三角形.題型十一角平分线定理例题10在ZkABC中，Zfi的平分线交AC于D,ZC的平分线交AB于E,且BE=CD・求证：AB=AC・解乐由角平分线立理得到荒.疋就*图13-1图13-2TOC\o"1-5"\h\zAZ)AE/y<\即一=——，：.AD=AC-CD9AE=AB-BEZ≤-_AABACBC：.AC(AC一CD)=AB(AB一CD),整理得到(AC-AB)(AC+AB-CD)=O明显AC+AB—CDH0∙^AC=AB.巩固10：(1)如图13-1,在ZXABC中，ZC=90SC4=3,CB=4、且CD是ZC的平分线.则AD的长为•IDBC(2)如图13-2,/是ZXABC内角平分线的交点，川交对应边于D点，求证：^L=AIi+AC解析：(1)由角平分线处理兽=等=：,由于AB=JACrCB'=5,^AD=I-AB^DBBC477/八亠厶F八小宀A/ABAC亠亦,“工8丹A/AB+ACAB+AC(2)由角平分线足理得到矿而=而’由等比性质得到：矿而方巩固11：若AP=PB,ZAPB=2ZACB.AC与P3相交于点D,且P3=4,PD=3・求ADDC的值.PP解析：过P点做ZAPB的角平分线PF,交AD于E点.∙∙∙ZEPD=ZAPE=ZC,a"DE=ZCDB,：4PDEs/\CDB,：.EDDC=PDDB=3,PAAF47又由于PE是角平分线，∙∙∙*7;=忌，∙∙∙PA=PB=4,∙∙∙AE[ED∙∙∙∙AD=^ED,PDED337ΛADDC=-EDDC=7.3题型十二线束模型例题11•例题12如图，M.N为ZVlBC边3C上的两点，且满足BM=MN=NC,—条平行于AC的直线分别交AB.AM和&Λ/的延长线于点6E和F.求证：EF=3DE・法一：如卜•左图，过D作DG〃3C交AC于G,交AM、AN于P、Q9由线束定理可知DP=PQ=g・：DF〃心：签=詈吉,g=‰,AS=ΓAEF=≡∙过F点或F点作BC的平行线也可得到类似的证法.法二如下右图，过M作PQ〃DF,交&3于P,交AF延长线于Q则有AC//DF//PQ..PM_3M_1QM_MN*AC"BC"3,AC"A?C"*•PM1・•=—QM3由线束定理可知眾霧斗即EF=3DE・过B点或AZ点作DF的平行线也可得到类似的证法.巩固12：(1)如图15-1,AB//CD,AD与BC交于点P,过P点的直线与AB、CD分别交于&F.求证：AE_DFBE"CF(2)如图152AB∕∕CD.AD与BC交于点P,连接GUDB并延长相交于0,连接OP并延长交CD于M,求证：点M为CD的中点.（3）如图在图15∙2中，若点G从D点向左移动（不与C点重合），AG与BC交于点P,连OP并延长交CD于直接写出MC、MG.MD之间的关系式・图15-1解析：(1)证明：如图1,-AB∕∕CD.AD与3C交于点P,ΛAAEP^ADFP^HBFPSz:FP、.AE^EPBE_EP.AE_BE.AE_DFββB?"FP,CF"ΓP**βDΓ"CF*…亦一乔：证明：如图2,设OM交M于点N.•：ABIlCD、：•4AONSzOM、厶BONSaDOM、AAOB^ACOD,.・・竺=竺①,CMDM∕∖APBs∕∖dpc、・・・竺=型②,DMCM.OA_ANOB_BNOA_OB^oC^CM,od"dm,5c"od,TZVWPs&MP,ABNP^ACMPf.AN_APDN_BPAP_BPDM=DPCM=CP^DP=CP,①÷②•—=—,：.CM=DMf即点M为CD的中点；CMDM解：MC2=MG∙MD,理由如下：如图3,设OM交&3于点MMCMPNANP•：ABlICD、:∙∕∖MCPs∕∖NBP,/^IAP^ΔMGP,:①，一=一②,NBNPMGMPG、&、4HMCNA⑴X②，得——X——=NBMGMPNPI.MCNBNPMPMGNA_JUONS心OM、人…『.NAONNBONMCOMMDOM.NANB•=tJD=NB,JC/D,...曲=沁的•MCMDMCNAMGMC题型十三相似综合例题13如图，点力的坐标为（2,2）,点C是线段OA上的一个动点（不与0、人两点重合）,过点C作CD丄JV轴，垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交X轴的正半轴于点B,连接OF.若以B、E、F为顶点的三角形与FE相似.则点B的坐标解析：要使ZXBEF与△€>FE相似,I"EO=ZFEB=90。・•・只要鲁篇或券备即BEd或EB弓②当BE=2t时，BO=4ι9②当吩F时'2t2→.,O（舍公）或层,∙∙∙B(6.0)・⑴当B肛的左侧时，OB=OEy,7r=0（舍去）或心；，∙∙∙B（1,O）.⑹当〃在E的右侧时’OB=OE+EB=*,：.B(3.0)・巩固13：如图，RtΔABC中，ZACB=90°,CQ丄A3于D,过点D作QE丄BC,JiDE边DE上的中线BF延长线交AC于点G.（1）求证：ADBD=CECBt（2）若AG=FG,求BF.GF;（3）在（2）的条件下，若BC=6迈.求BD的长度.解析：(1)证明：VCP丄AB,：•/XBCD是直角三角形.VDE丄BC,ΛCD2=CECB・•••△ABC是直角三角形，CD丄AB.：.CDl=ADBD,：.ADBD=CECBX解：过G作GP丄DF交DF于P,连结DG,VAC丄BC,DE丄BC,GFIDE，∙'∙四边形CEPG是矩形，二CG=EP在RtZMDC中，TG是边AC中点，.∖AG=DG=CG.又VAG=FG.:∙DG=FG∖：.AGFD是等腰三角形.：.GP是FD的中线，DP=FP,即FP=-DF=-EF・22•：CG=EP,FP=IEF,∙∙∙PF:CG=I:3，ΛPF:FG=I:3・2JMFGsgFBSzGB,；∙CG・.BG=EF:BF=PF:GF=\:3,∙∙∙FG:BG=I:3,BF∙.GF=2∙X解：VBC=6√2.CE:BE=GF:BF=∖∙.2,ΛCE=2√2,BE=4迈.∙∙∙EF:BF=I:3,设EF=X,则BF=3x∙.∖x2÷(4√2)2=9x2,解得x=2.：•BF=6,GF=3,AC=6>ΛAB=√AC2+BC2=√62+(6√2)2=6√3,ΛBD=4√3.