方差的可加性的证明
1 � 的版本
设两组数据 X 和 Y 独立（相关为 0）：
* �X+Y = �X + �Y
* �2X =
�(X � �X)2
N
) �2X+Y =
�(X + Y � �X � �Y )2
N
=
�((X � �X)2 + (Y � �Y )2 + 2(X � �X)(Y � �Y ))
N
=
�(X � �X)2
N
+
�(Y � �Y )2
N
+
2�((X � �X)(Y � �Y ))
N
* r = 0
) �((X � �X)(Y � �Y ))
N
= r(�X � �Y ) = 0
) �2X+Y =
�(X � �X)2
N
+
�(Y � �Y )2
N
= �2X + �
2
Y
相减同理。
1
2 E 的版本
* �2X = E(X � �X)2
) �2X+Y = E((X + Y � �X � �Y )2)
= E(((X � �X) + (Y � �Y ))2)
= E((X � �X)2 + (Y � �Y )2 + 2(X � �X)(Y � �Y ))
= E(X � �X)2 + E(Y � �Y )2 + E(2(X � �X)(Y � �Y ))
* r = 0
) E(2(X � �X)(Y � �Y )) = 2r(�X � �Y )
= 0
) �2X+Y = E(X � �X)2 + E(Y � �Y )2
= �2X + �
2
Y
相减同理。
G.
2013 年 15 月
2
的版本
E的版本
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