数字信号处理---第七章__有限脉冲响应数字滤波器的设计

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.4利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点对于长度为N的h(n)，传输函数为式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意：这里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。　1．线性相位FIR数字滤波器第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计称两种情况为线性相位线性相位FIR滤波器是指θ(ω)是ω的线性函数，即　　严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位特性，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，第二类线性相位第一类线性相位1)第一类线性相位对h(n)的约束条件　第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数θ(ω)=-ωτ，由式（7.1.1）和（7.1.2）得到:　　2.线性相位FIR的时域约束条件第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计由式（7.1.5）得到:将（7.1.6）式中两式相除得到：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计简得到:函数h(n)sinω(n－τ)关于求和区间的中心(N－1)/2奇对称，是满足（7.1.7）式的一组解。因为sinω(n－τ)关于n=τ奇对称，如果取τ=(N－1)/2，则要求h(n)关于(N－1)/2偶对称，所以要求τ和h(n)满足如下条件:第一类线性相位特性：h(n)应当关于n=(N－1)/2点偶对称。当N确定时，FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，即θ(ω)=－ω(N－1)/2。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第二类线性相位FIR数字滤波器的相位:θ(ω)=-π/2-ωτ，类似推导可得到:　　2)第二类线性相位对h(n)的约束条件　函数h(n)cos［ω(n－τ)］关于求和区间的中心(N－1)/2奇对称，是满足式（7.1.9）的一组解，因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满足如下条件：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第二类线性相位特性：h(n)应当关于n=(N－1)/2点奇对称。　N为奇数和偶数时h(n)的对称情况分别如表7.1.1中情况3和情况4所示。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　2．线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点　FIR滤波器时域约束条件：h(n)=±h(N－n－1)为了推导方便，引入两个参数符号：情况1：h(n)=h(N－n－1),N为奇数　　将时域约束条件h(n)=h(N－n－1)和θ(ω)=－ωτ代入式（7.1.1）和（7.1.2），得到:第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　仿照情况1的推导方法得到:式中：　　　　　　　　　　　　　情况2：h(n)=h(N－n－1),N为偶数第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计★不适合高通，带阻滤波器第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　情况3：h(n)=－h(N－n－1)，N为奇数★不适合低通、高通，带阻滤波器第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　　用情况3的推导过程可以得到:　情况4：h(n)=－h(N－n－1)，N为偶数　　式中，N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0,2π时，sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－N/2,为峰值点。而且sin［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和2π两点奇对称，关于峰值点ω=π偶对称。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计★不适合低通，带阻滤波器第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计表7.1.1线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计四种线性相位FIR滤波器相位特性幅度特性适用特点N奇N偶N奇N偶低通高通带通带阻低通带通带通高通带通3.线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点（7.1.14）　将h(n)=±h(N－1－n)代入上式,得到:线性相位FIR滤波器零点：互为倒数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定了.第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计例如：FIR线性相位滤波器的h(n)是实数且n<0和n>6时，h(n)＝0，如果h(0)＝1且系统函数在z=3和各有一个零点，求H(Z)解：：整理多项式：由h(0)＝1得：A=1第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有令m=N-n-1,则有第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.2第一类线性相位网络结构第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.3第二类线性相位网络结构第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2.1窗函数法设计原理一、设计思想7.2窗函数法设计数字滤波器第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计相应的单位取样响应hd(n)为h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)例如：设计一个FIR低通filter,其理想频响为：为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计实际的滤波器单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计吉布斯（Gibbs）效应：用一个有限长的序列h(n)去代替hd(n)，肯定会引起误差，表现在频域就是引起过渡带加宽以及通带和阻带内的波动，尤其使阻带的衰减小，从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将hd(n)直接截断引起的，也称为截断效应。Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅里叶级数，即傅里叶级数的系数为hd(n)。设计FIR滤波器就是根据要求找到N个傅里叶级数系数h(n)，n=1,2,…,N－1，以N项傅氏级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在一些频率不连续点附近会引起较大误差，这种误差就是截断效应。傅氏级数法：　　显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小，但项数增多即h(n)长度增加，也使成本和滤波计算量加大，应在满足技术要求的条件下，尽量减小h(n)的长度。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计二、窗函数对频响的影响第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)为将Hd(ejω)和WR(ejω)代入(7.2.4)式，得到：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2）时，正好与的一半相重叠。这时有第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计4）时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响　　（1）在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过渡带的宽度近似等于WRg(ω)主瓣宽度4π/N。　　（2）通带内产生了波纹，最大的峰值在ωc－2π/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。通带与阻带中波纹的情况与窗函数的幅度谱有关，WRg(ω)旁瓣幅度的大小直接影响Hg(ω)波纹幅度的大小。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　以上两点就是对hd(n)用矩形窗截断后，在频域的反映，称为吉布斯效应。这种效应直接影响滤波器的性能。通带内的波纹影响滤波器通带的平稳性，阻带内的波纹影响阻带内的衰减，可能使最小衰减不满足技术指标要求。当然，一般滤波器都要求过渡带愈窄愈好。加窗影响：　　直观上，好像增加矩形窗的长度N，就可以减少吉布斯效应，但实际上加大N,并不是减小吉布斯效应的有效方法。我们 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 一下N加大时WRg(ω)的变化，在主瓣附近，WRg(ω)可近似为该函数的性质是随x加大（N加大），主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变；另一方面，N加大时，WRg(ω)的主瓣和旁瓣宽度变窄，波动的频率加快。三种不同长度的矩形窗函数的幅度特性WRg(ω)及其设计的FIR滤波器的幅度特性Hg(ω)曲线如图7.2.4所示减少吉布斯效应的影响：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计表明：当N加大时，Hg(ω)的波动幅度没有多大改善，只能使Hg(ω)过渡带变窄（过渡带近似为主瓣宽度4π/N）。因此加大N,并不是减小吉布斯效应的有效方法。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计★★对于同一个的窗函数当随着N的增加，阻带衰减越快，但是第一旁瓣值不变，N越大，过渡带越窄，旁瓣越多，通带越宽。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　以上分析说明：调整窗口长度N只能有效地控制过渡带的宽度，而要减少带内波动以及增大阻带衰减，只能从窗函数的形状上找解决问题的方法。构造新的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度更小。旁瓣的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2.2典型窗函数介绍　　1．矩形窗（RectangleWindow）wR(n)=RN(n)其幅度函数为下面均以低通为例，Hd(ejω)取理想低通，ωc=π/2，窗函数长度N=31。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计矩形窗的四种波形如图7.2.5所示.旁瓣峰值：n=－13dB；过渡带宽度：Bg=4π/N;阻带最小衰减：s=－21dB第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2．三角形窗（BartlettWindow）其频谱函数为其幅度函数为：三角窗的四种波形如图7.2.6所示.第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.6三角窗的四种波形参数为:n=－25dB;Bg=8π/N;s=－25dB第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计3．汉宁（Hanning）窗——升余弦窗其频谱函数为第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计当N>>1时，N－1≈N汉宁窗的幅度函数WHng(ω)由三部分相加，旁瓣互相对消，使能量更集中在主瓣中。汉宁窗的四种波形如图7.2.7所示。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计参数为:n=－31dB;Bg=8π/N;s=－44dB第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　4．哈明（Hamming）窗——改进的升余弦窗其频谱函数为：其幅度函数WHmg(ω)为：当N>>１时，其可近似表示为第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量约占99.96%，瓣峰值幅度为40dB，但其主瓣宽度和汉宁窗的相同，仍为8π/N。可见哈明窗是一种高效窗函数，所以MATLAB窗函数设计函数的默认窗函数就是哈明窗。哈明窗的四种波形如图7.2.8所示.第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计参数为:n=－41dB;Bg=8π/N;s=－53dB第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　5．布莱克曼（Blackman）窗　　　　　　　　　　　　　　　　　　　其频谱函数为第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计其幅度函数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　这样其幅度函数由五部分组成，它们都是移位不同，且幅度也不同的WRg(ω)函数，使旁瓣再进一步抵消。旁瓣峰值幅度进一步增加，其幅度谱主瓣宽度是矩形窗的3倍。布莱克曼窗的四种波形如图7.2.9所示.第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.2.9布莱克曼窗的四种波形参数为:n=－57dB;ΔB=12π/N;s=－74dB第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　6．凯塞—贝塞尔窗（Kaiser-BaselWindow）　　以上五种窗函数都称为参数固定窗函数，每种窗函数的旁瓣幅度都是固定的。凯塞—贝塞尔窗是一种参数可调的窗函数，是一种最优窗函数。其中：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计I0(β)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：一般I0(β)取15~25项，便可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4<<9。当=5.44时，窗函数接近哈明窗。=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。在设计指标给定时，可以调整值，使滤波器阶数最低，所以其性能最优.凯塞（Kaiser）给出的估算β和滤波器阶数N的公式如下:第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计式中，Bt=|ωs－ωp|,是数字滤波器过渡带宽度。应当注意，因为式（7.2.17）为阶数估算，所以必须对设计结果进行检验。另外，凯塞窗函数没有独立控制通带波纹幅度，实际中通带波纹幅度近似等于阻带波纹幅度。凯塞窗的幅度函数为：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计对的8种典型值，将凯塞窗函数的性能列于表7.2.1中，供设计者参考。由表可见,当=5.568时,各项指标都好于哈明窗。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计★矩形窗过渡带最窄，布拉克曼窗过渡带最宽，但是对于阻带最小衰减性矩形窗最差，只有－21dB，布莱克曼窗最好，达到－75dB。汉明窗与汉明窗的过渡带稍宽，阻带衰减性也较好，是较为常用的窗函数。N=20改变N只能改变过渡带宽窄，不能改变阻带的衰减性；阻带的衰减性由窗函数类型决定，矩形窗最差，布莱克曼窗最好;设计数字滤波器时，一般希望滤波器既要有很好过渡性又要有很好的阻带衰减性。过渡带窄时，但阻带衰减不好；阻带衰减好时，但过渡带宽；因此，实际中窗函数的选择往往是它们的折衷。结论：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计表中过渡带宽和阻带最小衰减是用对应的窗函数设计的FIR数字滤波器的频率响应指标。随着数字信号处理的不断发展，学者们提出的窗函数已多达几十种，除了上述6种窗函数外，比较有名的还有Chebyshev窗、Gaussian窗［5,6］。MATLAB信号处理工具箱提供了14种窗函数的产生函数，下面列出上述6种窗函数的产生函数及其调用格式：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计Matlab窗函数产生函数表中列向量wn中返回长度为N窗函数w(n)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　用窗函数法设计FIR滤波器的步骤如下：根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N。先按照阻带衰减选择窗函数类型。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。然后根据过渡带宽度估计窗口长度N。待求滤波器的过渡带宽度Bt近似等于窗函数主瓣宽度，且近似与窗口长度N成反比，N≈A/Bt，A取决于窗口类型。7.2.3用窗函数法设计FIR滤波器的步骤第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　(2)构造希望逼近的频率响应函数Hd(ejω)，即对所谓的“ 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 窗函数法”，就是选择Hd(ejω)为线性相位理想滤波器（理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻）。以低通滤波器为例，Hdg(ω)应满足：　　　　　　　　　　　　　　　　第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　由图7.2.2知道，理想滤波器的截止频率ωc近似位于最终设计的FIRDF的过渡带的中心频率点，幅度函数衰减一半（约－6dB）。所以如果设计指标给定通带边界频率和阻带边界频率ωp和ωs，一般取(3)计算hd(n)如果给出待求滤波器的频响函数为Hd(ejω)，那么单位脉冲响应用下式求出：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计的线性相位理想低通滤波器作为Hd(ejω)，其单位脉冲响应hd(n)：为保证线性相位特性，=(N－1)/2。　　对：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计根据频域采样理论，hdM(n)与hd(n)应满足如下关系：如果Hd(ejω)较复杂或者不能用封闭公式表示可以对Hd(ejω)从ω=0到ω=2π采样M点，采样值为：k=0,1,2,…,M－1，进行M点IDFT(IFFT)得到：如果M选得较大，可以保证在窗口内hdM(n)有效逼近hd(n)　　(4)加窗得到设计结果：h(n)=hd(n)w(n)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计例7.2.1用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,ωc=0.2πrad。解用理想低通作为逼近滤波器，相应的单位取样响应hd(n)为：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计用汉宁窗设计：用布莱克曼窗设计：用矩形窗设计：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图例7.2.1的低通幅度特性第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计【例7.2.2】用窗函数法设计线性相位高通FIRDF，要求通带截止频率ωp=π/2rad，阻带截止频率ωs=π/4rad，通带最大衰减p=1dB，阻带最小衰减s=40dB。　解　(1）选择窗函数w(n)，计算窗函数长度N。窗函数：已知阻带最小衰减s=40dB，由表（7.2.2）可知汉宁窗和哈明窗均满足要求，我们选择汉宁窗。过渡带：本例中过渡带宽度Bt≤ωp－ωs=π/4，汉宁窗的精确过渡带宽度Bt=6.2π/N，所以要求Bt=6.2π/N≤π/4，解之得N≥24.8。对高通滤波器N必须取奇数，取N=25。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　（2）构造Hd(ejω):式中：　　（3）求出hd(n):第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计将τ=12代入得：（4）加窗:第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计(1)fir1fir1用窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器的工具箱函数，以实现线性相位FIR数字滤波器的标准窗函数法设计。这里的所谓“标准”，是指在设计低通、高通、带通和带阻FIR滤波器时，Hd(ejω)分别表示相应的线性相位理想低通、高通、带通和带阻滤波器的频率响应函数。因而将所设计的滤波器的频率响应称为标准频率响应。7.2.4窗函数法的MATLAB设计函数简介第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计hn=fir1(M,wc)返回6dB截止频率为wc的M阶（单位脉冲响应h(n)长度N=M+1）FIR低通（wc为标量）滤波器系数向量hn，默认选用哈明窗。滤波器单位脉冲响应h(n)与向量hn的关系为h(n)=hn(n+1)n=0,1,2,…,M满足线性相位条件:h(n)=h(N－1－n)。wc为对π归一化的数字频率，0≤wc≤1。当wc=［wcl,wcu］时，得到的是带通滤波器，其－6dB通带为wcl≤ω≤wcu。调用格式及功能：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计hn=fir1(M,wc,′ftype′)可设计高通和带阻FIR滤波器。当ftype=high时，设计高通FIR滤波器；当ftype=stop，且wc=［wcl,wcu］时，设计带阻FIR滤波器。　　应当注意，在设计高通和带阻FIR滤波器时，阶数M只能取偶数（h(n)长度N=M+1为奇数）。不过，当用户将M设置为奇数时，fir1会自动对M加1。hn=fir1(M,wc,window)，可以指定窗函数向量window。如果缺省window参数，则fir1默认为哈明窗。例如:　　第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　hn=fir1(M,wc,bartlett(M+1))，使用Bartlett窗设计；　　hn=fir1(M,wc,blackman(M+1))，使用blackman窗设计；　hn=fir1(M,wc,‘ftype’,window)通过选择wc、ftype和window参数（含义同上），可以设计各种加窗滤波器。(2)fir2fir2为任意形状幅度特性的窗函数法设计函数，用fir2设计时，可以指定任意形状的Hd(ejω)，它实质是一种频率采样法与窗函数法的综合设计函数。主要用于设计幅度特性形状特殊的滤波器（如数字微分器和多带滤波器等）。用help命令查阅其调用格式及调用参数的含义。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　例7.2.2的设计程序ep721.m如下:　　％ep721.m:例7.2.2用窗函数法设计线性相位高通FIR数字滤波器　　wp=pi/2;ws=pi/4;　　Bt=wp-ws;％计算过渡带宽度　　N0=ceil(6.2*pi/Bt);　％根据表7.2.2汉宁窗计算所需h(n)长度N0，ceil(x)取大于等于x的最小整数　　N=N0+mod(N0+1,2);％确保h(n)长度N是奇数　　wc=(wp+ws)/2/pi;　％计算理想高通滤波器通带截止频率(关于π归一化)　　hn=fir1(N-1,wc,'high',hanning(N));　　％调用fir1计算高通FIR数字滤波器的h(n)　　％略去绘图部分第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计运行程序得到h(n)的25个值:　h(n)=［－0.0004－0.00060.0028　0.0071－0.0000－0.0185－0.0210　　0.01650.06240.0355　0.1061－0.28980.6249－0.2898　　－0.10610.03550.0624　0.0165－0.0210　　0.0185－0.0000　　　　0.00710.0028　－0.0006　－0.0004］高通FIR数字滤波器的h(n)及损耗函数如图7.2.9所示。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计例7.2.2高通FIR数字滤波器的h(n)波形及损耗函数曲线第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　【例7.2.3】对模拟信号进行低通滤波处理，要求通带0≤f≤1.5kHz内衰减小于1dB，阻带2.5kHz≤f≤∞上衰减大于40dB。希望对模拟信号采样后用线性相位FIR数字滤波器实现上述滤波，采样频率Fs=10kHz。用窗函数法设计满足要求的FIR数字低通滤波器，求出h(n)，并画出损耗函数曲线。为了降低运算量，希望滤波器阶数尽量低。　　解（1）确定相应的数字滤波器指标:通带截止频率为第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计阻带截止频率为阻带最小衰减为s=40dB　　（2）用窗函数法设计FIR数字低通滤波器，为了降低阶数选择凯塞窗。根据式（7.2.16）计算凯塞窗的控制参数为第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计指标要求过渡带宽度Bt=ωs－ωp=0.2π，根据式（7.2.17）计算滤波器阶数为取满足要求的最小整数M=23。所以h(n)长度为N=M+1=24。如果用汉宁窗，h(n)长度为N=40。理想低通滤波器的通带截止频率ωc=(ωs+ωp)/2=0.4π，所以得到:式中，w(n)是长度为24（=3.395）的凯塞窗函数。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　实现本例设计的MATLAB程序为ep722.m。　　％ep722.m:例7.2.3用凯塞窗函数设计线性相位低通FIR数字滤波器　fp=1500;fs=2500;rs=40;　wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;　Bt=ws-wp;%计算过渡带宽度　alph=0.5842*(rs-21)^0.4+0.07886*(rs-21);%根据(7.2.16)式计算kaiser窗的控制参数α　N=ceil((rs-8)/2.285/Bt);%根据(7.2.17)式计算kaiser窗所需阶数N第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　wc=(wp+ws)/2/pi;%计算理想高通滤波器通带截止频率(关于π归一化）　hn=fir1(N,wc,kaiser(N+1,alph));%调用kaiser计算低通FIRDF的h(n)　％以下绘图部分省去运行程序得到h(n)的24个值:h(n)=［　0.0039　　0.0041　－0.0062　－0.0147　0.0000　　0.0286　　0.0242－0.0332　－0.0755　　0.0000　　0.19660.3724　　0.3724　　0.1966－0.0000　－0.0755　－0.0332　　0.02420.0286　　0.0000　－0.0147－0.0062　　0.0041　　0.0039］第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计例7.2.3低通FIR数字滤波器的h(n)波形及损耗函数曲线第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　【例7.2.4】窗函数法设计一个线性相位FIR带阻滤波器。要求通带下截止频率ωlp=0.2π，阻带下截止频率ωls=0.35π，阻通带上截止频率ωus=0.65π，通带上截止频率ωup=0.8π，通带最大衰减p=1dB，阻带最小衰减s=60dB。　　解本例直接调用fir1函数设计。因为阻带最小衰减s=60dB，所以选择布莱克曼窗，再根据过渡带宽度选择滤波器长度N，布莱克曼窗的过渡带宽度Bt=12π/N，所以第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计解之得N=80。调用参数　　设计程序为ep723.m，参数计算也由程序完成。　　％ep723.m:例7.2.4用窗函数法设计线性相位带阻FIR数字滤波器　　wlp=0.2*pi;wls=0.35*pi;wus=0.65*pi;wup=0.8*pi;%设计指标参数赋值　　B=wls-wlp;%过渡带宽度　　N=ceil(12*pi/B);　　　%计算阶数N,ceil(x)为大于等于x的最小整数第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　wp=［(wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi］;%设置理想带通截止频率　　hn=fir1(N,wp,‘stop’,blackman(N+1));　%带阻滤波器要求h(n)长度为奇数，所以取N+1　　％省略绘图部分　　程序运行结果:　　N=81　　由于h(n)数据量太大，因而仅给出h(n)的波形及损耗函数曲线，如图7.2.11所示。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计例7.2.4带阻FIR数字滤波器的h(n)波形及损耗函数曲线第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计一、设计思想7.3频率采样法设计FIR滤波器第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计1）　FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)为实序列，且满足h(n)=h(N－n－1)，其频响函数应满足的条件是：二、设计线性相位滤波器时对Hd(k)的约束条件第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计在ω=0~2π区间上N个等间隔的采样频点为将ω=ωk代入（7.3.5）~（7.3.8）式中，并写成k的函数：k=0，1，2，…，N–1Hd(k)的约束条件：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　设用理想低通作为希望逼近的滤波器Hd(ejω)，截止频率为ωc，采样点数为N，Hg(k)和θ(k)用下列公式计算：式中kc是通带内最后一个采样点的序号，kc值取不大于[ωcN/(2π)]的最大整数。另外，对于高通和带阻滤波器，这里N只能取奇数。N为偶数时，N为奇数时，第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计2）　FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)为实序列，且满足h(n)=-h(N－n－1)，其频响函数应满足的条件是：Hd(k)的约束条件：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　3．逼近误差及其改进措施　　如果待逼近的滤波器为Hd(ejω)，对应的单位脉冲响应为hd(n)，则由频率域采样定理知道，在频域0~2π范围等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期的周期延拓的主值区序列，即如果Hd(ejω)有间断点，那么相应的单位脉冲响应hd(n)应是无限长的。这样，由于时域混叠及截断，使h(n)与hd(n)有偏差。所以，频域的采样点数N愈大，时域混叠愈小，设计出的滤波器频响特性愈逼近Hd(ejω)。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　频域采样定理表明，频率域等间隔采样H(k)，经过IDFT得到h(n)，得到H(ejω)=FT［h(n)］的内插表示形式：在采样点上实际频率响应严格等于理想频率响应采样点之间实际频响由各采样点加权内插函数延伸而成，因而有误差，误差大小和理想频率响应的曲线形状有关改进：在理想频率响应的不连续的边缘点加上一些过渡的采样点第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.3.1频域幅度采样序列Hg(k)及其内插波形Hg(ω)Hdg(ω)特性愈平滑的区域，误差愈小；特性曲线间断点处，误差最大。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　表现形式为间断点变成倾斜下降的过渡带曲线，过渡带宽度近似为2π/N。通带和阻带内产生震荡波纹，且间断点附近振荡幅度最大，使阻带衰减减小，往往不能满足技术要求。　　当然，增加N可以使过渡带变窄，但是通带最大衰减和阻带最小衰减随N的增大并无明显改善。且N太大，会增加滤波器的阶数，即增加了运算量和成本。N=15和N=75两种情况下的幅度内插波形Hg(ω)如图7.3.2所示，图中的空心圆和实心圆点分别表示N=15和N=75时的频域幅度采样。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.3.2N=15和N=75的幅度内插波形Hg(ω)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　在窗函数设计法中，通过加大过渡带宽度换取阻带衰减的增加。频率采样法同样满足这一规律。提高阻带衰减的具体方法：在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡带，这样，虽然加大了过渡带，但阻带中相邻内插函数的旁瓣正负对消，明显增大了阻带衰减。　　过渡带采样点的个数与阻带最小衰减s的关系以及使阻带最小衰减s最大化的每个过渡带采样值求解都要用优化算法解决。其基本思想是将过渡带采样值设为自由量，用一种优化算法（如线性 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算法）改变它们，最终使阻带最小衰减s最大。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　将过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减s的经验数据列于表7.3.1中，我们可以根据给定的阻带最小衰减s选择过渡带采样点的个数m。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　四．频率采样法设计步骤　　　（1）根据阻带最小衰减s选择过渡带采样点的个数m。　（2）确定过渡带宽度Bt，估算频域采样点数（即滤波器长度）N。如果增加m个过渡带采样点，则过渡带宽度近似变成(m+1)2π/N。当N确定时，m越大，过渡带越宽。如果给定过渡带宽度Bt，则要求(m+1)2π/N≤Bt，滤波器长度N必须满足如下估算公式:第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　（3）构造一个希望逼近的频率响应函数:设计标准型片断常数特性的FIR数字滤波器时，一般构造幅度特性函数Hdg(ω)为相应的理想频响特性，且满足表7.1.1要求的对称性。　（4）按照（7.3.1）式进行频域采样:第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计并加入过渡带采样。过渡带采样值可以设置为经验值，或用累试法确定，也可以采用优化算法估算。　（5）对H(k)进行N点IDFT，得到第一类线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6）检验设计结果。如果阻带最小衰减未达到指标要求，则要改变过渡带采样值，直到满足指标要求为止。如果滤波器边界频率未达到指标要求，则要微调Hdg(ω)的边界频率。上述设计过程中的计算相当繁琐，所以通常借助计算机设计。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　【例7.3.1】用频率采样法设计第一类线性相位低通FIR数字滤波器，要求通带截止频率ωp=π/3，阻带最小衰减大于40dB，过渡带宽度Bt≤π/16。　　解查表7.3.1，s=40dB时，过渡带采样点数m=1。根据m=1和Bt≤π/16估算滤波器长度:N≥(m+1)2π/Bt=64留一点富余量，取N=65。构造Hd(ejω)=Hdg(ω)e－jω(N－1)/2为理想低通特性，其幅度响应函数Hdg(ω)如图7.3.3(a)中实线所示。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.3.3一个过渡点的设计结果(T=0.38)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　设计由以下程序ep731.m完成：　　％ep732.m:用频率采样法设计FIR低通滤波器　T=input(‘T=’)　　　％输入过渡带采样值T　Bt=pi/16;wp=pi/3;　　％过渡带宽度为pi/16，通带截止频率为pi/3　m=1;N=ceil(m+1)*2*pi/Bt)+1;　％按式（7.3.15）估算采样点数N　Np=fix(wp/(2*pi/N));％Np+1为通带［0,wp］上采样点数　Ns=N－2*Np－1;　　％Ns为阻带［wp,2*pi－wp］上采样点数第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　Hk=［ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np)］　　　;％N为奇数，幅度采样向量偶对称A(k)=A(N－k)　Hk(Np+2)=T;Ak(N－Np)=T;　％加一个过渡采样　thetak=－pi*(N－1)*(0:N－1)/N;％相位采样向量θ(k)=(N－1)πk/N,0≤k≤N－1　Hdk=Hk.*exp(j*thetak);％构造频域采样向量Hd(k)　hn=real(ifft(Hdk));％h(n)=IDFT［H(k)］　Hw=fft(hn,1024);　　　％计算频率响应函数:DFT［h(n)］　第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　wk=2*pi*［0:1023］/1024;　　Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N－1)/2);　　　　　％计算幅度响应函数Hg(ω)　　　％计算通带最大衰减Rp和阻带最小衰减Rs　Rp=max(20*log10(abs(Hgw)))　hgmin=min(real(Hgw));Rs=20*log10(abs(hgmin))　　％以下绘图部分略去第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　运行程序，输入T=0.38，得到设计结果如图7.3.3所示，并输出通带最大衰减p=0.4767dB，阻带最小衰减s=－43.4411dB。但是，如果过渡带采样值T=0.5和0.6，则得到阻带最小衰减s=－29.6896dB和－25.0690dB。由此可见，当过渡带采样点数给定时，过渡带采样值不同，则逼近误差不同。所以，对过渡带采样值进行优化设计才是有效的方法。　　第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　hn=fir2(M,F,A,window(M+1))设计一个M阶线性相位FIR数字滤波器，返回长度为N=M+1的单位脉冲响应序列向量hn。window表示窗函数名，缺省时默认选用Hamming窗。可供选择的窗函数有Boxcar、Bartlett、Hann、Hamm、Blackman、Kaiser和Chebwin,当window=boxcar时，fir2就是纯粹的频率采样设计法。希望逼近的幅度特性由边界频率向量F和相应的幅度向量A确定，plot(F,A)画出的就是希望逼近的幅度特性曲线。MATLAB信号处理工具箱函数fir2是一种频率采样法与窗函数法相结合的FIR数字滤波器设计函数。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.3.4例7.3.1希望逼近的幅度特性（T=0.38）第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计[例7.3.2]试用频率采样法，设计一个具有线性相位的低通FIR数字filter，其理想频率特性为：已知，采样点N=33.H(0)=1,N=33，所以为第一类线性相位滤波器[解]：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计截止频率第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计例7.3.3用频率采样法，设计情况１FIR低通滤波器，采样点数N=21，技术指标为：ωp=0.3π,αp=5dBωs=0.4π,αs=40dB解：①根据指标画出理想低通滤波器的幅度特性及采样点②根据上图确定频率采样法的幅度约束条件第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计③相位约束条件④对H(k)进行IDFT得到h(n)第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计⑤计算振幅响应H(ω)和幅度响应第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计从幅度响应曲线可见，N=21时，最小的阻带衰减为14dB，没有达到设计要求。⑥验证指标根据设计出的h(n)计算其振幅响应H(ω)和幅度响应第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计增大采样点数，能否使阻带衰减增大?第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计N=61时，最小的阻带衰减为18dB，仍不满足指标。结论：频率采样法设计FIR滤波器，不能用增大采样点数的方法提高阻带的衰减。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计在Hd(ejω)的间断点附近区间加入若干个过渡采样点，能否使H(ejω)与Hd(ejω)的误差减小？例如：增加两个采样点T1=0.7和T2=0.2。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计从幅度响应曲线可见，N=61时，最小的阻带衰减为45dB，达到设计要求。结论：为改善滤波器的特性，可以在频响间断点附近插入一个或几个过渡采样点，适当增加采样点数提高阻带的衰减。N=61，两个过渡点第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　窗函数设计法和频率采样法简单方便，易于实现。但它们存在以下缺点:①滤波器边界频率不易精确控制。②窗函数设计法总使通带和阻带波纹幅度相等，频率采样法只能依靠优化过渡带采样点的取值控制阻带波纹幅度，所以两种方法都不能分别控制通带和阻带波纹幅度。③所设计的滤波器在阻带边界频率附近的衰减最小，距阻带边界频率越远，衰减越大。所以，如果在阻带边界频率附近的衰减刚好达到设计指标要求，则阻带中其他频段的衰减就有很大富余量。说明这两种设计法存在较大的资源浪费，或者说所设计滤波器的性能价格比低。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.4.1等波纹最佳逼近法的基本思想　　用Hd(ω)表示希望逼近的幅度特性函数，要求设计线性相位FIR数字滤波器时，Hd(ω)必须满足线性相位约束条件。用Hg(ω)表示实际设计的滤波器幅度特性。定义加权误差函数E(ω)为　　　　　　　　　　　　　　　　7.4利用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波式中，W(ω)称为误差加权函数。等波纹最佳逼近基于切比雪夫逼近，在通带和阻带以|E(ω)|的最大值最小化为准则，采用Remez多重交换迭代算法求解h(n)。W(ω)取值越大的频段,逼近精度越高，开始设计时应根据逼近精度要求确定W(ω)，在Remez多重交换迭代过程中W(ω)是确知函数。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计等波纹最佳逼近设计中，把数字频段分为“逼近（或研究）区域”和“无关区域”。逼近区域一般指通带和阻带，而无关区域一般指过渡带。设计过程中只考虑对逼近区域的最佳逼近。应当注意，无关区宽度不能为零，即Hd(ω)不能是理想滤波特性。　　利用等波纹最佳逼近准则设计线性相位FIR数字滤波器数学模型的建立及其求解算法的推导复杂，求解计算必须借助计算机，matlab函数remezord和remez。等波纹滤波器的技术指标及其描述参数：　　第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.4.1等波纹滤波器的幅频特性函数曲线及指标参数第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　等波纹滤波器技术指标的两种描述参数之间换算：第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　误差加权函数W(ω)的作用：例设期望逼近的通带和阻带分别为［0,π/4］和［5π/16,π］，对下面四种不同的控制参数，等波纹最佳逼近的损耗函数曲线分别如图7.4.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。图中，W=［w1,w2］表示第一个逼近区［0,π/4］上的误差加权函数W(ω)=w1，第二个逼近区［5π/16,π］上的误差加权函数W(ω)=w2。图7.4.2(a)中,通带频段［０，π/４］上的W(ω)=1，阻带频段［5π/16,π］上的W(ω)=10。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.4.2误差加权函数W(ω)和滤波器阶数N对逼近精度的影响第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计结论:当N一定时，误差加权函数W(ω)较大的频带逼近精度较高，W(ω)较小的频带逼近精度较低，如果改变W(ω)使通（阻）带逼近精度提高，则必然使阻（通）带逼近精度降低。滤波器阶数N增大才能使通带和阻带逼近精度同时提高。W(ω)和N由滤波器设计指标（即p和s以及过渡带宽度）确定。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　（1）根据给定的逼近指标估算滤波器阶数N和误差加权函数W(ω)；　（2）采用remez算法得到滤波器单位脉冲响应h(n)。等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器的过程是:第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计从性能上，IIR滤波器系统函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此零点和极点相结合，可用较低的阶数获得较高的选择性，所用的存储 单元 初级会计实务单元训练题天津单元检测卷六年级下册数学单元教学设计框架单元教学设计的基本步骤主题单元教学设计 少，计算量小，经济高效。但是高效率是以相位的非线性为代价的。FIR滤波器可以得到严格的线性相位，然而由于FIR滤波器系统函数的极点固定在原点，因而只能用较高的阶数达到高的选择性；对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数一般比IIR滤波器高5~10倍，使成本较高，信号延时也较大；如果按相同的选择性、相同的线性相位要求，IIR滤波器必须加全通网络进行相位校正，同样要增加滤波器的阶数和复杂性。7.5IIR和FIR数字滤波器的比较第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　从结构上，IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。另外，在这种结构中，由于运算过程中对序列的舍入处理，这种有限字长效应有时会引起寄生振荡。FIR滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，运算误差引起的输出信号噪声功率也较小。此外，FIR滤波器可以采用FFT算法实现，在相同阶数的条件下，运算速度可以大大提高。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　从设计工具，IIR滤波器可以借助成熟模拟滤波器设计成果，因此一般都有封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。FIR滤波器计算通带和阻带衰减等仍无显式表达式，其边界频率也不易精确控制。一般，FIR滤波器的设计只有计算程序可循，因此对计算工具要求较高。但在计算机普及的今天，很容易实现其设计计算。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　从适用范围，IIR滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计具有片断常数特性的选频型滤波器，如低通、高通、带通及带阻等，往往脱离不了几种典型模拟滤波器的频响特性的约束。FIR滤波器则要灵活得多，易于适应某些特殊的应用，如构成微分器或积分器，或用于巴特沃斯、切比雪夫等逼近不可能达到预定指标的情况，例如由于某些原因要求三角形振幅响应或一些更复杂的幅频响应形状，因而FIR滤波器有更大的适应性和更广阔的应用场合。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计　　从上面的简单比较可以看到，IIR与FIR滤波器各有所长，所以在实际应用时应该全面考虑加以选择。例如，从使用要求上看，在对相位要求不敏感的场合，如语音通讯等，选用IIR滤波器较为合适，这样可以充分发挥其经济高效的特点；而对于图像信号处理，数据传输等以波形携带信号的系统，则对线性相位要求较高，采用FIR滤波器较好。第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计