第5章 测量误差的基本知识

第 5 章 测量误差的基本知识 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 提示：本章主要介绍了测量误差的概念、来源、分类与处理方法，精度的概念及 评定 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，误差传播定律，等精度与非等精度直接观测值的最可靠值及其中误差。其重点 内容包括误差传播定律、观测值中误差计算、直接观测值的最可靠值及其中误差。其难点 为误差传播定律及其应用。 5.1 测量误差与精度 5.1.1 测量误差的概念 要准确认识事物，必须对事物进行定量分析；要进行定量分析必须要先对认识对象进 行观测并取得数据。在取得观测数据的过程中，由于受到多种因素的影响，在对同一对象 进行多次观测时，每次的观测结果总是不完全一致或与预期目标(真值)不一致。之所以产 生这种现象，是因为在观测结果中始终存在测量误差的缘故。这种观测量之间的差值或观 测值与真值之间的差值，称为测量误差(亦称观测误差)。 用 l代表观测值，X代表真值，则有 Δ=l－X (5-1) 式中 Δ就是测量误差，通常称为真误差，简称误差。 一般说来，观测值中都含有误差。例如，同一人用同一台经纬仪对某一固定角度重复 观测多次，各测回的观测值往往互不相等；同一组人，用同样的测距工具，对同一段距离 重复测量多次，各次的测距值也往往互不相等。又如，平面三角形内角和为 180 �，即为观 测对象的真值，但三个内角的观测值之和往往不等于 180 �；闭合水准测量线路各测段高差 之和的真值应为 0，但经过大量水准测量的实践证明，各测段高差的观测值之和一般也不 等于 0。这些现象在测量实践中普遍存在，究其原因，是由于观测值中不可避免地含有观 测误差的缘故。 5.1.2 测量误差的来源 为什么测量误差不可避免？是因为测量活动离不开人、测量仪器和测量时所处的外界 环境。不同的人，操作习惯不同，会对测量结果产生影响。另外，每个人的感觉器官不可 能十分完善和准确，都会产生一些分辨误差，如人眼对长度的最小分辨率是 0.1mm，对角 度的最小分辨率是 60"。测量仪器的构造也不可能十分完善，观测时测量仪器各轴系之间 还存在不严格平行或垂直的问题，从而导致测量仪器误差。测量时所处的外界环境(如风、 温度、土质等)在不断变化之中，风影响测量仪器和观测目标的稳定，温度变化影响大气介 质的变化，从而影响测量视线在大气中的传播线路等。这些影响因素，就是测量误差的三 第 5章 测量误差的基本知识 ·119· ·119· 大来源。通常把观测者、仪器设备、环境等三方面综合起来，称为观测条件。观测条件相 同的各次观测，称为等精度观测，获得的观测值称为等精度观测值；观测条件不相同的各 次观测，称为非等精度观测，相应的观测值称为非等精度观测值。 5.1.3 研究测量误差的目的和意义 一般说来，人们在测量中总希望每次观测所出现的测量误差越小越好，甚至趋近于 0。 但要做到这一点，就要用极其精密的测量仪器，采用十分严密的观测方法，付出高昂的代 价。然而，在生产实践中，根据不同的测量目的和要求，是允许在测量结果中含有一定程 度的测量误差的。因此，实际测量工作并不是简单地使测量误差越小越好，而是根据实际 需要，将测量误差限制适当的范围内。 研究测量误差是为了认识测量误差的基本特性及其对观测结果的影响规律，建立处理 测量误差的数学模型，确定未知量的最可靠值及其精度，进而判定观测结果是否可靠或合 格。在认识了测量误差的基本特性和影响规律之后，能指导测量员在观测过程中如何制定 观测 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 、采取措施尽力减少测量误差对测量结果的影响。 5.1.4 测量误差的分类及处理方法 根据测量误差的性质，测量误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三大类，即 Δ=Δ1+Δ2+Δ3 (5-2) 式中，Δ1为粗差；Δ2为系统误差；Δ3为偶然误差。 1. 粗差 粗差是一种大级量的观测误差，例如超限的观测值中往往含有粗差。粗差也包括测量 过程中各种失误引起的误差。粗差产生的原因较多，有测量员疏忽大意、失职而引起，如 读数错误、记录错误、照准目标错误等；有测量仪器自身或受外界干扰发生故障而引起的； 还有是容许误差取值过小造成的。粗差对测量结果的影响巨大，必须引起足够的重视，在 观测过程中要尽力避免。 发现粗差的有效办法是：严格遵守国家测量规范或规程，进行必要的重复观测，通过 多余观测条件，采用必要而严密的检核、验算等措施。不同的人、不同的仪器、不同的测 量方法和不同的观测时间是发现粗差的最好方式。一旦发现粗差，该观测值必须舍弃并重 测。测量员要养成良好的测量习惯，如记录员站在水准仪的右侧，不仅要记录数据，还要 回报数据、时刻提醒观测员管水准器没有整平。 尽管测量员已十分认真、谨慎，粗差有时仍然会发生。因此，如何在观测数据中发 现并剔除粗差，或在数据处理过程中削弱粗差对测量结果的影响，是测绘界十分关注的 问题。 2. 系统误差 在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，其误差符号或大小均相同或按一定规 律变化，这种误差称为系统误差。如钢尺尺长误差、仪器残余误差对测量结果的影响。系 统误差具有积累性，对测量结果的影响很大，因此，必须足够地重视，处理系统误差的办 法有以下几项。 土木工程测量 ·120· ·120· (1) 用计算的方法加以改正。如钢尺的温度改正、倾斜改正等。 (2) 用合适的观测方法加以削弱。如在水准测量中，测站上采用“后—前—前—后” 的观测程序可以削弱仪器下沉对测量结果的影响；在水平角测量时，采用盘左、盘右观测 值取平均值的方法可以削弱视准轴误差的影响。 (3) 将系统误差限制在一定的允许范围之内。有些系统误差既不便于计算改正，又不 能采用一定的观测方法加以消除，如视准轴误差对水平角的影响、水准尺倾斜对读数的影 响。对于这类误差，则必须严格遵守操作规程，对仪器进行精确检校，使其影响减少到允 许范围之内。 3. 偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，其误差符号或大小都不一致，表面上 看不出任何规律性，这种误差称为偶然误差。偶然误差也有很大的累积性，而且在观测过 程中无法避免或削弱。 粗差可以被发现并被剔除，系统误差可以被预知或采取一定措施进行削弱，而偶然误 差是不可避免的，因此，讨论测量误差的主要内容和任务就是研究在带有偶然误差的一系 列观测值中，如何确定未知量的最可靠值及其精度。 从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律，但对大量偶然误差进行 统计分析，就发现了规律，并且误差个数越多，规律越明显。 例如，某一测区在相同观测条件下，对测区内所有三角形的内角进行了观测，由于观 测结果中存在偶然误差，因而，三角形各内角的观测值之和 l不一定等于其真值 180 �。 由式(5-1)计算每个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取区间 dΔ=3"，并按绝 对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差的个数，其数据列于表 5-1中。以表 5-1 中误差范围为横轴，以误差个数为纵轴绘制成直方图如图 5.1所示。 表 5-1 偶然误差统计表 误差所在区间 负误差个数 正误差个数 误差总数 0"～3" 23 25 48 3"～6" 13 14 27 6"～9" 8 9 17 9"～12" 3 2 5 12"～15" 1 1 2 15"～18" 1 0 1 18"以上 0 0 0 总计 48 52 100 由表 5-1 和图 5.1 可以看出：小误差出现的个数比大误差出现的个数多；绝对值相等 的正、负误差个数几乎相同；最大误差不超过 18"。 通过大量实验统计，结果表明，当观测次数较多时，偶然误差具有如下统计特性。 (1) 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即有界性。 (2) 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大，即偶然性或随机性。 (3) 绝对值相等的正、负误差出现的可能性相等，即对称性。 第 5章 测量误差的基本知识 ·121· ·121· (4) 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋近 于 0，即 0][lim =Δ ∞→ nn (5-3) 式中，［Δ］=Δ1+Δ2+…+Δ n，n为观测次数。 在测量学中以“[·]”表示取括号中变量的代数和，即[Δ]=∑Δ。 偶然误差的第(4)个特性由第(3)个特性导出，说明偶然性误差具有抵偿性。 为了简单而形象地表示偶然误差的上述特性，今以偶然误差的大小为横坐标，以其相 应出现的个数为纵坐标，画出偶然误差大小与其出现个数的关系曲线，如图 5.2 所示。这 种曲线又称为误差分布曲线。误差分布曲线的峰愈高坡愈陡，表明绝对值小的误差出现较 多，即误差分布比较密集，反映观测成果质量好；曲线的峰愈低坡愈缓，表明绝对值大的 误差出现较少，即误差分布比较离散，反映观测成果质量较差。 偶然误差特性图中的曲线符合统计学中的正态分布曲线，标准误差的大小反映了观测 精度的低高，即标准误差越大，精度越低；反之，标准误差越小，精度越高。 个数 －Δ +Δ 图 5.1 偶然误差统计直方图 图 5.2 偶然误差特性图 5.1.5 精度的概念及评定精度的标准 精度是指对某个量进行多次同精度观测中，其偶然误差分布的离散程度。观测条件相 同的各次观测，称为等精度观测，但每次的观测结果之间又总是不完全一致。 测量工作中，观测对象的真值只有一个，而观测值有无数个，其真误差也有相同的个 数，有正有负，有大有小。以真误差的平均值作为衡量精度的标准非常不实用，因为真误 差的平均值都趋近于 0。以真误差绝对值的大小来衡量精度也不能反映这一组观测值的整 体优劣。因而，测量中引用了数理统计中均方差的概念，并以此作为衡量精度的标准。具 体到测量工作中，以中误差、相对中误差和容许误差作为衡量精度的标准。中误差越大， 精度越低；反之，中误差越小，精度越高。 1. 中误差 设在相同的观测条件下，对某量进行了 n次观测，其观测值为 l1，l2，…，ln，相应的 真误差为 Δ1，Δ2，…，Δn，则中误差为 土木工程测量 ·122· ·122· n m ][ΔΔ±= (5-4) 式中， 2 21 2[ ]ΔΔ = Δ + Δ +… 2n+ Δ 。 【例 5.1】 设有甲、乙两个小组，对某三角形的内角和观测了 10次，分别求得其真误差为 甲 组 +4"，+3"，+5"，－2"，－4"，－1"，+2"，+3"，－6"，－2" 乙 组 +3"，+5"，－5"，－2"，－7"，－1"，+8"，+3"，－6"，－1" 试求这两组观测值的中误差。 【解】 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 3 5 2 4 1 2 3 6 2 3.5'' 10 m + + + + + + + + + = ± = ± 甲 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 5 5 2 7 1 8 3 6 1 4.7 '' 10 m + + + + + + + + + = ± = ± 乙 比较 乙甲和mm 可知，甲组的观测精度比乙组高。 2．相对中误差 在某些情况下，单用中误差还不能准确地反映出观测精度的优劣。例如丈量了长度为 100m和 200m的两段距离，其中误差均为±0.01m，显然不能认为这两段距离的精度相同。 这时为了更客观地反映实际情况，还必须引入相对中误差的概念，以相对中误差 K来作为 衡量精度的标准。 相对中误差是中误差的绝对值与相应观测值之比，并用分子为 1的分数来表示，即 1 / m K D D m = = (5-5) 在上例中， 1 0.01/100 1/10000K = = ， 2 0.01/ 200 1/ 20000K = = 。显然，后者的精度比 前者精度高；当 K中分母越大，表示相对中误差精度越高，反之越低。 值得注意的是，观测时间、角度和高差时，不能用相对中误差来衡量观测值的精度， 这是因为观测误差与观测值的大小无关。 3. 容许误差 由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限度。根据误差理论和大量的实践证明，在一系列等精度的观测中，绝对值大于 2 倍 中误差的偶然误差出现的可能性约为 5%；绝对值大于 3 倍中误差的偶然误差出现的可能 性约为 0.3%。因此，在观测次数不多的情况下，可以认为大于 3 倍中误差的偶然误差是不 可能出现的。故通常以 3 倍中误差作为偶然误差的极限误差，即 Δ 极=3m (5-6) 在实际工作中，测量规范要求观测值中，不容许存在较大的误差，常以 2 倍中误差作 为偶然误差的容许误差，即 Δ 容=2m (5-7) 在观测数据检查和处理工作中，常用容许误差作为精度的衡量标准。当观测值误差大 第 5章 测量误差的基本知识 ·123· ·123· 于容许误差时，即可认为观测值中包含有粗差，应给予舍去不用或重测。 5.2 误差传播定律 5.2.1 误差传播的概念与误差传播定律 当对某一未知量进行了多次观测后，就可以根据观测值计算出观测值的中误差，作为 衡量观测结果的精度标准。但是在实际工作中，有些未知量往往不是直接观测得到的，而 是观测其他未知量间接求得的。例如，水准测量中，在测站上测得后视、前视读数分别为 a、b，则高差 h = a－b。这里高差 h是直接观测量 a、b的函数。显然，当 a、b存在误差 时，h 也受其影响而产生误差。这种关系称为误差传播，阐述这种函数关系的定律称为误 差传播定律。 5.2.2 一般函数的中误差 设有一般函数 Z=F(X1，X2，…，Xn) (5-8) 式中，X1，X2，…，Xn为可直接观测的未知量，Z为函数，是间接观测量。 设Ｘi ( i =1，2，…，n)的独立观测值为 xi，其相应的真误差为 Δxi。由于 Δxi的存在， 使函数 Z也产生相应的真误差 Δzi将式(5-8)取全微分 1 2 1 2 d d d d n n F F FZ x x x x x x ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ � (5-9) 因误差 Δxi及 ΔZ都很小，故在上式中可以用 Δxi及 ΔZ代替 dxi及 dZ，于是有 n n x x F x x F x x FZ Δ ∂ ∂ ++Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ =Δ �2 2 1 1 (5-10) 式中 ix F ∂ ∂ 为函数 F对各自变量的偏导数，令 i i f x F = ∂ ∂ 则式(5-10)可写成 nn xfxfxfZ Δ++Δ+Δ=Δ �2211 (5-11) 为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各式进行了 k次观测，则可写出 如下关系式 ( ) ( ) ( ) ( )11 22 1 11 1 nn xfxfxfZ Δ++Δ+Δ=Δ � ( ) ( ) ( ) ( )22 22 2 11 2 nn xfxfxfZ Δ++Δ+Δ=Δ � … ( ) ( ) ( ) ( )k nn kkk xfxfxfZ Δ++Δ+Δ=Δ �2211 将以上各等式取平方和得 土木工程测量 ·124· ·124· ][][][][][ ,1, 222 2 2 2 2 1 2 1 2 ji n jiji jinn xxffxfxfxfZ ΔΔ+Δ++Δ+Δ=Δ ∑ ≠= � 上式两端各除以 k得 ∑ ≠= ΔΔ + Δ ++ Δ + Δ = Δ n jiji ji ji n n k xxff k xf k xf k xf k Z ,1, 2 2 2 22 2 2 12 1 2 ][][][][][ � 由于对各 xi 的观测值为相互独立的观测量，则 )( jixx ji ≠ΔΔ 也具有偶然误差的特性。 根据偶然误差的第(4)个特性，上式的末项趋近于 0，即 0 ][ lim = ΔΔ ∞→ k xx ji k 根据中误差的定义，则有 222 2 2 2 2 1 2 1 2 nnz mfmfmfm +++= � (5-12) 即 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n z m x F m x F m x F m ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂±= � (5-13) 式(5-13)为计算函数中误差的一般形式。在应用时，要注意各观测值之间必须是相互独 立的变量。当未知量 xi为直接观测值时，可认为各 xi之间满足相互独立的条件。 误差传播定律在测绘领域应用十分广泛，利用它不仅可以求得观测值函数的中误差， 而且还可以研究确定容许误差以及事先分析观测可能达到的精度等，对预先确定的测量方 案做出优劣评估。 5.2.3 线性函数的中误差 设有一般线性函数 Z=k1Ｘ1±k 2Ｘ2±…± knＸn (5-14) 式中，Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn为可直接观测的未知量，Z为函数，是间接观测量， k 1，k 2，…， kn为系数。 套用公式(5-13)得一般线性函数的中误差公式为 222 2 2 2 2 1 2 1 nnz mkmkmkm +++±= � (5-15) 【例 5.2】 在某三角形 ABC 中，直接观测 A 和 B 角，其中误差分别是 Am =±3"和 Bm =±4"，试求中误差 mC。 【解】 A、B、C 满足如下关系 C=180 �－A－B 微分上式 dC=－dA－dB 由式(5-9)可知，f1=－1，f2=－1，代入式(5-11)得 ( ) ( )2 22 2 2 3'' 4 ''C A Bm m m= + = ± + ± =25 即 mC=±5" 本例题由于是线性函数，也可直接套用式(5-14)求得结果。注意，线性函数中不管是“和” 第 5章 测量误差的基本知识 ·125· ·125· 函数还是“差”函数，函数中误差都是求平方和之后再开方。 【例 5.3】 已知 x=200±3，z =300±5，求 y和 my。设 x，y，z 满足下列关系： z=3x－5y 【解】 依题意 zxy 5 1 5 3 += =180 mx=±3，mz=±5 2 2 2 29 1 9 13 5 2.1 25 25 25 25y x z m m m= ± × + × = ± × + × ±≈ 请同学们注意，本例题哪个量是函数？哪个量是直接观测量？ 5.2.4 误差传播定律的应用 【例 5.4】 为了求某圆柱体体积，今测得圆周长、高及其中误差分别为：周长 C=2.105± 0.002m，高 H=1.823±0.003m，试求圆柱体体积 V 及其中误差 mV。 【解】 圆柱体体积公式 21 4 V C H= π 将上式取对数微分得 d 2d dV C H V C H = + 则 2 2 22V C Hm m m V C H ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 将观测数据代入上式得 V=0.643 m3 Vm =±0.0016m 3 即 V=0.643±0.0016m3 【例 5.5】 今丈量了某倾斜地面距离 ' 100.00 0.02mD = ± ，地面倾斜角度为α =12 � 30'±0.5'， 试求地面水平距离D 及 mD。 【解】 水平距离 'cos 97.63mD D α= = 微分上式 dd d 'cos 'sinD D D αα α ρ = − ′ 则 222 )sin()(cos ρ αα α ′ ′+= ′ mDmm DD =3.9117×10－ 4 0.02mDm = ± 即 97.63 0.02mD = ± 【例 5.6】 设用长度为 l 的卷尺量距，共丈量了 n 个尺段，已知每尺段量距中误差都为 ml，求全长 S的中误差 mS。 土木工程测量 ·126· ·126· 【解】 nlllS +++= �21 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2S n l l l lm m m m m m m nm= + + + = + + + =� � 即 S lm nm= 当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为 ml，即等精度观测，这时每公 里长度的量距中误差 KMm 也相等。当对长度为 S 公里的距离丈量时，则有 S KMm Sm= (5-16) 【例 5.7】 水准测量中，视距为 75m时在水准尺上读数中误差 m读=±2mm(包括照准误差、 气泡居中误差及水准尺刻划误差)。若以 3 倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测 n 站所得高差闭合差的容许误差。 【解】 普通水准测量每站测得高差 hi=ai－bi(i=1，2，3，…，n)，每测站观测高差中误差 为 2 2 2 2.8mmm m m m= ± + = ± = ± 读 读 读 观测 n 站所得高差 h=h1+h2+…+h n，高差闭合差 f=h－h0，h0为已知值(无误差)。则闭 合差为 2.8 mmfhm m n n= ± = ± 以 3 倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许误差为 3 2.8 8 mmn nΔ = ± × ≈ 容 5.3 等精度直接观测量的最可靠值及其中误差 5.3.1 算术平均值的原理 对某量进行了 n次等精度观测，观测值为 l1，l2，…，ln，其算术平均值 L为 n l n lllL n ][21 =+++= � (5-17) 根据式(5-1)，有 ][][][ Δ−=Δ−= nXXl 则 XX nn lL nnn =+ Δ == →∞→∞→∞ ][lim][limlim 从上式可知，当观测次数 n趋向于无穷大时，算术平均值就趋向于未知量的真值。在 实际测量工作中，n是有限的，算术平均值通常作为未知量的最可靠值。 5.3.2 似真差及其特性 在上一节中，算术平均值是未知量的最可靠值，算术平均值 L与其真值的差称为似真 差δ ，即 XL −=δ nn XlX n l ][][][ Δ = − =−= 第 5章 测量误差的基本知识 ·127· ·127· 似真差δ 就是真误差的算术平均值，依据偶然误差的第(4)个特性，δ 趋近于 0。 另外可依据偶然误差Δ的特性，推导出如下关系。 2 3121 2 22 2 2 122 )(2][)][( nnn n �� +ΔΔ+ΔΔ+Δ++Δ+Δ=Δ=δ 式中 �+ΔΔ+ΔΔ 3121 为偶然误差乘积的和，它也具有偶然误差的性质，当观测次数无限增 大时，上式等号右边第二项趋近于 0，则 2 22 2 2 12 ][ n nΔ++Δ+Δ = �δ (5-18) 5.3.3 算术平均值中误差 微分式(5-17)得 1 2 1 1 1d d d d n L l l l n n n = + + +� 根据误差传播定律可求得算术平均值中误差 M如下。 n m m n m n m n M n 2 2 2 2 22 2 12 2 111 =+++= � 即 n mM = (5-19) 上式表明，算术平均值的中误差仅为一次观测值中误差的1/ n，因此，当观测次数增 加时，可提高观测结果的精度。 从图 5.3 可以看出，当观测次数达到 9 次左右时，再增加观测次数，算术平均值的精 度提高也很微小，因此，不能单纯依靠增加观测次数来提高测量精度，还必须从测量方法 和测量仪器方面来提高测量精度。 图 5.3 算术平均值中误差与观测次数的关系 5.3.4 用改正数计算观测值的中误差 按中误差的定义式计算中误差时，需要知道观测值的真误差 Δ，但一般情况下真值 x是 不知道的，因此也就无法求得观测值的真误差。那么，如何来评定其观测精度呢？在实际 工作中，通常是用观测值的改正数计算中误差。计算公式推导如下。 由真误差及改正数的定义可知 土木工程测量 ·128· ·128· 11 lx −=Δ 22 lx −=Δ … nn lx −=Δ 11 lLv −= 22 lLv −= … nn lLv −= 由上两组式子推导得 )(11 Lxv −+=Δ )(22 Lxv −+=Δ … )( Lxvnn −+=Δ 取平方和得 ])[(2)(][][ 2 vLxLxnvv −+−+=ΔΔ 由于 0][][][ =−=−= lnLlLv ， Lx −=δ 则 2][][ δnvv +=ΔΔ 将式(5-18)代入上式得 2 ][][][ nn vv n ΔΔ += ΔΔ ， 1 ][][ − = ΔΔ n vv n 由此推得 1 ][ − ±= n vv m (5-20) 算术平均值中误差为 ( )1 ][ − ±= nn vvM (5-21) 【例 5.8】 对某直线丈量了 6次，丈量结果如表 5-2所示。求算术平均值、算术平均值中 误差及相对中误差。 【解】 根据式(5-17)至式(5-21)计算算术平均值、改正数、观测值中误差、算术平均值中误差， 其结果均列于表 5-2中。 在表 5-2 中，按步骤计算可求得等精度直接观测值的最可靠值及其中误差。也可以直 接利用计算器的统计功能完成计算。今以 KS-105B 计算器为例，操作过程如下。 按 2nd on/c键将计算器置于统计状态下“STAT”： 124.553 M+124.565 M+ 124.569 M+ 124.570 M+ 124.559 M+ 124.561 M+ 按 x键显示平均值 124.563，按 n键显示输入数据个数 6，按 s键显示标准差即中误差 m=6.5。 第 5章 测量误差的基本知识 ·129· ·129· 表 5-2 等精度直接观测值的最可靠值计算 测次 距离(m) 改正数(mm) vv 计算 1 124.553 +10 100 2 124.565 －2 4 3 124.569 －6 36 4 124.570 －7 49 5 124.559 +4 16 6 124.561 +2 4 平均 124.563 [v]=+1 [vv]=209 [ ] 6.5 1 vv m n = ± = ± − 6.2±== n mM 5.4 非等精度直接观测值的最可靠值及其中误差 5.4.1 权的概念 对某一未知量进行了非等精度观测，其各次观测值的中误差也不相同，各次观测的结 果便具有不同的可靠性。因此，在求未知量的最可靠值时，就不能像等精度观测那样简单 地取算术平均值，因为较可靠的观测值应对最后测量结果产生较大的影响。 最可靠值显然不是算术平均值，那应该怎么求得呢？显然，较可靠的观测值或精度高 的观测值，应对结果产生较大的影响，它所占的“权重”应大一些。在测量工作中引入“权” 的概念。观测值的精度愈高，即中误差愈小，其权就大；反之，观测值的精度愈低，即中 误差愈大，其权就小。因此，权与中误差具有密切关系。 5.4.2 权与中误差的关系 依据权的概念，权 p与中误差 m的函数关系为 ( ) 2 2 1,2, ,i i p i n m μ = = � (5-22) 式中 μ是不为 0的任意常数。当 p=1时，其权为单位权，其中误差称为单位权中误差，一 般用 ( )μ或0m 表示。 5.4.3 定权的方法 假定对某一未知量进行了两组非等精度观测，但每组内各观测值精度相等，设第一组 观测了 4次，其观测值为 l1，l2，l3，l4；第二组观测了 2次，观测值为 1 l′， 2 l′。则每组的算 术平均值为 1 2 3 4 1 1 2 2 4 2 l l l l L l lL + + + = ′ ′+ = 土木工程测量 ·130· ·130· 对观测值 L1、L2来说，彼此是非等精度的观测值，而对于第一组、第二组这个整体而 言，它们内部的每一次观测却是等精度观测，中误差都为 m，因而，其最后结果应为 6 214321 llllllL ′+′++++ = 上式的计算实际上是 24 24 21 + + = LL L (5-23) 从非等精度观测的观点来看，观测值 L1是 4 次观测值的平均值，观测值 L2是两次观 测值的平均值，L1和 L2的精度不一样，可取 4、2为其相应的权，以表示 L1和 L2的精度差 别。分析式(5-23)，分子、分母乘以同一常数，最后结果不变。因此，权只有相对意义，所 起的作用不是它们的绝对值，而是它们之间的比值。 令 μ =m，则观测值 L1、L2的中误差分别 M1、M2。按式(5-22)它们的权为 2 2 1 22 1 4 4 mp mM μ = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 === m m M p μ 按式(5-22)的定权方法，求得观测值 L1、L2的权 p1、p2与预期结果一致。 【例 5.9】 按等精度丈量了三条边，得 1 3S KM= ， 2 4S KM= ， 3 5S KM= 试求这三条边 的权。 【解】 因为等精度观测，即每公里的丈量精度相同，按式(5-16)，三条边的中误差分别为 1 1 2 2 3 3 KM KM KMm S m m S m m S m= = = 则它们的权为 ( ) 2 2 2 22 KM i i i ii KM m Cp m S SS m μ μ μ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = = = 式中 2( ) KM C m μ = 为任意常数。由上式可知，在等精度丈量时，边长的权与边长成反比。 若 C=1，则 1 2 3 1 1 1 , , 3 4 5 p p p= = = 若 C=4，则 1 2 3 4 4 , 1, 3 5 p p p= = = 选择适当的 C值可以使权成为便于计算的数值。 与距离测量相似，在水准测量工作中，当每公里水准测量精度相同时，水准路线观测 高差的权与路线长度成反比；当每测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与 测站数成反比。至于何时用距离定权，何时用测站数定权，在测量规范中是有规定的。一 第 5章 测量误差的基本知识 ·131· ·131· 般说来，在起伏不大的地区，每公里测站数相近，即每公里水准测量精度相同，可按距离 来定权；而在起伏较大的地区，每公里测站数相差较大，则按测站数来定权。 水准测量定权方法 按长度定权 i i S Cp = (5-24) 式中 Si为水准路线分段长度。 按测站数定权 i i n Cp = (5-25) 式中 in 为水准路线分段测站数，C为任意不为 0的常数。 5.4.4 加权平均值及其中误差 由上述推导可知，当对同一量进行了 n 次非等精度观测时，观测值为 li，其相应的权 为 pi，则加权算术平均值 L0为 n nn ppp lplplp p plL +++ +++ == � � 21 2211 0 ][ ][ (5-26) 根据误差传播定律，可得加权算术平均值的中误差 0M 为 2 222 2 2 2 2 1 2 12 0 ][ p mpmpmpM nn+++= � (5-27) 由于 20 22 22 2 11 mmpmpmp nn ==== � ，故有 ][][ 2 0 2 2 0 2 02 2 012 0 p m p mpmpmpM n =+++= � (5-28) 由此可知，加权算术平均值的权 p0= ][ p ，即加权算术平均值的权为所有观测值的权总 和。 在式(5-28)中，需要先求出单位权中误差 m0，才可确定加权算术平均值的中误差 M0。 下面介绍求单位权中误差公式。 设已知非等精度观测值 li的权为 pi，将观测值 li乘以 ip ，得一组虚拟观测值 iii lpl =′ 由误差传播定律有 iii mpm =′ 其权为 12 0 2 0 2 2 0 2 2 === ′ =′ m m mp m m p iii i μ 这就是说虚拟观测值 il ′ 的权都是 1，因此，可以把虚拟观测看作是等精度观测。即 iii p Δ=Δ′ 按式(5-4)，有 n p n m ][][ 0 ΔΔ ±=Δ ′Δ′±= (5-29) 这就是用观测值真误差计算单位权中误差的公式。同样，在多数测量计算中，要用改 正数来计算单位权中误差，即 土木工程测量 ·132· ·132· 1 ][ 0 − ±= n pvv m (5-30) 【例 5.10】 在水准测量中，从 3 个已知高程点 A、B、C 出发测得 E点的 3个高程 Hi及 各水准路线的长度 Li。求 E点高程的最可靠值 HE及其中误差 MH。 【解】 取水准路线长度 Li的倒数乘以常数(C=1)为观测值的权，计算在表 5-3中进行 表 5-3 非等精度直接观测值求解 测段 高程观测值 Hi(m) 路线长度 Li(km) 权 Pi =1/Li PiHi 改正数 V (mm) pv pvv A-E 42.347 5.0 0.20 8.469 15 3.0 45.0 B-E 42.320 4.0 0.25 10.580 －12 －3.0 36.0 C-E 42.332 2.5 0.40 16.933 0 0.0 0.0 合计 [L]=11.5 [P]=0.85 42.332 [PV]=0 [PVV]=81.0 根据式(5-26)，E点高程的最可靠值 HE为 332.42 40.025.020.0 332.4240.0320.4225.0347.422.0 = ++ ×+×+× =EH m 根据式(5-30)，单位权中误差为 [ ] 0 81.0 6.4mm 1 3 1 pvv m n = ± = ± = ± − − 0 [ ] 6.4 0.85 6.9mmHM m p= ± = ± = ± 同学们可取 C=5，验证计算结果是否与本例结果一致。 ([p]=4.25，[pvv]=405.0， 0 14.2m = ± ， 9.6±=HM ) 5.5 思 考 题 1. 为什么测量结果中一定存在测量误差？测量误差的来源有哪些？ 2. 如何区分系统误差和偶然误差？它们对测量结果有何影响？ 3. 偶然误差有哪些特性？能否消除偶然误差？ 4. 何谓等精度观测值？何谓非等精度观测值？权的定义和作用是什么？ 5.6 习 题 1. 设用钢尺丈量一段距离，6次丈量结果为：216.345m，216.324m，216.335m，216.378m， 216.364m，216.319m，试计算其算术平均值、观测值中误差、算术平均值中误差及其相对 中误差。 2. 用 J6经纬仪观测某水平角 4个测回，其观测值为 37 � 38'24"， 37 � 38'27"， 37 � 38'21"， 第 5章 测量误差的基本知识 ·133· ·133· 37 � 38'42"，试计算一测回观测中误差、算术平均值及其中误差。 3. 用 J6 经纬仪观测某水平角，每测回的观测中误差为±6"，今要求测角精度达 到±3"，需要观测多少测回？ 4. 如图 5.4 所示，在三角形 ABC 中，测得 a=13.146±0.008m， A=47 � 23'42"±9"， B=53 � 58'34"±12"，试计算边长 c及其中误差。 5. 今对某未知量进行了两次观测，其观测结果为 A=235±7，B=255±13，试计算加权 算术平均值及其中误差。 6. 如图 5.5所示，为了求得未知点 Q点的高程，从 A、B、C三个水准点向 Q点进行 了同等级的水准测量，其结果在表 5-4中，试计算 Q点的高程及其中误差。 图 5.4 习题 8 图 5.5 习题 10 表 5-4 非等精度直接观测值求解 水准路线 起点 水准点高程 (m) 观测高差 (m) 水准路线长度 (km) 权 待求点 高程 pH 改正数 v pv pvv A 24.135 －0.148 5.3 B 23.297 +0.706 4.2 C 21.364 +2.640 2.7